| Греющие маты Купить греющие маты. eco-element.ru |
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения»
 Скачать 389.5 Kb.
|
Задача3.У мальчика было 50 коп., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 коп. и по 3 коп, но у киоскера совсем не было мелочи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося положения. Решение: Эта задача, в отличие от предыдущей, имеет не одно, а несколько решений. Аналогично рассуждая, получим, что задача имеет 4 различных решения: 2 марки по 4 коп и 14 марок по 3 коп; 8 марок по 4 коп и 6 марок по 3 коп; 5 марок по 4 коп, и 10 марок по 3 коп; 11 марок по 4 коп, и 2 марки по 3 коп; Простота жизненных ситуаций в задачах, приводящих к диофантовым уравнениям, заставляет предполагать, что люди, наверное, и до Диофанта умели решать такие задачи, не пользуясь какой-либо общей теорией, то есть поступали примерно так, как бы это сделали бы мы при решении задачи о ящиках с гвоздями или о марках. Общие теории никогда не возникают на пустом месте. Сначала появляются отдельные задачи, а уж потом находятся люди, понимающие, что наступило время перехода от таких задач к общим приемам и методам. Вот, например, еще одна частная задача на неопределенные уравнения - теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте (известно, что Диофант хорошо ее знал и часто использовал): Задача4.Если стороны треугольника пропорциональны числам 3,4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения углов на местности прямых углов - ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид - это надо было уметь. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы (см. рис.1) A  C B рис.1 В точке C, где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали второй колышек в точке B(CB=4) и натягивали веревку так, чтобы AC=3,AB=5.Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. И действительно, 32+42=52. Говоря иначе, числа 3,4,5-корни уравнения: X2+Y2=Z2 Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений? Нетрудно догадаться, что числа 5,12,13 тоже можно считать корнями этого уравнения. А есть ли еще такие тройки чисел? И нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два? Например, необходимо, чтобы меньший катет треугольника равнялся 4 см. Может ли в этом случае длина другого катета и гипотенузы выражаться целым числом сантиметров? Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли ответы на них. Знал это и Пифагор. Один из путей решения уравнения X2+Y2=Z2 в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел («квадратные числа» ,как говорили древние), отделив друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами: 1, 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 ,100 , 121 , 144 , 169 , 196 ,…… 3 ,5 , 7 , 9 ,11 ,13 ,15 ,17, 19, 21, 23, 25, 27 , .... Есть ли в нижней строке квадратные числа? Да! Первое из них 9=32, над ним 16=42 и 25=52, знакомая нам тройка 3,4,5. Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку:5,12,13. Если мы продолжим строку квадратных чисел и подсчитаем соответствуюшие разности, то во второй строке найдем 49=72, этому числу отвечают в строке квадратов 576=242 и 625=252. И действительно, 72+242=252. Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Кстати, мы имеем право сформулировать такую теорему: Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов. Составлять такие строки (последовательности) – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел проще и быстрее. Эти формулы-правила были известны уже 2500 лет назад. Если X-нечетное число, то Y=(X2-1):2 и Z=(X2+1):2 .В этом случае равенство X2+Y2=Z2 выполняется, то есть числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора» , а его решения – «пифагоровы тройки». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки: если X=3,то Y=(9-1):2=4, Z=(9=1):2=5 , получилась первая пифагорова тройка; X=5, тоY=(25-1):2=12, Z=(25+1):2=13, вторая тройка; X=7, то Y= (49-1):2=24, Z= (49+1):2=25. Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда Y=40, Z=41. Проверим наши вычисления: 92+402=412; Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Сделаем этот шаг и мы. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом: X2=Z2-Y2; X2=(Z+Y)(Z-Y) ; Это и означает, что число X должно разлагаться на два неравных множителя Z+Yи Z-Y, которые мы обозначим так, что получится такая система: Z+Y=2a2 , Z+Y=2b2; Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим: Z=a2+b2, Y=a2-b2, X=2ab (при этом надо иметь в виду, что a>b) Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим X,Y,Z. Получается Z=5, Y=4,X=3, это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь составим таблицу (табл,1): Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников:
Ясно, что таблицу можно расширить и вправо и вниз. Подчеркнем главное- уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников. §3 Методы решения диофантовых уравнений |