Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения»
 Скачать 389.5 Kb.
|
Нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна, как знаменитая последняя теорема Ферма .Ее автор, Пьер Ферма (1601-1665), еще при жизни был признан одним из величайших математиков Европы. Сегодня имя Ферма неотделимо от теории чисел , однако его теоретико-числовые работы были настолько революционны и так опережали свое время, что их значение не было понято современниками и слава Ферма основывалось главным образом на его достижениях в других областях математики: ему принадлежат важные труды по аналитической геометрии (наряду с Декартом Ферма был одним из создателей этой науки), по теории максимумов и минимумов функций, впоследствии развившейся в математический анализ, и по геометрической оптике. Свои научные результаты Ферма не публиковал. Будучи по профессии юристом, он посвящал математике свободное время и не рассматривал ее как главное дело своей жизни. А сделанных им открытиях известно из его переписки с другими учеными , а также из бумаг, оставшихся после его смерти. В частности, на полях своего экземпляра «Арифметики» Диофанта, великого классического произведения древнегреческой математики, в 1621 году переведенного на латинский язык, Ферма оставил 48 замечаний, содержащих открытые им факты о свойствах чисел. Доказательства Ферма до нас не дошли, однако в тех случаях, когда он утверждал ту или иную теорему, впоследствии эту теорему удавалось доказать. Единственным исключением является следующие утверждение: «Cubum autem in duos cubos aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos et generaliter nulam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstreationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet»(«Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком узки, чтобы оно здесь вместилось.»). Этот текст, сопровождаемый указанием: «Наблюдение господина Пьера де Ферма», содержится в издании трудов Диофанта, которая было выпущено Ферма-сыном в 1670 году, через 5 лет после смерти отца. Это подлинное замечание, внесенное Ферма в его собственный экземпляр трудов Диофанта, в настоящее время утраченный каждому, кто держал в руках «Арифметику» Диофанта издания 1621 года, бросаются в глаза необычайно широкие поля - возможно, именно по этой причине Пьер Ферма записывал на них свои замечания. Таким образом, в переводе на современный математический язык Ферма утверждал, что уравнение:  , n>2,не имеет целочисленных решений с xyz=0. Это утверждение называется последней (или великой) теоремой Ферма.В настоящие время все специалисты твердо уверены в том, что Ферма не обладал доказательством этой теоремы и, сверх того, что элементарными методами ее нельзя доказать. §5 Алгебраические уравнения выше второй степени с тремя неизвестными Если для уравнений с двумя неизвестными мы можем дать ответ на вопрос о существовании конечного или бесконечного числа решений на множестве Z, то для уравнений с более чем двумя неизвестными выше второй степени дать ответ на этот вопрос можно только для весьма частных классов уравнений. Тем не менее, в этом последнем случае поддается разрешению и более трудный вопрос об определении всех решений уравнений в целых числах. В качестве примера остановимся на великой теореме Ферма. Замечательный французский математик Пьер Ферма высказал утверждение, что уравнение: , при целом  не имеет решений в целых положительных числах x, y,z (случай xyz=0 исключается положительностью x, y,z). Несмотря на то, что П. Ферма утверждал, что он имеет доказательство (по-видимому, методом с пуска, о котором будет речь ниже) этого утверждения, его доказательство впоследствии не было найдено. Более того, когда математик Куммер попытался его найти и даже думал одно время, что он его нашел, он обнаружил, что одно положение, верное в области обычных целых чисел, оказывается неверным для более сложных числовых образований, с которыми естественно приходится сталкиваться при исследовании проблемы Ферма. Это обстоятельство заключается в том, что так называемые целые алгебраические числа, - другими словами, корни алгебраических уравнений с целыми рациональными коэффициентами и с коэффициентом при старшей степени, равным 1, - могут не единственным способом быть разложены на простые, неразложимые в свою очередь, целые сомножители той же алгебраической природы. Обычные же целые числа разлагаются на простые множители единственным образом. Например, 6=2*3 и не каких других разложений не допускает внутри совокупности обычных целых чисел. Рассмотрим совокупность всех целых алгебраических чисел вида  , где m и n – обычные целые числа. Легко видеть, что сумма и произведение двух таких чисел опять будут числом той же совокупности. Совокупность чисел, обладающая тем свойством, что она содержит любые суммы и произведения чисел, в неё входящих, называется кольцом. По определению, в нашем кольце содержатся числа 2, 3,  . Каждая из этих чисел в этом кольце, как легко можно установить, будет простым, то есть не будет представляться в виде произведения двух не равных единице целых чисел нашего кольца. Но 6=2*3=(  )*( );другими словами, число 6 не единственным образом разлагается на простые сомножители в нашем кольце. То же обстоятельство, не единственность разложения на простые сомножители, может иметь место и в других, более сложных, кольцах алгебраически целых чисел. Обнаружив это обстоятельство, Куммер убедился, что его доказательства общей великой теоремы Ферма не верно. Для преодоления трудностей, связанных с не единственностью разложения на множители, Куммером была построена теория идеалов, которая играет в настоящие время исключительно большую роль в алгебре и теории чисел. Но даже с помощью этой теории полностью доказать великую теорему Ферма Куммер не смог и доказал ее только для n, делящихся хотя бы на одно из так называемых регулярных простых чисел. Не останавливаясь на расшифровке понятия регулярного простого числа, мы можем указать только, что до настоящего времени неизвестно, существует ли только конечное число таких простых чисел или их бесконечное множество. В настоящее время великая теорема Ферма доказана для многих n, в частности для любого n, делящегося на простое число, меньшее 100. Великая теорема Ферма сыграла большую роль в развитии математики благодаря связанному с попытками ее доказательства открытию теорий идеалов. Но при этом следует отметить, что совсем другим путем и по другому поводу эта теория была построена замечательным русским математиком Е. И. Золотаревым, умершим в расцвете своей научной деятельности. В настоящее время доказательство великой теоремы Ферма, особенно доказательство, построенное на соображениях теории чисел, может иметь только спортивный интерес. Конечно, если это доказательство будет получено новым и плодотворным методом, то значение его, связанное со значением самого метода, может быть и очень большим. Следует отметить, что попытки, делающиеся любителями математики и в наше время, доказать теорему Ферма совсем элементарными средствами обречены на неудачу. Элементарные соображения, опирающиеся на теорию делимости чисел, были использованы еще Куммером и дальнейшая их разработка самыми выдающимися математиками пока ничего существенного не дала. Доказательство теоремы Ферма для случая n=4 методом спуска. |