Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения»
 Скачать 389.5 Kb.
|
| Красноярский Государственный Педагогический Университет Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» Выполнила: студентка 3 курса математического факультета 32 группы Апрелкова Ксения. Научный руководитель : кф-мн доцент кафедры алгебры Тимофеенко Галина Владимировна . Красноярск 2002г. Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решение диофантовых уравнений(ДУ). Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме «ДУ» в курсе теории чисел. Многие задания, изложенные в данной работе, могут быть использованы в курсе алгебры средней школы и на факультативах по теме «ДУ» с целью расширения математического кругозора учащихся. Оглавление1 Оглавление 3 Историческая справка 4 §2 Задачи, приводящие к диофантовым уравнениям. 6 Задача1. 6 Задача2. 6 Задача3. 8 Задача4. 8 §3 Методы решения диофантовых уравнений 10 Метод1. Свойства делимости и диофантовы уравнения. 10 Метод 2. Диофантовы уравнения, допускающие разложение на множители. 11 Метод 3. Метод подстановки в решении диофантовых уравнений: 12 Задание: Найти целочисленные решения следующих уравнений: 13 Метод 4. Сравнения и диофантовы уравнения. 14 Теорема1. Если удовлетворяет сравнению ax=c(b), то пара чисел (x0;(c-ax0):b) является решением (D), где (a;b)=1. 15 Теорема2: Если (a,b)=1, то (D) имеет бесконечное множество целых решений, которые находятся по формулам: 15 Следствие: (D) ax+by=c в Z либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений, которые находятся по формулам(*). 16 Указание: 16 Метод5. Метод спуска(*): 16 §4 Основные пифагоровы треугольники. 17 Задача о нахождении всех решений диофантовых уравнений второй степени. 17 17 Нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна, как знаменитая последняя теорема Ферма . 19 Это утверждение называется последней (или великой) теоремой Ферма. 20 §5 Алгебраические уравнения выше второй степени с тремя неизвестными 20 Доказательство теоремы Ферма для случая n=4 методом спуска. 22 Теорема: 22 Вывод: 26 Литература: 26 Оглавление 27 §1 Введение. Историческая справкаЖил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э., остальные известные нам факты его биографии исчерпываются таким стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:
«Арифметика» Диофант. Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но так как у них еще не было равенства и знаков действий (вроде нынешних плюса и минуса ), то записывать уравнения они, конечно, не умели. Первый по-настоящему серьезный шаг в этом направлении сделал замечательный александрийский (по названию большого культурного, торгового и научного центра древнего мира- Александрии; этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта) ученый Диофант, использовавший в своем творчестве достижения египтян, вавилонян и греков. В его труде «Арифметика» есть уравнения первой степени с одним неизвестным, главное в этой книге вовсе не в них. И прежде чем перейдем к этому главному, поговорим еще о записи уравнений. Самое интересное у Диофанта – решение так называемых неопределенных уравнений. И второе, не менее интересное – Диофант придумал обозначения для неизвестных. Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые 9 букв : ,,,… обозначали числа от 1 до 9 ;следующие девять :,,…обозначали числа от 10 до 90 ; наконец, следующие девять:,,..обозначали числа от 100 до 900. Чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами , обозначающими число, ставилась черточка. Букв в алфавите было 28 , одна из них была особой – она обозначалась ς (сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать первую степень неизвестного, так же как мы обычно обозначаем ее буквой X. Придумав это, Диофант, по-видимому, уже быстрее стал двигаться дальше. Во всяком случае в «Арифметике» он обозначал специальными значками не только первую, но и вторую, третью, четвертую, даже пятую и шестую степени неизвестного. Например , квадрат неизвестного он обозначал значком Δΰ (первые две буквы слова Δΰναμίς-«дюнамис»-«сила» ). Ну а если и числа, и неизвестные записаны специальными символами, то нелепо будет записывать словами указания о действиях над ними! И Диофант вместо слова «равняется» стал писать ίσ - две первые буквы слова ίσος («исос»-«равный»). Это слово тоже нам знакомо. Без сомнения мы слышали про изотопы, изобары, изотермы. Диофант придумал знак и для вычитания - им служила буква ψ(пси), только перевернутая, укороченная и упрощенная по форме, то есть вот такая: Λ . А без знака сложения Диофант обходился довольно - просто слагаемые записывал рядом друг с другом. Например, уравнение 3x²-10x=13 Диофант записал бы так: ΔΰγΛςίισΜιγ. Диофант записывал коэффициенты справа от неизвестных, кроме того, в уравнениях он обязательно ставил перед свободным членом значок Μ- первые две буквы слова Μονας(«монас»)- единица, то есть писал «тринадцать единиц». Диофант придумал еще несколько математических знаков, но их в наше время не применяют. Придумал Диофант и два основных приема решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. В средневековой Европе мысли Диофанта получили широкое распространение и развитие. В 17-18 в.в. буквами для обозначения неизвестных (переменных) стали пользоваться уже все математики. Приемы решения уравнений попали в Европу особым путем, и здесь уже приходиться обращаться к страницам средневековой истории…. Решение в целых числах уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним переменным представляет собой одну из трудных проблем теории чисел. Некоторые виды таких уравнений были рассмотрены знаменитыми математиками древности : Пифагором(6в.до н.э), Диофантом(3в.н.э.). В память о последнем эти уравнения называются диофантовыми . Диофантовы уравнения во все времена привлекали внимание математиков. Ими занимались классики математики: П.Ферма(1601-1655), Л.Эйлер(1707-1783), Ж.Л.Лагранж(1736-1813), К.Ф.Гаусс(1777-1855), П.Л.Чебышев(1821-1894) и др. Им уделяют внимание и многие математики современности. §2 Задачи, приводящие к диофантовым уравнениям. |