Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения»
 Скачать 389.5 Kb.
|
Задача1.Некто подошел к клетке , в которой сидели фазаны и кролики . Сначала он подсчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42 . Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке? Р  ешение: Пусть X-число кроликов, а Y-число фазанов. Тогда по условию x+y=15. Но ведь у кролика 4 ноги, у фазана -2, значит, у всех кроликов -4x ног, а у всех фазанов –2yног , и по условию 4x+2y=42. Имеем систему уравненийx+y=15, 4x+2y=42 x=6, y=9 .
Не только графиками интересны уравнения с двумя переменными. В задаче о фазанах и кроликах есть повод задуматься над таким вопросом : из уравнения y=-x+15 следует, что переменная Х может принимать любые значения, а вслед за ней соответственные и тоже любые значения может принимать и переменная Y. Любые! Но число кроликов, как и число фазанов, не может быть ни дробным, ни отрицательным! В условии задачи это подразумевается, но в записи x+y=15 об этом ничего не сказано. А между тем, зная это дополнительное условие, иногда можно обойтись и без второго уравнения, получив, вполне удовлетворяющие нас результаты из одного уравнения с двумя переменными. Задача2.На складе имеются гвозди в ящиках по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг. гвоздей, не вскрывая ящики?
Попробуем решить задачу, составив уравнение обычным путем. Итак, допустим, что задача решена: ящиков по 16 кг будет X штук, по 17 кг-Y штук, по 40 кг-Z штук. Всего выдано 100кг, отсюда уравнение: 16x+17y+40z=100 И что делать с этим уравнением – совершенно непонятно. Но можно рассуждать и так: Ящиков по 40 кг не может быть больше двух, ибо 40*3=120, это больше чем надо. И два тоже быть не может, ибо 40*2=80, 100-80=20, а 20кг можно набрать, только вскрыв, хотя бы один ящик. Может быть, взять один ящик по 40 кг, а оставшиеся 60 кг набрать, комбинируя ящики по 16 и 17 кг: если взять один ящик 17 кг., то останется 43 кг и набрать по 16 кг невозможно, если взять 2 ящика по 17 кг, то 60-17*2=26 и целых ящиков по 16кг не получится, если же взять 3 ящика по 17 кг, то останется 9кг., которые придется выдавать, вскрыв какой-нибудь ящик. Получается, что ящики по 40кг нам вовсе не нужны. Если задача имеет решение, то комбинировать придется ящики только по 16 и 17 кг. Значит, получается уравнение :16x+17y=100. Но 100 не делится ни на 16, ни на 17, и, значит, надо посмотреть, что будет получаться, если из 100 вычитать 17, 17*2, 17*3, 17*4, 17*5. Если разность будет делиться на 16, то задача имеет решение, если нет – кладовщику придется вскрывать хотя бы один ящик. 83 на 16 не делится, 66-не делится, 49- не делится, но 32=16*2, и задача решена:17*4+16*2=100, то есть надо выдать 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг. Это решение единственное, то есть других вариантов нет. Можно было бы, увидев, что ящики по 40 кг для решения задачи не нужны, пойти дальше иным путем. Если взять 6 ящиков по 16 кг, то есть подобрать такое число, делящееся на 16 , которое ближе всего к 100,то окажется, что до 100 не хватает 4 кг, значит 4 ящика из этих 6 надо заменить четырьмя ящиками по 17 кг, и получим тот же результат. Вывод: Задач, похожих на эту, очень много, и многие из них имеют практическое значение. Соответствующие уравнения могут иметь неизвестные не только в первой степени, но и в любой другой. Да и вопросы, вытекающие из дополнительных условий, могут оказаться самыми разнообразными. И опять приходим к новому разделу математики. Этому разделу положил начало Диофант. Он рассматривал уравнения, которые сегодня мы записали бы, например, так: ax + by=c; a, b, c в этом уравнении являются целыми числами, и ответ должен быть дан только в целых числах, другими словами, это уравнение полагалось «решить в целых числах». Такие уравнения теперь называют «диофантовыми»., раздел математики, изучающий их, называют «диофантовым анализом», В свою очередь, диофантов анализ является частью исключительно интересного раздела современной математики-теории чисел. В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых (их еще называют неопределенными) уравнений. Мы будем рассматривать эти методы, но об этом далее…. |
5голов