Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов Вынесение общего множителя

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

Вынесение общего множителя

• Из каждого слагаемого ,входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

• Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

• 15а3b+3a2b3=3a2b(5a+b2)

• 2y(x-5)+x(x-5)=(x-5)(2y+x)

Группировка

• Если члены многочлена не имеют общего множителя, то после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

• 3а2+3аb-7a-7b=(3a2+3ab)-(7a+7b)=

• =3a(a+b)-7(a+b)=(a+b)(3a-7)

Применение формул сокращенного умножения

• Выражение из двух, трёх слагаемых, входящее в одну из формул сокращенного умножения заменяется произведением многочленов

• x2+6х+9=(х+3)2

• 49m4-25n2=(7m2-5n)(7m2+5n)

Математическая эстафета.

Математическая эстафета (ответы)

Разложите многочлен на множители и укажите какие приёмы использовались при этом

• Пример 1

• 36а6b3-96a4b4+64a2b5

• Решение

• 36а6b3-96a4b4+64a2b5=

• 4a2b3(9a4-24a2b+16b2)=

• 4a2b3(3a2-4b)2

• вынесение общего множителя за скобки

• использование формул сокращённого умножения

Разложите многочлен на множители и укажите какие приёмы использовались при этом

• Пример 2

• a2+2ab+b2-c2

• Решение

• a2+2ab+b2-с2=

• (a2+2ab+b2)-c2=

• (a+b)2-c2=(a+b-c)(a+b+c)

• группировка;

• использование формул сокращенного умножения.

Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались при этом

• Пример 3
• y3-3y2+6y-8
• Решение
• y3-3y2+6y-8=(y3-8)-(3y2-6y)=
• =(y-2)(y2+2y+4)-3y(y-2)=
• =(y-2)(y2+2y+4-3y)=(y-2)(y2-y+4)
• -группировка
• -формулы сокращенного умножения
• -вынесение общего множителя за скобки

Порядок разложения многочлена на множители

• 1.Вынести общий множитель за скобку

• (если он есть)

• 2. Попрбовать разложить многочлен на

• множители по формулам сокращенного

• умножения

• 3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы

• не привели к цели)

Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались при этом

• Пример 4

• n3+3n2+2n

• Решение

• n3+3n2+2n=n(n2+3n+2)=

• =n(n2+2n+n+2)=

• =n((n2+2n)+(n+2))=

• =n(n(n+2)+n+2)=

• =n(n+1)(n+2)

• -вынесение общего множителя за скобки;

• -предварительное преобразование;

• -группировка.

Предварительное преобразование

• Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы

• многочлен, не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Применение различных приемов разложения на множители

• a) x2-15x+56=0

• Решение

• X2-7x-8x+56=0

• (x2-7x)-(8x-56)=0

• x(x-7)-8(x-7)=0

• (x-7)(x-8)=0

• x-7=0 или x-8=0

• X=7 или x=8

• Ответ: 7; 8.

Применение различных приемов разложения на множители

• Доказать, что при любом натуральном значение выражения (3n- 4)2 – n2 кратно 8.

• Решение

• (3n – 4)2 – n2 =

• =(3n – 4 – n)(3n - 4 + n) =

• =(2n – 4)(4n – 4)=

• =2(n – 2)4(n – 1)=

• =8(n – 2)(n – 1)

• В полученном произведении один множитель

• делится на 8, то все произведение делится на 8.

Применение различных приемов разложения на множители

• Вычислить

• 38,82 + 83 * 15,4 – 44,22

• Решение

• 38,82 + 83 * 15,4 – 44,22 =

• = 83 * 15,4 – (44,22 - 38,82) =

• = 83*15,4 – (44,2 - 33,8)(44,2+33,8)=

• = 83*15,4 - 5,4*83 =

• =83(15,4 - 5,4) = 83*10 = 830

Самостоятельная работа.

Ответы к заданиям.

Дополнительные задания

• 1. Доказать тождество

• (a2+3a)2+2(a2+3a)=a(a+1)(a+2)(a+3)

• 2. Доказать, что число

• 370*371*372*373+1

• можно представить как произведение двух натуральных

• чисел

Домашнее задание

• Пункт 37
• № 998(a, в),
• 1002,
• 1004,
• 1007

Список литературы

• Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. учебник Алгебра, 7 класс, М.: Просвещение, 2004.,

• Ю.Н. Макарычев.,Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8-9 кл.-М.: Просвещение, 1997.

• В.И. Жохов, Л.Б. Крайнева Уроки алгебры в 7 классе. М.: Вербум-М, 2000.

Информация об авторе

• Ратина Елена Анатольевна

• учитель

• математики

• МОУ ЭБЛ