Методическое пособие «Решаем с удовольствием»
 Скачать 1.06 Mb.
|
| Ф.И.О. : Дубогрей Светлана Ивановна Учитель математики Место работы : Заречная средняя школа, п. Заречный, Костанайский район, Костанайская область, Казахстан. Учебно- методическое пособие «Решаем с удовольствием» Математика 8-11классы
Светлана Ивановна Дубогрей РЕШАЕМ С УДОВОЛЬСТВИЕМ (учебно-методическое пособие для учащихся) п.Заречный 2010 г. Составитель: учитель математики ГУ «Заречная средняя школа» отдела образования акимата Костанайского района Дубогрей Светлана Ивановна. Рецензенты: декан ФИТ КГУ им.А.Байтурсынова, кандидат физико-математических наук, доцент Абатов Н. методист ГУ «Отдел образования» акимата Костанайского района Моханькова Р.К. Лицензия № 1145: выдана на основании решения Совета по экспертизе и лицензированию при Костанайском областном ИПК и ПРО от 28 мая 2010 года. В пособии даны рекомендации по способам устных вычислений и нестандартному решению полных квадратных уравнений, неравенств, а также рекомендации по использованию геометрического метода решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, и значений тригонометрических функций с помощью прямоугольного треугольника. Пособие рекомендовано как для использования на уроках математики молодым преподавателям средней школы, так и для самостоятельной работы учащимся 10-11 классов. Пояснительная записка. За годы работы с учащимися мною накоплен определенный опыт, который поможет молодым учителям и учащимся ускорить решение некоторых заданий. При обучении учащихся необходимо обратить внимание в первую очередь на развитие приемов устного счета, рациональных приемов решения квадратных, тригонометрических, логарифмических уравнений, геометрическое решение простейших уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. В помощь учащимся даны образцы решений некоторых заданий и указаны подобные задания из сборников по ЕНТ. Пособие поможет учащимся при подготовке к поступлению в ВУЗы. Молодые учителя могут использовать материалы данного пособия при подготовке и проведении уроков. Пособие «Решаем с удовольствием» апробировано учителями школ Костанайского района. I Некоторые способы быстрых вычислений. 1. Умножение двузначных чисел (метод Ферроля) Этот способ следует из тождества: = (10a+b) (10c+d) = 100ac + 10bc + 10ad + bd = 100ac +10(bc+ad) + bd Например: 36 = 1692 а) 6 = 42; два пишем и 4 запоминаем; б) 6 = 24 + 21 =45; 45 + 4 = 49; девять пишем и четыре запоминаем; в) = 12; 12 + 4 = 16 Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20. Например: 13 = 156 Умножаем так: а) 3 б) 3 в) 1 Можно умножать и трехзначное на двухзначное число. Например: 23 7475 а) 5 пишем пять, один запоминаем. б) 3 = 16; 16 + 1 = 17; пишем семь, один запоминаем. в) 3 = 13; 13 + 1 =14; пишем четыре, один запоминаем. г) 3; 6 + 1 = 7. 2. Возведение в квадрат ()=100 Например: 53=2809 а) 3 б) (5; ноль пишем, три запоминаем; в) 5; 25 + 3 = 28. 64 а) 4; шесть пишем, один запоминаем; б) (6; 48 + 1 = 49; девять пишем, четыре запоминаем; в) 6; 36 + 4 = 40. 3. Возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5 (10a + 5)+ 100a + 25 = 100a (a+1) + 25 a – цифра десятков, 25 – две последние цифры Для возведения в квадрат числа, запись которого оканчивается цифрой 5, необходимо число десятков умножить на число, увеличенное на единицу, к полученному произведению приписать справа 25. Например: 95= 9025 (9 = 90 и приписываем 25) 405= 164025 (40 и приписываем 25) 165 (16 - можно применить метод Ферроля) Все эти правила можно применять при возведении в квадрат десятичных дробей. 4. Применение формулы произведения суммы двух чисел на их разность. 78= (70+8) (70-8) = 4900 – 64 = 4836 8,3 ,7 = (8+0,3) (8-0,3) = 64 – 0,09 = 63,91 5. Применение формул Например: 98= 972196 986 + 14 = 1000 a = 986, b = 14 a + b = 1000, a – b = 972 986= 1000+196 = 972196 Например: 488= 238144 488 + 12 = 500 a = 488, b = 12 a + b = 500, a – b =476 488= 500+144 = 238000 + 144 = 238144 6. Умножение чисел, у которых число десятков одинаковое, а сумма единиц равна 10 Этот способ основан на тождестве: (10a + b) (10a + c) = 100a (a +1) + bc, где b + c =10 Например: а) 12 = 216 1. число десятков умножаем на число, которое больше на единицу, 1= 2 2. перемножаем единицы этих чисел и справа дописываем к первому результату 8 б) 46= 2024 1. 4 2. 6 в) 317 1) 31(можно применить метод Ферроля) 2)7 7. Умножение чисел на 11 Записать последнюю цифру числа, затем последовательно, справа налево записывать суммы соседних двух цифр множимого и, наконец, первую цифру множимого. Например: 43 1. пишем 3 2. 4 + 3 = 7, пишем 7 3. пишем 4 135 = 1485 1. пишем 5 2. 3 + 5 = 8 3. пишем 1 Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то в этом разряде записывают цифру единиц полученной суммы, а в следующем прибавляют 1. Например: 57 1. пишем 7 2. 5 + 7 = 12, пишем 2 и запоминаем 1 3. 5 + 1 = 6 389= 4279 1. пишем 9 2. 8 + 9 = 17, пишем 7 и запоминаем 1 3. 3 + 8 = 11, 11 + 1 = 12, пишем 2, запоминаем 1 4. 3 + 1 = 4 8. Умножение на числа вида Умножить данное число на a, потом на 11. Например: 235 9. Умножение двузначных чисел на 111 Справа налево нужно последовательно записать последнюю цифру первого множителя, сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему разряду прибавляем 1. Например: 36 58 10. Умножение чисел десятого десятка друг на друга («воздушный счет») Например: 97 Находим дополнения этих чисел до 100, получаем соответственно 3 и 7. От первого множителя отнимаем дополнение второго (97 – 7 = 90) или от второго - дополнение первого (93 – 3 = 90). Это первые две цифры искомого произведения, а две другие получаются при перемножении дополнений (7. Итак, получаем 97 Схематически это выглядит так: 3 93 7 90 21 Например: 92 8 99 1 91 08 11. Умножение на 5, 50 , 12. Умножение на 25, 250 , 13. Деление на 5 и 50 14. Деление на 25 и 250 15. Умножение на 9,99, 999 и т.д. В этом случае умножение сводится к умножению на 10, 100, 1000 и т.д. и вычитанию из полученного произведения первого множителя. Например: 68 85 85 16. Сложение столбцами Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы. Например: 276 827 129 26 15 14 . 1576 493 97246 46527 16 15 11 13 13 . 144266 II Свойства квадратного уравнения. Метод переброски. Применение теоремы Виета и обратной ей теоремы. Большое значение имеет умение учащихся быстро находить корни приведенного квадратного уравнения по теореме, обратной теореме Виета. Сложнее определить корни полного квадратного уравнения. При решении таких уравнений можно использовать метод «переброски», позволяющий свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного уравнения. Этот метод состоит в следующем. Пусть требуется решить квадратное уравнение . Для него , . Умножив обе части данного уравнения на а, перепишем его в виде . Введем замену у = ах, тогда в полученном уравнении , , . Для решения исходного уравнения, достаточно решить вспомогательное уравнение. И его корни разделить на а. Например: 1. Решите уравнение 6+ х – 15 = 0. Решение: Запишем вспомогательное уравнение - 90 = 0. Его корни . Следовательно, исходное уравнение имеет корни 2. Решите уравнение 12+ 13х + 3 = 0. Решение: Запишем вспомогательное уравнение + 36 = 0. Его корни . Следовательно, исходное уравнение имеет корни В дальнейшем, по мере накопления учащимся опыта в применении указанного приема можно не записывать вспомогательное уравнение, а проводить «мысленные» рассуждения: «Чтобы решить уравнение 3- 11х + 6 = 0, надо подобрать два числа, сумма которых 11, произведение 18. Это 2 и 9. Следовательно, корни данного уравнения и 3» Этот прием можно использовать и при решении квадратных неравенств, разложении квадратного трехчлена на множители, при нахождении области определения функции, при решении уравнений, сводящихся к квадратным, в решении тригонометрических и логарифмических уравнений. Например: 1. Разложите квадратный трехчлен на множители: 2 + 7х – 4. Решение: 2х2 + 7х -4 = 0 Запишем вспомогательное уравнение у2 +7у -8 = 0. Его корни у1=-8, у2 = 1. Исходное уравнение имеет корни х1 = -4, х2 = Ответ : 2х2 +7х – 4 = 2(х+4)(х-) А) 2(х – 2) (х + 3). В) 2(х – 1/2) (х + 4). С) -2(х – 1/2) (х + 1/3). D) -2(х + 3) (х + 4). E) 2(х + 0,5) (х - 4). (Вариант-4 №2 2003г.) 2. Решите неравенство: 5+ 9х – 2 < 0. A) . B) C) D) (-2; 0). E) (Вариант-35 №7 2004г.) 3. Решите неравенство: 2 А) В) Нет решений. С) D) Е) (Вариант-22 №3 2005г.) 4. Решите неравенство: 4 А) В) С) D) Е) (Вариант-30 №15 2005г.) 5. Решите систему неравенств: А) (2; 5). В) (-3; 1,5). С) (-1; 0,25). D) (1; -3). Е) (0,75; +). (Вариант-25 №20 2007г.) 6. Решите систему неравенств: A) Нет решений. B) C) D) E) (Вариант-10 №22 2007г.) 7. Сколько целых решений имеет неравенство 1 - 5 А) . В) 4. С) 1. D) 3. E) 2. (Вариант-27 №14 2002г.) 8. Решите неравенство: 2+-7х – 49 > 0. A) . B) C) D) E) (Вариант-32 №13 2002г.) 9. Решите систему неравенств: А) . В) (4; -2). С) (-2; -1). D) (6; -3). E) . (Вариант-34 №20 2006г.) 10. Решите неравенство: 5+ 9х – 2 < 0. А) . В) . С) . D) (-2; 5). E) . (Вариант-23 №8 2006г.) Коды правильных ответов
Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения дает значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении некоторых квадратных уравнений. 1. Если в квадратном уравнении , то Доказательство: По условию , . Подставляем в уравнение . Получаем: Следовательно: 2. Если в квадратном уравнении , то Например: Решите уравнение . . Введем новую переменную: =t. . Полученное уравнение очень сложно решить «обычным» способом. Если применить метод «переброски», то получим: В полученном уравнении сумма коэффициентов 1 – 344 + 343 = 0. Следовательно, Корни исходного уравнения: Возвращаясь к прежней переменной, получим: нет решений. Ответ: х = 3. Примеры: А) a + b + c = 0, Б) a + b + c = 0, Эти свойства можно применить при решении уравнений: 1. Найдите самое наименьшее целое решение неравенства: Указание: В квадратном трёхчлене, стоящем в знаменателе дроби х2 +3х +2, сумма коэффициентов а-в+с=0, следовательно х1=-1, х2=-2. Получаем: х2 +3х + 2 =(х+1)(х+2). A) 1. B) 2. C) -2. D) -1. E) 0. (Вариант-9 №10 2004г.) 2. Решите уравнение: A) . B) . C) . D) . E) . (Вариант-15 №4 2004г.) 3. Решите уравнение: - 7х + 5 = 0. A) 2; 5. B) -3; 3. C) 2; 6. D) 1,5; 4. E) 2,5; 1. (Вариант-9 №5 2002г.) 4. Решите неравенство: - A) [-3; 2]. B) (-. C) [2; 3]. D) [-6; 1]. E) (-. (Вариант-13 №15 2002г.) 5. Решите неравенство: A) x > 0. B) x = -1. C) для любых х. D) x < -1. E) x . (Вариант-15 №15 2002г.) 6. Решите уравнение: A) 0, 6. B) 0. C) -0, 6. D) 1. E) Корней нет. (Вариант-16 №3 2005г.) 7. Решите уравнение: -3 A) {-3; 3}. B) {-. C) . D) . E) . (Вариант-3, №6 2005г.) 8. Решите систему неравенств: A) . B) . C) Нет решений. D) . E) . (Вариант-21 №16 2004г.) 9. Решите уравнение: A) . B) . C) . D) . E) . (Вариант-30 №6 2004г.) 10. Решите уравнение: A) -1; 9. B) 1. C) 9. D) -1. E) -9; 1. (Вариант-5 №12 2002г.) Коды правильных ответов
При решении задач, связанных с теоремой Виета, либо теоремой, обратной теореме Виета, полезно использовать соотношения: 1. 2. 3. Эти соотношения можно использовать при решении следующих заданий: 1. Не вычисляя корней и уравнения 2+ 5х – 3 = 0, найдите: . Решение: 2х2+5х-3=0, перейдём к приведённому квадратному уравнению х2+2,5х-1.5=0, х1+х2=-2,5, х1х2=-1.5. Используя соотношение х12+х22=(х1+х2)2-2х1х2, получаем х12+х22=(-2,5)2-2·(-1,5)=6.25+3=9,25. А) 10. В) 9,25. С) -5,7. D) 25. Е) 5. (Вариант-6 №16 2007г.) 2. Вычислить , где и - корни уравнения 9+12х +2 = 0. А) . В) . С) . D) . Е) . (Вариант-5 №17 2007г.) 3. Вычислите , если и различные решения уравнения А) 14 + . В) . С) 14 + . D) 14 +. Е) 10 + 2. (Вариант-27 №4 2004г.) (№593 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) 4. Найдите сумму квадратов корней уравнения + 3х – 15 = 0. Ответ: 39. (№617 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) 5. Найдите сумму квадратов корней уравнения 3- 5х – 2 = 0. Ответ: . (№618 2006г. Тестовые задания, Кокшетау) Коды правильных ответов
При решении ряда систем двух уравнений с двумя переменными можно применять теорему, обратную теореме Виета. Например: 1. Решите систему уравнений Чаще всего эту систему решают способом подстановки. Но её можно решить более рациональным путём. Из условия следует, что и являются корнями некоторого приведенного квадратного уравнения . Корни этого уравнения 8 и -1. Получаем: х = 2, у = -1. или: х = -1, у = 2. Ответ: (2; -1), (-1; 2). 2. Решите систему уравнений Возведем в куб обе части первого уравнения: , Используя теорему, обратную теореме Виета, получаем . Корни этого уравнения 3 и 1. х = 27, у = 1 или: х = 1, у = 27 Ответ: (27; 1), (1; 27). Этот метод можно применять при решении систем в тестах: 1. Решите систему уравнений Решение: Из условия следует, что х и у2 являются корнями некоторого приведённого квадратного уравнения а2 -7а +12 =0. Корни этого уравнения 3 и 4. Получаем: х=3, у2=4, у=±2, или х=4, у2=3, у = ±. А) (5; ), (5; -), (3; 2), (3; -2). В) (4; ), (4; -), (3; 2), (3; -2). С) (3; ), (3; -), (3; 2), (3; -2). D) (2; ), (2; -), (3; 2), (3; -2). Е) (5; ), (3; -), (3; 2), (3; -2). (Вариант-23 №24 2003г.) 2. Решите систему уравнений А) (-1; 2), (2; -1). В) (-1; 3), (1; -1). С) (-2; 1), (-1; 2). D) (2; 1), (-1; -2). Е) (2; -1), (-1, 1). (Вариант-8 №27 2003г.) (Вариант-13 №26 2007г.) (Вариант-25 №27 2006г.) 3. Решите систему уравнений Указание к решению: переходим к системе уравнений . А) (1; 1). В) (3; 5), (5; 3). С) (15;3), (3;15). D) (-3; -5), (-5; -3). Е) нет решения. (Вариант-13 №15 2004г.) 4. Решите систему уравнений А) (5; 1), (1; 5). В) (2; 4), (4; 2). С) (0; 6). D) (3; 3). Е) (6; 0). (Вариант-25 №15 2004г.) (Вариант-14 №20 2005г.) 5. Решите систему уравнений А) (2; 0). В) (1; 1); (. С) (-1; 1). D) (-1; 1); (. Е) (-1; 0). (Вариант-21 №25 2005г.) (Вариант-15 №26 2006г.) Коды правильных ответов
При решении квадратных неравенств (и сводящихся к ним), с которыми приходится часто иметь дело при обучении учащихся, удобно пользоваться свойством квадратного трехчлена , сформулированного следующим образом: «Если корни квадратного трехчлена действительные числа, то квадратный трехчлен имеет знак коэффициента при на всей числовой оси, за исключением замкнутого интервала между его корнями - , обращается в нуль в концах этого интервала, а внутри этого интервала знак квадратного трехчлена противоположен знаку коэффициента при ». Это свойство можно использовать при решении неравенств: 1. Решите неравенство: 5 Решение: 5х2+9х-2=0, х1=-2, х2=. Так как квадратный трёхчлен имеет различные корни, то знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком коэффициента а (а=5>0) во всех точках промежутков ( -; -2) и (; ), и противоположен знаку коэффициента а во всех точках промежутка ( -2; ). Ответ: х(-2; ). А) (-2; ). В) (; 2). С) (-; ). D) (-2; 5) . Е) (-; ). (Вариант-23 №8 2006г.) 2. Решите неравенство: 7 А) (-; -). В) (). С) (-; ). D) (-) . Е) (; ). (Вариант-34 №8 2004г.) 3. Решите неравенство: А) (-;3,2). В) (). С) (-. D) (-. Е) (0; 3,2). (Вариант-12 №8 2007г.) 4. Определите верное решение неравенства: Ответ: 1 2 х (Вариант-14 №18 2007г.) 5. Определите верное решение неравенства: . А) [-2; 1]. В) [-1; 2]. С) . D) . Е) . (Вариант-15 №18 2007г.) 6. Решите неравенство: А) (-; -4) . В) [). С) [-6; -4) (2; 4]. D) [-6;4]. Е) (-4; 2). (Вариант-6 №18 2007г.) 7. Решите неравенство:. А) нет решений. В) [3; ). С) (-1; 1. D) [-1; 1. Е) [-1; 3]. (Вариант-9 №18 2005г.) 8. Решите неравенство:. А) 2. В) 1\2. С) (1; 6). D). Е) 1. (Вариант-12 №19 2005г.) Коды правильных ответов
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||