Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения»
 Скачать 389.5 Kb.
|
Метод1. Свойства делимости и диофантовы уравнения.Для решения некоторых диофантовых уравнений следует рассмотреть возможные остатки от деления одного целого числа на другое. При этом используются свойства: - если целое число a при делении на m дает остаток r, то его квадрат при делении на m дает остаток, равный остатку от деления числа r2 на m, -если числа a,b при делении на m дают остатки r1,r2, то число ab при делении на m дает остаток, равный остатку от деления r1r2 на m. Рассматриваются отдельно случаи, когда переменные принимают четные, нечетные значения. Рассмотрим уравнения, которые решаются с помощью указанного метода: Задание: Решить в целых числах уравнения: (m,n[-N)
Решение: Квадрат целого числа (X2) при делении на число 3 может давать остатки 0,1, но не 2, как этого требует уравнение. Поэтому данное уравнение в целых числах неразрешимо. . 2) 3X2+6X+2=Y2 <-> 3(X+1)2-1=Y2. Решение: Квадрат целого числа (Y2) при делении на 3 должно давать остаток 2, что невозможно.
Решение: Уравнение в цнлых числах неразрешимо, так как квадрат целого числа (Y2) при делении на 5 может давать остатки 0,1,4,но не 2,3, как этого требует уравнение. 4)Y2=7Xn+6. Решение: Уравнение в целых числах решения не имеет, так как квадрат целого числа при делении на 7 может давать остатки 0,1,2,4, но не 3,5,6, как этого требует уравнение.
Решение: Число 1967 при делении на 8 дает остаток 7 . Так как квадрат целого числа при на 8 дает остатки 0,1,4, то сумма квадратов трех целых чисел при делении на 8 может дать остатки: 0,1,2,3,4,5,6,но не 7. Целых решений уравнения не имеют. 6) a) X2-7Y2=0, X2-PY2=0, P-простое натуральное число. Решение: Имеем уравнения: X2=7Y2, X2=PY2. Уравнения целых ненулевых решений не имеют, так как в левую часть простое число 7; P входит в четной степени, а в правую - в нечетной. b) X2+3X+5=121Y<-> 4X2+12X+20=4*121Y<->(2X+3)2=11(44Y-1) . Так как (44Y-1) не делится на 11, то правая часть делится на 11 лишь в первой степени, в то время как левая часть уравнения делится на четную степень числа 11. Целых решений нет. Метод 2. Диофантовы уравнения, допускающие разложение на множители.7) XY=X+Y<-> (X-1)(Y-1)=1. Отсюда следует, что числа X-1,Y-1 оба равны либо 1, либо -1. Уравнение имеет два решения: {(0;0),(2;2)} 8) X+Y=1/10 <->(X-10)(Y-10)=100. Множество решений: {(11;110),(12;60),(14;35),(15;30),(20;20),(30;15),(35;14),(60;12),(110;11), (9;-90),(8;-40),(6;-15),(5;-10),(0;0),(-10;5),(-15;6),(-40;8),(-90;9)}; 9) Уравнение XY=P(X+Y)<->(X-P)(Y-P)=P2. P-простое, P[-N. Приравнивая числа X-P,Y-P, возможным делителям числаP2,произведение которых равно P2, найдем множество решений : {(0;0),(2P;2P),(P+1;P+P2),(P+P2;P+1),(P-1;P-P2),(P-P2;P-1)} 10) X,Y[-N , XY+X+Y=232<-> 232=22+1,XY+X+Y=22+1. Число Ферма 22+1 составное и представимо в виде произведения двух простых множителей: 22+1=641*6700417 .Множество натуральных решений: {(640;6700416);(6700416;640)} Метод 3. Метод подстановки в решении диофантовых уравнений:Некоторые диофантовы уравнения могут быть решены в рациональных числах при помощи подстановки. (см.[1]). К уравнению: ax2+bxy+cy2+dx+ey=0 применим подстановку y=tx, получим : x=(d+ct):(a+bt+ct2); y=( d+et)t:(a+bt+et2); t[-Q Среди этих пар выбираем целые решения. Если в диофантовом уравнении второй степени с двумя переменными одно из переменных входит лишь во второй степени, то для нахождения целых решений таких уравнений могут быть применены подстановки Эйлера. К уравнению y2=k2x2+mx+n применяем первую подстановку Эйлера: y=kx+t, t[-Z x=(n-t2):(2kt-m); y=(km+kt2-mt):(2kt-m) ; t[-Z К уравнению y2=lx2+mx+g2; l=k2, применяем вторую подстановку Эйлера: y=g+tx,t[-Q, получаем: x=(2gt-m):(l-t2), y=(gt2-mt+lg):(l-t2), t[-Q Отсюда могут быть найдены целые решения (x,y) уравнения , кроме (0;+g) и некоторых симметричных решений (x;-y) , которые следуют из формул, полученных при помощи подстановки y=-g+tx, t[-Q. К уравнению y2=lx2+mx+n, где l,n не являются квадратами целых чисел и квадратный трехчлен в правой части имеет рациональные корни: lx+mx+n=l(x-α)(x-β), применяем третью подстановку Эйлера: y=(x-α)t ,t[-Q. Тогда получим : x=(lβ-αt2):(l-t2); y=tl(β-α):(l-t2),t[-Q Среди этих решений уравнения содержатся все целые решения, кроме (α;0), если α[-Z . К кубическому уравнению вида:y2=a(x-α)2(x-β); a,α,β[-Z применяем подстановку y=t(x-α) ,t[-Q . Получим: x=(t2+aβ):a; y=t(t2+aβ-aα):a ,t[-Q Отсюда найдем все целые решения, кроме (α;0), которые существуют при целом t . |