Методическое пособие «Решаем с удовольствием»
 Скачать 1.06 Mb.
|
III Метод Крамера. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными можно решать методом подстановки, методом сложения, а можно применять метод Крамера или метод определителей. Учащимся, интересующимся математикой, этот метод нравится, и они его используют при решении уравнений. некоторые числа , По коэффициентам системы составляются три определителя: 1) Если , а или , то система не имеет решений. 2) Если , то система имеет бесконечное множество решений. 3) Если , то система имеет единственное решение: . Например: Решите систему уравнений = -10 + 42 = 32 = 72 - 8 = 64 , у = Ответ: (-1; -2). Этим методом можно решить системы: 1. Решите систему уравнений: А) (-1; 0). В) (2; 3). С) (-2; -1). D) (6; 7). Е) (4; 5). (Вариант-19 №5 2003г.) 2. Решите систему уравнений: Указание к решению: от данной системы переходим к системе . А) (3; 3). В) (7; 8). С) (-3; -1). D) (-3; -3). Е) (-1; 3). (Вариант-26 №24 2003г.) 3. Решите систему уравнений: А) (-13; -5). В) (-1; -3). С) (-7; -4). D) (5; -2). Е) (11; -1). (Вариант-19 №15 2004г.) 4. Решите систему уравнений: А) (-3; 5). В) (5; 3). С) (-5; -3). D) (3; 5). Е) (3; -5). (Вариант-24 №15 2004г.) 5. Решите систему уравнений: А) (-5; -3). В) (-3; 5). С) (5; 3). D) (3; 5). Е) (3; -5). (Вариант-2 №6 2005г.) 6. Решите систему уравнений: А) (2; -7). В) (7; 2). С) (5; 0). D) (0; 4). Е) (4; -5). (Вариант-26 №6 2005г.) 7. Решите систему уравнений: А) (1; 7). В) (-6; 0). С) (5; 3). D) (0; 6). Е) (-5; 3). (Вариант-23 №19 2007г.) 8. Решите систему уравнений: А) (2; 4). В) (1\6; 0). С) (-2; -1). D) (4; 2). Е) (-1; -2). (Вариант-15 №14 2004г.) Коды правильных ответов
IV Решение простейших уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, геометрическим способом. При решении простейших неравенств, уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, можно использовать геометрический способ решения. Абсолютную величину (модуль) действительного числа х, т.е. |x|, можно геометрически истолковать, как расстояние от точки, изображающей число х, до начала отсчета; |x - a| означает расстояние на числовой прямой между точками х и а. Например, если |x| = 3, то на числовой оси имеются только две точки: которые удалены от начала 0 на расстояние, равное трем. Примеры: 1. Решите уравнение: |x - 1| = 3. Уравнению удовлетворяют такие точки х, расстояние которых от 1 равно 3. Это точки -2 и 4. Ответ: . (Вариант-23 №6 2005г.) 2. Решите уравнение: |2x - 3| = 5. 2|x – 1.5| = 5 |x – 1.5| = 2.5 От точки 1,5 отложим влево и вправо 2,5, получим точки 4 и – 1. Ответ: 3. Решите неравенство: |х - 3| < 1. Геометрический способ решения. Неравенству удовлетворяют такие точки, которые удалены от точки 3 на расстояние, меньшее 1. От точки 3 отложим влево и вправо единицу, получим две точки: 2 и 4. Ответ: х (2; 4) 4. Решите неравенство: |2х + 3| < 5 2 |x + 3\2| < 5 |x + 3\2| < 5\2 или |x – (-3\2)| < 5\2 От точки -3\2 откладываем 5\2 влево и вправо. Получаем точки -4 и 1. 5. Решите неравенство: |2х - 3| > 7 2 |x - 3\2| > 7 |x – 3\2| > 7\2 От точки 3\2 отложим влево и вправо 7\2 единиц. Получаем точки -2 и 5. Искомые точки расположены от 3\2 на расстоянии, большем, чем 7\2. Это х<-2 или х>5. Решение уравнений вида |x – a| + |x – b| = c допускает простую геометрическую интерпретацию (при заданных числах a, b, c > 0). Как решить уравнение |х - 5| + |х + 1| = 8? Выражение |х - 5| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5. Выражение |х+1| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1. Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний от которой до точек с координатами 5 и -1 равна 8. Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 6 < 8, следовательно, точка с координатой х находится вне отрезка [-1; 5] и таких точек две. Ответ: х = -2, х = 6. Что произойдет, если вместо 8 взять число 1, 6, 100,…? Сколько будет тогда корней уравнения? При равенстве суммы модулей 1 – нет решений, так как 1 < 6. При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как все точки отрезка [-2; 6] удовлетворяют условию уравнения. При равенстве суммы модулей 100, или любому числу больше 6, уравнение имеет два решения. Вывод:
Геометрический способ решения можно применить при решении следующих заданий:
Решение: 2| х-1,5|=6, |x-1,5|=3, от точки 1,5 откладываем влево и вправо 3. Получаем точки -1,5 и 4.5. Ответ: х1=-1.5, х2=4,5. А) (-). В) (-4.5; 4.5). С) (-4.5; 1.5). D) (-). Е) (-1.5; 4.5). (Вариант-18 №20 2005г.) 2. Определите верный промежуток-решение неравенства: |2x - 3| < 5. (Вариант-16 №20 2005г.) 3. Решите уравнение: |2x - 3| = 1. А) {2; -1}. В) {-2; -1}. С) {2; 1}. D) {-2; 1}. Е) {-3; 1}. (Вариант-3 №12 2005г.) 4. Решите неравенство: |3х - 1|. А) -1\3. В) -3 . С) все ответы неверны. D) -1. Е) -1\2. (Вариант-34 №18 2007г.) 5. Определите верное решение неравенства: |x - 1| А) [4; 6]. В) (-; 4]. С) [-6; 4]. D) (-; -4]. Е) [-4; 6]. (Вариант-23 №8 2007г.) 6. Определите верное решение неравенства: |x + 2| А) [0; +). В) (-; 0)). С) [-4; 0]. D) (-; -4]. Е) [-; -4] (Вариант-22 №8 2007г.) 7. Определите верное решение неравенства: |1 + 2x| > 1. А) (0;1). В) (-; -1)). С) (-; 0)). D) (-1; +). Е) (-1; 0) (Вариант-16 №19 2007г.) 8. Решите неравенство: |х| 1. А) (1; +). В) (-; -1). С) (0; +). D) (-1; 1). Е) (-; -1] [1; +). (Вариант-5 №7 2007г.) 9. Определите верный промежуток-решение неравенства: |3 + x| (Вариант-14 №7 2004г.) 10. Решите уравнение: |x - 1| =3. A) {4; -2}. B) {-1; 4}. C) {2; -4}. D) {-4; 3}. E) {0; -3}. (Вариант-17 №4 2004г.) 11. Определите верный промежуток-решение неравенства: |2x - 3| < 5. (Вариант-23 №8 2004г.) 12. Решите систему уравнений: А) (0; 5),(-2;8). В) (-1; 3), (7; -1). С) (-1; -3), (-5; 1). D) (1; -3), (-5; -1). Е) (-1; 0) (5; 0). (Вариант-11 №25 2006г.) 13. Решите неравенство: 2|х - 1|. А) [-8; 9]. В) (-. С) [-7; 9]. D) (-. Е) [9; +. (Вариант-19 №4 2003г.) 14. Решите неравенство: |х| <3. А) (3; +). В) (-; -3). С) (-3; 3). D) (-3; 3]. Е) (-; 3). (Вариант-21 №4 2003г.) Коды правильных ответов
V. Тригонометрия в ладони. Решение тригонометрических уравнений. Для решения некоторых тригонометрических примеров вовсе не обязательно пользоваться формулами. Можно использовать прямоугольный треугольник и четко знать определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Например: 1. tg = 8\15, . Найти sin. sin= - 2. cos . Найти: . ; 3. Найти sin (arcos 2\3). Применяем формулы: , sin(arccos 2\3) = 4. Вычислите: sin (2arccos a) Пусть arcos a равен , тогда sin 2 = 2 sin cos . Найдем значения sin , cos и, подставив их в формулу, вычислим. 5. Вычислите: cos (2arcsin a) Пусть arcsin a равен , тогда cos 2 = . Найдем значения sin , cos и, подставив их в формулу, вычислим. При решении заданий такого вида важно помнить следующие тождества:
Аналогичные задания: 1. Вычислите: cos(2arcsin 2\7). А) 1. В) . С) . D) . Е) . (Вариант-17 №26 2005г.) 2. Вычислите tg, если cos, 0 < < . А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-15 №7 2005г.) 3. Вычислите 3ctg, если sin 0 < А) 3. В) 2. С) -2. D) 4. Е) 5. (Вариант-20 №10 2007г.) 4. Вычислите: cos2, если sin. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-12 №9 2007г.) 5. Вычислите: 2, если sin, 0 А) 1. В) 3. С) 2. D) 7. Е) 4. (Вариант-27 №9 2004г.) 6. Вычислите: sin(2arccos3\5). А) 0.96. В) 0.98. С) 1. D) 0.97. Е) 0.99. (Вариант-32 №28 2006г.) 7. Чему равен cos a, если sin a = 1\5, \2 < a < ? А) -2\5. В) -2\5. С) \5. D) 2\5. Е) \5. (Вариант-13 №11 2003г.) 8. Вычислите cos 2a, если sin a = 3\5. А) -7\25. В) 8\5. С) 7\25. D) -8\5. Е) 25\7. (Вариант-15 №5 2003г.) 9. Вычислите 4ctg a, если cos a = 12\13 и . А) -3,6. В) 9,6. С) 0. D) -9,6. Е) 1,6. (Вариант-24 №28 2003г.) Коды правильных ответов
Тригонометрия – один из важнейших разделов математики. Чтобы успешно решать тригонометрические уравнения, упрощать тригонометрические выражения, нужно знать основные формулы тригонометрии и значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса табличных углов. В одном из журналов «Математика» указан необычный способ, который можно применить для запоминания значений синусов и косинусов табличных углов. Это, конечно, мнемоническое правило, но в трудную минуту оно может помочь. Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на нашей ладони. На пересечении продолжений мизинца и большого пальца находится бугор Луны. Измерим углы между пальцами (пальцы развести как можно сильнее). Угол между мизинцем и безымянным пальцем - 30º, угол между мизинцем и средним пальцем - 45º,угол между мизинцем и указательным пальцем - 60º, угол между мизинцем и большим пальцем - 90º. И это у всех людей без исключения. Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то, если совместить пальцы с мизинцем, угол между лучами будет 0º, т.е. можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0º. Введем нумерацию пальцев: Мизинец – №0 соответствует 0º Безымянный - №1 соответствует 30º Средний - №2 соответствует 45º Указательный - №3 соответствует 60º Большой - №4 соответствует 90º Нужно запомнить формулу: sin - половина квадратного корня из номера (n) пальца.
а и большого пальца находится бугор Луны. Для определения косинуса угла пальцы пронумеровать с большого, а начало отсчета углов оставить по-прежнему от мизинца. При решении тригонометрических уравнений, неравенств вида sin чтобы получить ответ, данный в тестах, нужно решать, используя формулы понижения степени: На пример: Решите уравнение: sin. I cпособ решения: sin. sin ; sin; x = (-1) x = (-1) Объединяя решения, получаем ответ, данный в тестах: х = Но если использовать формулу , то получим сразу данный ответ. Этот способ решения для учащихся проще, т.к. нахождение объединения решений вызывает у них затруднения. II cпособ решения: sin. 2x = x = Аналогичный способ решения можно применить в следующих заданиях: 1. Решите уравнение: sin Решение: , , А) В) . С) . D) . Е) . (Вариант-35 №25 2005г.) 2. Решите уравнение: cos А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-16 №30 2005г.) 3. Решите уравнение: sin3cos А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-2 №5 2004г.) 4. Решите уравнение: А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-5 №5 2004г.) 5. Решите неравенство: 3 – 4 соs А) (. В) (. С) (. D) (. Е) (. (Вариант-7 №9 2004г.) (Вариант-35 №8 2004г.) Коды правильных ответов
При решении тригонометрических уравнений, неравенств, упрощении тригонометрических выражений можно использовать правило: Увидел сумму – преобразуй в произведение. Увидел произведение – преобразуй в сумму. Увидел степень – понижай. Например: 1. Решите уравнение: Решение: увидел степень – понижай , А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-29 №22 2002г.) 2. Решите уравнение: sin 2x sin 4x = cos 2x. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-29 №21 2002г.) 3. Решите уравнение: sin 5x + sin x = 2 sin 3x. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-28 №21 2002г.) 4. Решите уравнение: cos 5x cos x = cos 4x. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-9 №15 2006г.) 5. Решите уравнение: sin x sin 2x +cos 3x = 0. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-26 №15 2006г.) 6. Решите уравнение: sin 2x cos 3x = sin 5x. А) . В) . С) . D) ; . Е) . (Вариант-29 №16 2007г.) 7. Решите уравнение: sin 5x sin 4x + cos 6x cos 3x = 0 А) . В) . С) . D) . Е) ; . (Вариант-29 №4 2004г.) Коды правильных ответов
VI Арифметическая и геометрическая прогрессии. Применять рациональные приемы решения задач на прогрессию, как показывает практика, могут учащиеся в том случае, если они: 1. отчетливо понимают введенную при изучении последовательностей символику: член последовательности, сумма n первых ее членов. 2. знают не только формулы, выражающие n-ный член арифметической прогрессии через и d и b и q для геометрической прогрессии, но и характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессии, а также формулу . 3. большое значение имеет использование свойств членов конечных прогрессий, равноудаленных от концов. для арифметической прогрессии. для геометрической прогрессии. Например: 1. В арифметической прогрессии , а произведение . Найти прогрессию. В данной прогрессии 10 членов, значит . Систему можно решить, используя теорему, обратную теореме Виета. Получаем: и . Условию задачи удовлетворяет две прогрессии: а) 5,7,9,11,13,15,17,19,21,23. б) 23,21,19,17,15,13,11,9,7,5. 2. Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого ее членов равно 28. Найти и d. Решение этой задачи окажется более простым, если воспользоваться свойством суммы членов, равноотстоящих от концов, для прогрессии, составленной из пяти членов. Систему можно решить устно: Зная и , находим d. d = 3 и d = -3 Ответ: 2; 14; 3; -3; 3. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна15. Если к ним прибавить соответственно числа 1, 4, 19, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа. Решение: По условию , так как , то 2 Тогда , По условию Используя характеристическое свойство геометрической прогрессии, имеем: 81 = (6 – d) (24 + d) d+ 18d – 63 = 0 d= 3 d= -21 Тогда или Ответ: 2; 5; 8; и 26; 5; -16. Если известна сумма трех членов, задачи можно решать таким способом. Например: 1. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, если . Решение: в данной прогрессии 14 членов, значит а1+а14=а6+а9. S14=, S14=140/ А) 140. В) 120. С) 110. D) 130. Е) 100. (Вариант-21 №23 2002г.) 2. В геометрической прогрессии пять положительных членов, первый из которых 1,5, а последний 24. Найдите знаменатель и их сумму. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-4 №22 2002г.) 3. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найдите сумму 10 первых членов арифметической прогрессии. А) 120. В) 240. С) 360. D) 100. Е) 210. (Вариант-34 №29 2003г.) 4. Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна 14. Найдите сумму первых десяти членов этой арифметической прогрессии. А) 14. В) 63. С) 126. D) 56. Е) 64. (Вариант-28 №29 2003г.) 5. В арифметической прогрессии Найдите и . А) d = 3.6; = -5.7. В) d = 1.4; = 3.1. С) d = 1.6; = 2.3. D) d = 1.2; = 3.1. Е) d = 1.2; = 3.9. (Вариант-19 №12 2004г.) 6. Числа a, b, c составляют арифметическую прогрессию с разностью d = 4. Найдите числа a, b, c, если a, b, c + 8 последовательные члены геометрической прогрессии. А) a = 5, b = 9, c = 13. В) a = 3, b = 7, c = 11. С) a = 2, b = 6, c = 10. D) a = 1, b = 5, c = 9. Е) a = 6, b = 10, c = 14. (Вариант-27 №12 2004г.) 7. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b = 25, b = 16. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-30 №12 2004г.) 8. Найдите значения х, при которых числа х – 4, , х – 6 образуют арифметическую прогрессию. А) 5. В) 4. С) -7. D) 3. Е) 7. (Вариант-11 №12 2004г.) 9. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b = 27, b = 3. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-10 №12 2004г.) 10. Три числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель прогрессии. А) 2. В) 2 - . С) 2 + . D) 2 + . Е) 2 - . (Вариант-33 №30 2005г.) 11. Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна 14. Найдите сумму первых девяти членов этой арифметической прогрессии. А) 126. В) 14. С) 56. D) 63. Е) 64. (Вариант-22 №6 2005г.) 12. В арифметической прогрессии . Найдите и d. А) d = 2; = -6. В) d = 3; = 6. С) d = 2; = 6. D) d = -6; = 3. Е) d = 6; = 3. (Вариант-3 №18 2006г.) Коды правильных ответов
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||