Анализ задач 2 этапа
«Ориентируемся в свойствах арифметических действий»
для 6 класса
Смекалка нашла такое самое маленькое число, которое при уменьшении его на единицу разделится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 одновременно. А можете ли вы его найти?
Правильный ответ: 61.
Решение:
1)надо найти наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5;
2)НОК(2, 3, 4, 5) = 60, прибавив к этому числу 1, найдем искомое число.
В Кляксонтиду привезли мячи для маленьких жителей страны. Синих мячей было в 2 раза меньше, чем красных. У Робоклякса в это время произошёл сбой памяти. Он помнит только, что всего мячей было 232 или 223, или 222. Помогите Робокляксу определить, сколько было красных мячей?
Правильный ответ: 148.
Решение:
пусть синих мячей привезли х, тогда красных мячей - 2х,
значит всего мячей: х +2х = 3х;
остается выбрать из чисел 232 , 223, или 222 число кратное 3;
используя признак делимости на 3, находим число, сумма цифр которого делится без остатка на 3. Это число 222.
Решим уравнение: 3х = 222, значит синих мячей 74, а красных мячей в 2 раза больше: 74 ∙ 2 = 148.
Во время новогодних каникул Смекалка изучала пятизначные числа и нашла такое, у которого все двузначные числа, образованные двумя соседними цифрами, являются простыми и различными. Клякса никак не может найти это число, помогите ей!
Правильный ответ: 23179, 53179, 61379 и др.
Решение: используя таблицу простых чисел очень легко подобрать такие простые числа и составить искомое пятизначное число.
Ну, очень захотелось Смекалке найти массу кусочка мыла «Снежинка». А в наборе гирь для чашечных весов осталась только одна, 50 граммовая. Тогда находчивая Смекалка на одну чашку весов положила один кусок мыла, а на другую – три четверти такого же второго куска и еще эту гирьку массой 50 грамм. Весы, на удивление, оказались в равновесии. Какова же масса куска мыла?
Правильный ответ: 200 г.
Решение: три четверти куска мыла и еще 50 грамм - это 1 целый кусок мыла, тогда одна четверть – 5о грамм. Значит масса целого куска 4 раза по 50 г.
4 ∙ 50 = 200 (г).
В журнале «Математика в школе» Смекалка прочитала следующую задачу «В кувшине в пять раз больше воды, чем в чайнике, а в чайнике на 8 стаканов меньше, чем в кувшине. Сколько стаканов воды в кувшине и чайнике вместе?» Помогите Смекалке найти ответ.
Правильный ответ: 12.
Решение:
Пусть в чайнике х стаканов воды, тогда в кувшине 5х;
Т.к. в чайнике на 8 стаканов меньше, чем в кувшине, то составим уравнение: 5х – х = 8;
Решая уравнение, получим, что в чайнике 2 стакана, а в кувшине в 5 раз больше, т.е. 10 стаканов;
Тогда в кувшине и чайнике вместе будет: 2 +10 = 12 (стаканов).
В этом же журнале нашу компанию озадачил вопрос: «Что получится, если к сумме двух чисел прибавить их разность»? Смекалка предположила, что получится половина их суммы. Клякса думает, что результатом будет их удвоенная разность. Ластик выдвинул гипотезу, что получится одно из этих чисел, деленное на 2. Робоклякс посвистел процессором и произнёс: «Получится одно из этих чисел, умноженное на 2». Кто прав? В ответ запишите имя.
Правильный ответ: Робоклякс.
Решение: получится одно из этих чисел, умноженное на 2. Легко проверить, взяв какие-нибудь два числа.
Однажды, на перемене, Смекалка составила из чисел: 5, 8, 11 числовое выражение, а Клякса быстро нашла его значение. Получилось 47. Ластик рассердился, что его не позвали, взял и стёр арифметические действия между числами. Какое числовое выражение составила Смекалка? Знаете? Запишите это выражение.
Правильный ответ: 5 ∙ 11 – 8 = 47 или 58 – 11 = 47.
Ластик, не меньше Смекалки, любил экспериментировать с натуральными числами. Например, он нашёл два интересных числа. У первого цифра единиц на 9 меньше цифры десятков, а у второго цифра десятков больше цифры единиц в 5 раз. Найдите разность этих чисел.
Правильный ответ: 39.
Решение: 1) если цифра единиц первого числа равна 1, 2, 3, …, 9 , то получим, что цифра десятков будет 10 и больше, что противоречит условию задачи;
2) делаем вывод, что цифра единиц первого числа может быть только 0 , тогда цифра десятков этого числа будет равна 9;
3) первое искомое число 90;
4) если цифра единиц второго числа 0, то цифра десятков тоже 0 ,(5 ∙ 0 = 0), получим число 00. Значит, цифра единиц нулем быть не может;
5)если цифра единиц второго числа равна 1, то цифра десятков равна 5. Число 51 удовлетворяет условию задачи;
6) если цифра единиц второго числа будет равна 2, 3, …, 9 , то получим, что цифра десятков будет 10 или больше, что противоречит условию задачи. Значит, цифра единиц не может быть больше 1;
7) найдем теперь разность этих чисел: 90 – 51 = 39.
Дальше Ластик решил писать трёхзначные числа, состоящие только из цифр 7, 8 и 6. Писал он каждую цифру только по одному разу.
Вначале написал самое большое из возможных чисел, а потом самое маленькое. Чему равна сумма этих чисел?
Правильный ответ: 1554.
Решение: наибольшее число – 876, наименьшее число - 678.
Найдем их сумму: 876 + 678 = 1554.
На последнем уроке математики в 2013 году Клякса записала на доске двузначное число. Потом, переставив в нем цифры местами, получила еще одно число. Затем она нашла разность этих чисел. В ответе получился нуль. Ластику стало интересно, а какое наименьшее число, обладает таким же свойством. Найдите это число.
Правильный ответ: 11.
Решение: так как разность равна нулю, то уменьшаемое равно вычитаемому, значит, двузначное число состоит из одинаковых цифр. Число 11 будет наименьшим двузначным числом, удовлетворяющим условию задачи.
Потом Ластик написал на доске четырехзначное число 7*4* и предложил друзьям вместо звездочек вставить такие цифры, чтобы это число было кратно 2, 3, 5, 6, 9, 10 одновременно. Смекалка довольно быстро нашла такое число, попробуйте, и вы его найти.
Правильный ответ: 7740.
Решение:
Используя признаки делимости чисел на 2, на 5, на 10, легко найти последнюю цифру, она будет равна 0. Тогда вторая цифра будет равна 7, т.к. сумма цифр числа должна быть кратна и 3, и 9.
На этом же уроке Василиса Премудрая задала самым крутым математикам из класса, в том числе и Ластику, следующую задачу. Две кружки воды – это половина кувшина, а 3 чашки – это половина кружки. Тогда полкувшина – это сколько чашек? Ластик решил дома эту задачу. Но не очень уверен, что правильно. Помогите ему.
Правильный ответ: 12.
Решение:
Если 3 чашки воды – это половина кружки,
то 6 чашек – это 1 кружка.
Тогда 12 чашек – это 2 кружки.
А 2 кружки – это половина кувшина,
значит 12 чашек половина кувшина.
Во время школьного Новогоднего бала Ластик, прощаясь со старым годом, подумал, а на какую цифру оканчивается произведение 2013 множителей, каждый из которых равен 2013? А вы можете ответить на этот вопрос?
Правильный ответ: 3.
Решение: Если один множитель, то последняя цифра 3.
Два множителя - 9.
Три множителя - 7.
Четыре множителя - 1.
Пять множителей - опять цифра 3.
Повторяются цифры: 3, 9, 7 и 1.
Разделим 2013 на 4, получим в частном 503(503 раза по 3,9,7,1) и остаток 1.
Значит, если множителей 2013, то последняя цифра - 3.
На Рождество Клякса купила большую коробку конфет. Робоклякс сразу же её взвесил. Полная коробка с конфетами весила 15 кг. За праздничным обедом была съедена половина конфет. Робоклякс установил, что коробка, наполненная наполовину, весит 8 кг. Какова масса пустой коробки?
Правильный ответ: 1 кг.
Решение:
15 – 8 = 7 (кг) – это половина конфет, значит вторая половина тоже 7 кг,
15 – 2 ∙ 7 = 1 (кг) - масса пустой коробки.
По вечерам Клякса любит читать сказки. В последней книге, которую она взяла в библиотеке, 60 страниц. Клякса прочитала в первый новогодний вечер половину, а во второй – треть оставшихся страниц. Сколько страниц ей осталось прочитать?
Правильный ответ: 20.
Решение:
Половину от 60 страниц, а это 30 страниц, Клякса прочитала в первый вечер. Осталось ей прочитать еще 30 страниц. Во второй вечер она прочитала треть оставшихся страниц, т.е. 30 : 3 = 10 (страниц). Тогда за два вечера Клякса прочитала 30 + 10 = 40(страниц). Значит, ей осталось прочитать: 60 – 40 = 20(страниц).
Подсчитывая оставшиеся после новогодних праздников деньги, друзья заметили, что у Робоклякса и Смекалки вместе 24 рубля, у Смекалки и Ластика – 32 рубля, у Ластика и Кляксы – 20 рублей. Сколько рублей у Робоклякса и Кляксы вместе?
Правильный ответ: 12.
Решение:
Обозначим количество денег Робоклякса буквой «Р», количество денег Смекалки буквой «С», количество денег Ластика буквой «Л», количество денег Кляксы буквой «К».
Р + С = 24, С + Л = 32, Л + К = 20, если сложить первое и третье равенство, то получим: Р + С + Л + К = 24 + 20, а т.к. сумма, С + Л = 32, то получим: Р + К + 32 = 24 + 20, тогда Р + К = 44 – 32, Р + К = 12.
Для покупки восьми батареек у Робоклякса не хватает 20 рублей. Если он купит пять батареек, то у него останется 100 рублей. Сколько денег было у Робоклякса?
Правильный ответ: 300.
Решение:
Пусть цена одной батарейки х рублей, тогда, купив 8 батареек (8х), Робоклякс потратит все свои деньги и ему еще не хватит 20 рублей, значит, денег у него было: 8х – 20. Если Робоклякс купит 5 батареек, то потратит своих денег 5х рублей и еще у него останется 100 рублей, значит, денег у него было 5х +100. Составим уравнение: 8х – 20 = 5х +100, решив уравнение, получим, что одна батарейка стоит 40 рублей. Значит, у Робоклякса было 5 ∙ 40 + 100 = 300 (рублей).
Помогите Робокляксу придумать число, которое больше своего обратного в 25 раз. Об этом его попросила Клякса, желая похвастать знаниями перед Смекалкой.
Правильный ответ: 5.
Решение:
Частное числа и числа ему обратного равно 25.
а : (1/a) = а ∙ а = 25, получили произведение двух одинаковых чисел, которое равно 25, значит искомое число а равно 5.
Как вы знаете, Робоклякс в свободное время любит размышлять о числах. На четвёртый день Нового года у него возникла новая задача. А сколько среди первой тысячи натуральных чисел существует таких, сумма цифр которых равна четырём? Помогите решить эту задачу Робокляксу.
Правильный ответ: 15.
Решение:
Однозначное число: 4
Двухзначные числа: 13, 31, 22, 40.
Трёхзначные числа: 103, 130, 301, 310, 202, 220, 400, 112, 121, 211.
1 + 4 + 10 = 15 чисел
Во время поездки в резиденцию Деда Мороза Клякса заметила, что поезд проходит мост длиной 450 метров за 45 секунд, а мимо светофора за 15 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Правильный ответ: 225 .
За 15 секунд поезд проходит мимо светофора всю свою длину.
Мост длиной в 450 метров и свою длину поезд проходит за 45 секунд.
Тогда 450 метров - за 30 секунд, а это значит, что за 15 секунд - 225 метров.
Длина поезда - 225 метров. |
Скачать 77.26 Kb.