Методические рекомендации по выполнению практических работ учебной дисциплины ен. 01 математика 2 курс
 Скачать 165.34 Kb.
|
| Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Промышленно-технологический колледж»
методические рекомендации по выполнению практических работ учебной ДИСЦИПЛИНЫ ЕН. 01 математика 2 курс (специальность 151901 «Технология машиностроения») Методические указания по выполнению практических работ учебной дисциплины естественнонаучного цикла «Математика» разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования 151901 «Технология машиностроения», базовый уровень. Организация-разработчик: Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Промышле6нно-технологический колледж» Организация – разработчик: СПБ ГБПОУ «Промышленно-технологический колледж» Разработчики: ___________________ / В.А. Грешилова / ___________________ / _____________ / Рецензент: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Рассмотрено и одобрено на заседании методической комиссии Протокол №___ от «___»______20_____ Председатель _________ / ___________/ Содержание Пояснительная записка 4 Методические указания по проведению 6 практической работы № 1 6 Вычисление производных и дифференциалов высших порядков 6 4.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. -М. Высш.шк., 2010 г. 6 Методические указания по проведению 16 практической работы № 2,3 16 Исследование функции при помощи производных 16 Исследование и построение графиков сложных функций 16 4.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. -М. Высш.шк., 2010 г. 17 Пояснительная запискаПрактическое занятие - это форма организации учебного процесса, предполагающая выполнение обучающимися по заданию и под руководством преподавателя одной или нескольких практических работ. Дидактическая цель практических работ - формирование у обучающихся профессиональных умений, а также практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, а также подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности. Так, на практических занятиях по математике у обучающихся формируется умение решать задачи, которое в дальнейшем должно быть использовано для решения профессиональных задач по специальным дисциплинам. В ходе практических работ обучающиеся овладевают умениями пользоваться информационными источниками, работать с нормативными документами и инструктивными материалами, справочниками, выполнять чертежи, схемы, таблицы, решать разного рода задачи, делать вычисления. Задачи, которые решаются в ходе практических занятий по математике: 1) расширение и закрепление теоретических знаний по математике, полученных в ходе лекционных занятий; 2) формирование у обучающихся практических умений и навыков, необходимых для успешного решения задач по математике; 3) развитие у обучающихся потребности в самообразовании и совершенствовании знаний и умений в процессе изучения математики; 4) формирование творческого отношения и исследовательского подхода в процессе изучения математики; 5) формирование профессионально-значимых качеств будущего специалиста и навыков приложения полученных знаний в профессиональной сфере. Критерии оценки: Ответ оценивается отметкой «5», если: работа выполнена полностью; в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможны некоторые неточности, описки, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала). Отметка «4» ставится в следующих случаях: работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки). Отметка «3» ставится, если: допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме. Отметка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере. Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий. Методические указания по проведениюпрактической работы № 1Вычисление производных и дифференциалов высших порядковЦель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Вычисление производных и дифференциалов высших порядков» Перечень справочной литературы :
Краткие теоретические сведения: Правила дифференцирования 1) ; 2) , в частности ; 3) ; 4) , если; 5) , если и . Формулы дифференцирования в частности, в частности, в частности, Примеры нахождения производной элементарных функций: 1) 2) 3) Производная сложной и обратной функций Определение. Пусть и , тогда - сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом . Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке которая находится по формуле . Правило нахождения производной сложной функции: Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Пример. Вычислить производную сложной функции: 1) . Решение: Обратная функция Определение. Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений . Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения и множеством значений D (рис1). Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. D E (рис 1) Примеры: 1) и 2) и 3) и ( Для того, чтобы для функции найти обратную функцию надо переменную выразить через переменную у). Теорема. Если функция строго монотонна на интервале (а;b) и имеет не равную нулю производную в производной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством . Пример: 1. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную функции Решение: Обратная функция имеет производную . Следовательно, . Дифференциал функции Определение. Если функция дифференцируема в точке , т.е. имеет в этой точке конечную производную, то ее приращение можно записать в виде , где . Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается: . При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу т.е. . Примеры:
Решение: Используя формулу, получаем dy = (-sinx+10x)dx. 2. Для функции найти приращениепри и. Решение: Используя формулу, получаем ()= =(). Выполняя подстановку и, находим приращение: =(3)=0,05 Ответ: =0,05 Порядок проведения работы:
Оформление работы: Перечень заданий. Вариант 1 Найдите производную функции: Вариант 2 Найдите производную функции: Вариант 3 Найдите производную функции: Вариант 4 Найдите производную функции: Вариант 5 Найдите производную функции: Вариант 6 Найдите производную функции:
Методические указания по проведениюпрактической работы № 2,3Исследование функции при помощи производныхИсследование и построение графиков сложных функцийЦель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Исследование функции при помощи производных. Исследование и построение графиков сложных функций» Перечень справочной литературы :
Краткие теоретические сведения: Исследование функции при помощи производных Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (а;b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка (а;b), в которой производная обращается в нуль, т. е. . Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (а;b), причем для (а;b) то найдется хотя бы одна точка (а;b) такая, что выполняется равенство . Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (а;b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка (а;b) такая, что выполняется равенство . Следствие 1 Если производная некоторой функции на промежутке равна нулю, то функция постоянна на этом промежутке. Следствие 2 Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Возрастание и убывание функций Теорема 1. (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (а;b) функция возрастает (убывает), то для любого . Теорема 2. (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале (a;b) и для любого , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b). Теоремы 1 и 2 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность (функция, убывающая или возрастающая, называется монотонной). Пример. Исследовать функцию =x3-3x-4 на монотонность. Решение: + - + Х -1 1 при при Ответ: данная функция возрастает при и убывает Максимум и минимум функций Теорема (необходимое условие). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: =0. Теорема (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева на право) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то - точка минимума. Удобно использовать другой достаточный признак существования экстремума основанный на определении знака второй производной. Теорема. Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная в точке существует и отличная от нуля , то при в точке функция имеет максимум и минимум - при . Выпуклость графика функции. Точки перегиба Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. Теорема. Если функция во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же для любого - график выпуклый вниз. Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба. Асимптоты графика функции Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными. Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или . Если существует наклонная асимптота у=Rx+b, то R и b находится по формуле: , . Если R=0, то у=b- уравнение горизонтальной асимптоты. Общая схема исследования функции и построения графика функции Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности. 1. Найти область определения функции. 2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат. 3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых >0 или <0). 4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. 5. Найти асимптоты графика функции. 6. Найти интервалы монотонности функции. 7. Найти экстремумы функции. 8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. Пример. Исследовать функцию и построить ее график. 1. 2. Точка (0;0)- точка пересечения графика с осями ОХ и ОУ. 3. Функция знакоположительна (у>0) в интервалах и , знакоотрицательна – в и 4. Функция является нечетной т.к. . Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при . 5. Прямые х = 1 и х = -1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты. Следовательно, есть горизонтальная асимптота ее уравнение у=0. Наклонных асимптот нет. Прямая у=0 является асимптотой и при , и при . 6.. Так как у’>0 в области определения, то функции является возрастающей на каждом интервале области определения. 7. Т.к. , то критическими точками является точки х1 = -1 и х2 = 1. Данные точки не принадлежат области определения функции, значит, функция экстремумов не имеет. 8. Найдем у” Точка (0;0) – точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах и ; выпуклый вниз на интервалах и «Исследование функции при помощи производных» Задание Исследовать функцию на монотонность и экстремум:
|