Методическое пособие «Решаем с удовольствием»
 Скачать 1.06 Mb.
|
VII. Задачи на смеси и сплавы. Решение задач на смеси и сплавы вызывают затруднения при решении у многих учащихся. Многие из них такие задачи не решают, а ставят ответы наугад. Поэтому необходимо уделить особое внимание этой теме. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». Концентрацией вещества называют отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества выражается в процентах. Задачам этого типа уделялось большое внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л.Ф. Магницкого. Старинный способ решения задач позволяет получить правильный ответ. Задача. У некоторого человека были продажные масла: одно ценною 10 гривен за ведро, другое 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен? Решение: Друг над другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них, примерно посередине, стоимость масла, которое должно получиться после смешения. Соединив записанные числа черточками, получим такую схему: 6 7 10 Рассмотрим пары 7 и 6; 7 и 10; В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема: 6 3 7 10 1 Из этой схемы ясно, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого. Т.е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого 1\4 ведра, а дешевого 3\4 ведра. Обоснование старинного способа решения задач на смеси. Пусть требуется смешать а%-й и b%-й растворы кислот, чтобы получить с%-й раствор. Пусть х г - масса а%-го раствора, у г – масса b%-го раствора. г – масса чистой кислоты в 1 растворе. г – масса чистой кислоты во 2 растворе. г – масса чистой кислоты в смеси. ax + by = c(x +y) (b – c)y = (c – a)x x : y = (b – c) : (c – a) Такой же вывод дает схема: а b - c с b c - a x : y = (b – c) : (c – a) Современные задачи на смешение тоже могут быть решены этим старинным способом. Задача: Имеются два раствора 68% и 78% серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 100 г 70%-го раствора серной кислоты? Изобразим схему: 68 8 70 78 2 Найдем, в каком отношении нужно взять каждого раствора. Из схемы ясно, что 68%-го раствора следует взять 8 частей, 78%-го раствора – 2 части. 100 : 10 = 10г – на 1 часть 10 = 80г – 68% кислоты 10 = 20г – 78% кислоты Аналогично можно решить следующие задачи: 1. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй -32% меди. Какого веса должны быть эти слитки, чтобы после их совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди? Ответ: 3 кг; 5 кг; Решение: изобразим схему
35 32 5 Из схемы ясно, что первого следует взять 3 части, а второго 5 частей. 3+5=8, 8:8=1кг-на одну часть, следовательно первый слиток должен быть весом 3кг, второй 5кг. (№800 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) 2. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5 % и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%? А) 40т; 85т. В) 40т; 100т. С) 35т; 150т. D) 45т; 105т. Е) 50т; 120. (Вариант-13 №14 2003г.) 3. Один раствор содержит 30% (по объему) азотной кислоты, а второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100л 50%-ного раствора азотной кислоты? А) 25л; 75л. В) 20л; 80л. С) 40л; 60л. D) 30л; 70л. Е) 22л; 78л. (Вариант-34 №14 2003г.) (Вариант-14 №17 2006г.) Коды правильных ответов
Вот одна из часто встречаемых задач на практике: Имеется 240г 70% раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6% раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ый раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору? Решение: Изобразим схему: 0 64 6 70 6 240 : 6 = 40г составляет одна часть, т.к. из схемы ясно, что уксусной кислоты следует взять 6 частей, воды 64 части. 40 = 2560г воды. Ответ: 2560г воды. Аналогично можно решить следующие задачи. 1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды необходимо добавить к морской, чтобы содержание соли в последней составило 4%? А) 15кг. В) 20кг. С) 17кг. D) 22кг. Е) 18кг. (Вариант-31 №30 2003г.) 2. К 15 литрам 10% раствора соли добавили 5% раствор соли и получили 8% раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили? А) 10л. В) 12л. С) 15л. D) 8л. Е) 7л. (Вариант-31 №14 2003г.) 3. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. К 40 кг морской воды добавили пресной воды и содержание соли в полученной воде составило 2%. Масса добавленной пресной воды равна: А) 60кг. В) 16кг. С) 40кг. D) 28кг. Е) 80кг. (Вариант-35 №2 2004г.) 4. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 5 л морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%? А) 40л. В) 25л. С) 42л. D) 30л. Е) 35л. (Вариант-17 №2 2004г.) 5. Морская вода содержит по весу 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 80кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 2%? А) 122кг. В) 121кг. С) 120кг. D) 123кг. Е) 130кг. (Вариант-34 №26 2005г.) (Вариант-4 №25 2006г.) 6. К 15 литрам 10% раствора соли добавили 5% раствор соли и получили 8% раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили? А) 15л. В) 10л. С) 7л. D) 8л. Е) 12л. (Вариант-25 №27 2005г.) 7. Чтобы получить 50% раствор кислоты, надо к 30 г 15%раствора кислоты добавить 75% раствор этой же кислоты. Найти количество 75% раствора кислоты, которое надо добавить. А) 42г. В) 6г. С) 150г. D) 3г. Е) 9г. (Вариант-15 №25 2007г.) 8. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 80кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 4%? А) 22кг. В) 15кг. С) 17кг. D) 18кг. Е) 20кг. (Вариант-14 №25 2007г.) Коды правильных ответов
VIII. Решение логарифмических и иррациональных уравнений. Ошибки, допускаемые учащимися при решении логарифмических уравнений, бывают связаны с неправильным применением формул для логарифмирования произведения, дроби и степени. Используя формулы логарифмирования: 1) x > 0, y > 0, 2) a , a > 0 3) p – любое действительное число Нужно помнить, что ОДЗ их левых и правых частей не совпадают. Правые части (1) и (2) имеют смысл, когда x > 0, y > 0. Левые же части имеют смысл, когда знаки х и у совпадают. Следовательно, при переходе от выражения к выражению ОДЗ сужается, а это может привести к потере корней. Правая часть (3) определена лишь при х > 0, а ОДЗ левой части зависит от показателя степени p. Если р – целое четное число, то левая часть (3) имеет смысл и при отрицательном х. Поэтому переход от выражения к выражению может привести к потере решений уравнения. Поэтому формулы лучше применять в такой форме: 1) 2) 3) (р – четное) Используя формулы в таком виде, невозможно потерять корни, можно лишь приобрести посторонние. Но это не так страшно. Просто необходима проверка полученных решений. На пример: Неправильное решение: 2lg (x + 1) + 2lg (x + 9) = 2lg9 lg (x + 1) + lg (x + 9) = lg9 lg (x + 1) (x +9) = lg9 (x + 1) (x + 9) = 9 x + 10x = 0 x Правильное решение: ОДЗ: х 2lg |x + 1| + 2lg |x + 9| = 2lg9 lg |(x + 1) (x + 9)| = lg9 |x + 10x + 9| = 0 x a) x + 10x + 9 = 9 x б) x + 10x + 9 = -9 x + 10x + 18 = 0 x Это же уравнение можно решить и другим способом: ОДЗ: х ((х + 1) (х + 9))= 81 (x + 10x + 9)= 81 x + 10x + 9 = 9 x + 10x + 9 = -9 x x Пример: lg x= 6 I способ: 2lgx = 6 lgx = 3 x = 1000; II способ: На основании определения логарифма, имеем: x= 10 х =1000 Решая первым способом, мы сузили ОДЗ для х, поэтому произошла потеря корня. Правильно применять первый способ нужно так: lg x= 6 2lg|x| = 6 lg|x| = 3 |x| = 1000 x = 1000 Примеры: 1. Решите уравнение: А) 1. В) 2. С) -2; 1. D) 1; 2. Е) -1; 32. (Вариант-21 №16 2007г.) 2. Решите уравнение: А) 13. В) -3,5; 13. С) -26; 13. D) -13; 3,5. Е) 26. (Вариант-12 №17 2007г.) 3. Решите уравнение: А) 0; 2; 16\9. В) 16\9; 2. С) 0; 16\9. D) 0; 2. Е) 16\9. (Вариант-30 №14 2002г.) 4. Решите уравнение: Ответ: . (№992 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) 5. Решите уравнение: Ответ: . (№885 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) Коды правильных ответов
Следует иметь в виду для любых уравнений, что при делении, а также умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять или приобрести посторонние корни. Сокращение на выражение, содержащее неизвестное, - это очень распространенная ошибка, которую допускают учащиеся при решении уравнений и неравенств. Например: Решите уравнение: (х + 4) (х - 7) = х – 7 Если обе части уравнения вократить на х – 7, то будет потерян корень х = 7. Решение: (х + 4) (х - 7) – (х – 7) = 0 (х – 7) (х + 4 – 1) = 0 х = 7 или х = -3 Ответ: х = 7, х = -3. Решите уравнение: sinх = sin x sinх - sin x = 0 sin x (sin x – 1) = 0 sin x = 0 или sin x = 1 x = x = Eсли же сократить на sin x, то потеряются все корни, для которых sin x = 0. Подобных ошибок следует избегать в следующих тестовых заданиях: 1. Решите уравнение: Решение: 2х3 -7х2+6х=0 х(2х2-7х+6)=0 х=0 или 2х2-7х+6=0 х1=2, х2=1,5 Ответ:0;2;1,5. А) -2; 0; 1.5. В) -1.5; 0; 2. С) 1.5; 2. D) 0; 1.5; 2. Е) -1.5; -1; 0. (Вариант-8 №16 2006г.) 2. Решите уравнение: 2cos x cos 2x – cos x = 0 А) . В) . С) , . D) . Е) , (Вариант-32 №15 2006г.) 3. Решите уравнение: . А) {1; 3; -3}. В) {-1; 3; -3}. С) {-1; 3; 1\3}. D) {1; -3; -1\3}. Е) {1; -3; 1\3}. (Вариант-21 №9 2005г.) 4. Решите уравнение: . А) . В) ; . С) . D) ; . Е) . (Вариант-14 №16 2007г.) 5. Решите уравнение: . А) 1\2; 1\3. В) -3; 1. С) -9; 0. D) 0;4. Е) 2; 6. (Вариант-25 №7 2005г.) 6. Решите уравнение: sin 2x = sin x. А) ; . В) . С) ; . D) . Е) . (Вариант-32 №13 2005г.) 7. Решите уравнение: 1 - cos 2x = 2sin x. А) . В) . С) ; . D) . Е) . (Вариант-18 №23 2005г.) 8. Решите уравнение: sin x +sin 2x = cos x +2 cos. А) ; . В) ; . С) нет корней. D) ;. Е) ; . (Вариант-14 №28 2005г.) 9. Решите уравнение: 2sin x + 2sin 2x = . А) ; . В) нет решений. С) ; . D) ;; . Е) ; . (Вариант-8 №30 2005г.) Коды правильных ответов
Решения многих уравнений можно упростить введением новой переменной. Например: Решите уравнение: += 14 Пусть = u, = v Получаем систему: Решая способом подстановки, находим: , , Возвращаясь к прежней переменной, получаем: = х = 2 = = = х = -2 Ответ: х = 2; х = -2. Использование вспомогательных неизвестных часто существенно ускоряет решение иррациональных уравнений. На пример: 1. - = 2 Можно ввести две переменные. Пусть = u, = v. , Получаем систему: Преобразуем второе уравнение: (u – v) (u + v) = 16 Возвращаясь к прежней переменной, получим: Ответ: х = 4. (Вариант-27 №7 2002г.) (№651 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) 2. - не является решением. Ответ: 0; 1. При решении уравнений такого вида чаще всего применяют способ уединения корня, с последующим возведением обеих частей уравнения в надлежащую степень. И при этом важно иметь в виду, что среди посторонних корней, получающихся при возведении уравнения в степень, могут быть и такие, которые принадлежат ОДЗ, но решением уравнения не являются. Это можно выяснить проверкой. На пример: Решите уравнение: 4+ 6 = 5х ОДЗ: 3 – х х уединим корень и возведем обе части в квадрат: 4= 5х – 6 16(3 – х) = 25х- 60х + 36 25х- 44х – 12 = 0 Решаем методом «переброски»: Оба корня принадлежат ОДЗ, но решением уравнения является только - посторонний корень. Аналогичные тестовые задания: 1. Решите уравнение: = 8 - х А) 1. В) 2. С) 4. D) 6. Е) 3. (Вариант-14 №7 2002г.) 2. Решите уравнение: Ответ: 13. (№669 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) 3. Решите уравнение: Ответ: 5. (№648 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) 4. Решите уравнение: Ответ: 8. (№646 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) 5. Решите уравнение: Ответ: 2. (№643 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) Коды правильных ответов
IX. Вычисление производных. Большое внимание в тестах уделяется вычислению производных. Вычисление производных осуществляется согласно правилам и формулам. Обратим внимание на функции вида: у = у = у = Сравнивая данную функцию и ее производную, приходим к выводу: чтобы найти производную данной функции, нужно числитель умножить на показатель степени знаменателя с противоположным знаком, а показатель степени увеличить на единицу. Принятие во внимание этого факта поможет сэкономить время при вычислении производных такого вида: 1. Для функции у = , определите: а) нули; б) промежутки возрастания; в) промежутки убывания. Указание: =+ А) а) -4, 4; б) (); в) нет. В) а) -4, 4; б) (); в) нет. С) а) -4, 0; б) (); в) нет. D) а) -4, 4; б) (); в) [-4, 4]. Е) а) -4, 0, 4; б) ); в) (]. (Вариант-1 №24 2002г.) 2. Дана функция f(x) = . Найдите . А) 0. В) -3. С) 5. D) 1. Е) 6. (Вариант-31 №11 2007г.) 3. Для функции у = , определите: а) нули; б) промежутки возрастания; в) промежутки убывания. А) а) -3, 3; б)нет; в) (). В) а) -3, 3; б) (; в) [0,). С) а) -3, 3; б)нет; в) (). D) а) -3, 0, 3; б)[-3, 0], [3, ); в) (). Е) а) 3, -3; б) [3, 1], [-3, 0]; в) (0, -3], [0, 3]. (Вариант-11 №29 2003г.) 4. Для функции у = , найдите: а) все критические точки; б) точки минимума и точки максимума; А) а) ; б) , , . В) а) ; б) , . С) а) ; б) , D) а) ; б) , . Е) а) ; б) , (Вариант-13 №18 2003г.) Коды правильных ответов
Очень часто при вычислении производных сложных функций учащиеся допускают ошибки. Находя производную функции y = lg(3x + 5), забывают умножить результат на 3. Почему? Просто многие из них не владеют понятием сложной функции. Поэтому при вычислении производных необходима последовательность рассуждений: 1. Определить вид функции (линейная, квадратичная, логарифмическая, степенная и т.д.) 2. Если – да, то ее производная берется согласно известным формулам. 3. Если – нет, то можно ли данную функцию представить в виде суммы (разности), произведения или частного указанных функций. 4. Если – да, то работаем с соответствующими формулами. 5. Если – нет, то надо рассматривать данную функцию как сложную. На пример: Найти производную функции у = (2х – 4). Последовательно рассуждая, приходим к выводу, что данная функция сложная: степенная от линейной. Значит, ее производная равна произведению производной степенной и линейной функций 10(2х – 4) Аналогичные примеры можно найти в следующих тестовых заданиях: 1. Дана функция f(x) = . Найдите . Решение: А) -42(4х + 7). В) -6(4х + 7). С) -4(4х + 7). D) -24(4х + 7). Е) -4(4х + 7). (Вариант-11 №10 2006г.) 2. Найдите производную функции у = (1/3 х – 6). А) 8(1/3х – 6). В) 6(1/3х – 6). С) 24(1/3х – 6). D) 1/3(1/3х – 6). Е) 72(1/3х – 6). (Вариант-12 №9 2006г.) 3. Дано f(x) = . Найдите . А) -10. В) 10. С) -60. D) 6. Е) 60. (Вариант-13 №10 2006г.) 4. Найдите производную функции: f(x) = . А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-16 №9 2006г.) 5. Найдите производную функции: f(x) = (2x – 6). А) -7(2x – 6). В) 16(2x – 6). С) -7(2x + 6). D) 4(2x – 6). Е) 8(2x – 6). (Вариант-16 №10 2006г.) 6. Дана функция , найдите А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-3 №23 2002г.) 7. Найдите производную функции: f(x) = А) 102x(. В) 204. С) 102. D) 2x. Е) 204. (Вариант-7 №24 2002г.) 8. Найдите производную функции: f(x) =. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-6 №21 2003г.) 9. Найдите производную функции: y = . А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-8 №19 2003г.) Коды правильных ответов
X. Вычисление площадей с помощью интеграла. Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций y = f(x) и y = g(x) а также двумя прямыми x = a и x = b, где f(x)g(x) на отрезке находится по формуле: . Если известно, что график одной из функций f(x) или g(x) лежит выше другого, то можно не выяснить, какой именно, а воспользоваться формулой: На пример: 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - 5х + 3, у = 3 – х Решение: Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций. , Искомая площадь равна: А) . В)12. С) 10. D) 10. Е) 8. (Вариант-24 №23 2006г.) (Вариант-24 №23 2007г.) 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = 6 – х, у = 0. А) . В) 7. С) 3. D) 14. Е) 7. (Вариант-14 №27 2007г.) 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = 2. А) . В) . С) 0. D) 1. Е) . (Вариант-22 №23 2003г.) Коды правильных ответов
Оглавление.
Литература.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||