«Решение тригонометрических неравенств методом интервалов»
 Скачать 68.88 Kb.
|
| Тема: «Решение тригонометрических неравенств методом интервалов» Цель урока:
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор, интерактивная доска. Ход урока
(Учащиеся решают устно задания, предложенные в виде слайдовой презентации)
1) sin x = ; 4) cos x = 1; 7) sin x = ; 10) tg x = -1; 2) cos x = - 0,3; 5) sin x = -1; 8) cos x = -1; 11) sin x = 0; 3) tg x = ; 6) cos x = 0; 9) sin x = 1; 12) ctg x = - 0,5.
Одним из основных методов решения более сложных тригонометрических неравенств является метод интервалов. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств применяется на промежутке ), где – общий период всех тригонометрических функций, входящих в неравенство. Решение неравенства, полученное на промежутке ), периодически продолжают на всю числовую ось. (Слайд № 5) Для того чтобы решить неравенство методом интервалов необходимо:
Рассмотрим пример. Решите неравенство sin 4x cos 2x. Запишем неравенство в виде sin 4x - cos 2x 0. Рассмотрим функцию f(x) = sin 4x - cos 2x. Найдите область определения данной функции. (Функция определена на R). Является ли она непрерывной на области определения? (Да, функция непрерывна на всей числовой прямой). Найдите основной (наименьший положительный) период функции. (Т=). Следовательно, неравенство можно решить на промежутке [0; ) и найденное решение периодически продолжить на всей числовой оси. Для этого найдём корни уравнения f(х) = 0. sin 4x - cos 2x = 0; cos 2x (2 sin2х - 1) = 0; cos 2x = 0 или 2 sin2х – 1 = 0; 2х = sin2x = ; 2x = (- 1)m х1 = x = (- 1)m m = 2k, х2 = m = 2k + 1, х3=
четном числе серий, называют точками четной кратности, а те, что повторяются в нечетном числе серий,— точками нечетной кратности. Запишем решения неравенства на промежутке [0). Поскольку нас интересуют промежутки, в которых f(x) 0, получим и . С учётом периодичности f(х), продолжим найденные решения на всю числовую прямую. Для этого прибавим к левой и правой частям неравенств целое число периодов Окончательно получаем ответ: и . Рассмотрим ещё один пример. Решим неравенство . Рассмотрим функцию f(x) = . Её основной период равен Найдём область определения функции в промежутке [0; 4). Получим, что 1 + 2 cosx 0; cosx ; x ; x ; тогда х , х -. В промежуток [0; 4) не входят точки: ; ; ; . Найдем корни уравнения sin = 0 лежащие в промежутке [0; 4). sin = 0 при = n, ; x = 2n, . Промежутку [0; 4) принадлежат точки: 0; 2 Поскольку основной период функции равен ( для изображения интервалов будем использовать не тригонометрическую окружность, а числовую прямую. Отметим полученные точки на числовой прямой и определим знаки функции в каждом из этих интервалов. Слайд № 7 + + + 0 2 4 При x =значение функции f() = > 0. , то на интервале, левая часть неравенства положительна,а на остальных интервалах её знаки чередуются. Нас интересуют те значения х, для которых f(x) 0. Данное неравенство выполняется в точке x = 0 и трех промежутках < x < < Поскольку основной период функции равен 4, прибавим к левой и правой частям каждого неравенства Причем число 0 заменим на 4π и включим в третий промежуток. Запишем ответ: Итак, мы решили тригонометрические неравенства методом интервалов, который ещё называют обобщённым методом интервалов.
Учащимся класса дается одно неравенство, которое они решают самостоятельно. После чего решение данного неравенства проецируется на экран, что позволяет учащимся проверить правильность своего решения, если есть ошибки, то исправить их. Такой способ закрепления изученного материала способствует более осознанному усвоению нового материала. (Слайд № 8) Решите неравенство Решение: Рассмотрим функцию f(x) = Основной период функции равен 2π. Область определения находим из условия sin3x ≠ 0, В промежуток [0; 2) не входят точки: 0;; ; ; ; . Найдем корни уравнения , лежащие в промежутке [0; 2). или Промежутку [0; 2) принадлежат точки: 0; ; ; ;;. Отметим найденные точки на тригонометрической окружности.
Запишем значения х принадлежащие промежутку [0; 2), для которых f(x) 0. Данное неравенство выполняется в шести промежутках , , , , , В силу симметрии промежутков и; и ; и получим ответ 4. Подведение итогов урока 5. Домашняя работа Решить неравенства а) 4 cosx – sin2x > 0; б) 3 sinx + sin2x < 0; в) . |