Анализ задач 3 этапа «В гостях у Комбинаторика» для 6 класса
 Скачать 54.88 Kb.
|
| Анализ задач 3 этапа «В гостях у Комбинаторика» для 6 класса Задача 1: Смекалка, собираясь в гости к Комбинаторику, никак не могла решить, что ей надеть. Пока она собиралась, мы придумали комбинаторную задачу. «У Смекалки есть любимый костюм, в котором она ходит на совет марафона. К нему она одевает белую, сиреневую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» берет туфли или балетки. Кроме того, Клякса подарила ей три разных бантика, подходящих ко всем блузкам. Подсчитайте, сколькими возможными вариантами может одеться Смекалка? Решение: Блузок - четыре, обуви - две пары и три разных бантика, тогда согласно правилу произведения, можно составить: 4 ∙ 2 ∙ 3 = 24 - возможных вариантов. Задача 2: В магазине «Электротехника» есть 5 разных батареек и 3 разных фонарика. Сколькими способами можно купить батарейку с фонариком? Решение: Выберем фонарик. В комплект к нему можно выбрать любою из пяти батареек. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную батарейку. Поскольку батареек всего 5, то число различных комплектов равно 15. 5 • 3 = 15. Задача 3: В магазине «Электротехника» есть еще 6 разных лампочек к фонарикам. Сколькими способами можно купить комплект из батарейки, фонарика и лампочки? Решение: Выберем любой из 15 комплектов предыдущей задачи. Его можно дополнить лампочками шестью различными способами. Поэтому общее число возможных комплектов равно 90 90 = 15 • 6 = 5 • 3 • 6. Задача 4: В магазине «Электротехника» по-прежнему продается 5 батареек, 3 фонарика и 6 лампочек. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями? Решение: Возможны три разных случая: первый – покупаются батарейка с фонариком, второй – батарейка с лампочкой, третий – фонарик и лампочка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных вариантов (в первом – 15, во втором – 30, в третьем – 18). Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 63. Задача 5: В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 5 дорог, а из города Б в город В – 12 дорог. Сколькими способами можно проехать от А до В? Решение: 5 • 12 = 60. Задача 6: Робоклякс, после встречи с Комбинаториком, некоторые натуральные числа стал называть «очаровательными», если в их записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «очаровательных» чисел? Решение: Однозначных «очаровательных» чисел ровно 5. К каждому однозначному «очаровательному» числу вторая нечетная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных «очаровательных» чисел всего 5 • 5 = 25. Аналогично, трехзначных «очаровательных» чисел 5 • 5 • 5 = 125, и четырехзначных – 5 • 5 • 5 • 5 = 625. Задача 7: Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить? Решение: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8. Задача 8: Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? Решение: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16. Задача 9: В нашей команде четверо: Смекалка, Клякса, Ластик и Робоклякс. Мы решили выбрать командира и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Командиром может стать любой из 4. После выбора командира на роль его заместителя могут претендовать 3 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 4 • 3 = 12 разных вариантов выборов. Задача 10: Сколькими способами можно раскрасить Ластика как трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеются краски шести различных цветов? Решение: Цвет для верхней полоски флага можно выбрать шестью разными способами. После этого для средней полоски флага остается пять возможных цветов, а затем для нижней полоски флага – четыре различных цвета. Таким образом, флаг можно раскрасить 6 • 5 • 4 = 120 способами. Задача 11: Ластик случайно стёр в своей записной книжке телефонный номер Кляксы. А позвонить надо срочно. Сколько раз может ошибиться Ластик, если телефонный номер Кляксы - это трехзначное число, в записи которого цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу? Решение: На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе – любую из двух оставшихся, а на третье – последнюю оставшуюся цифру. Таким образом, всего получается 3 • 2 • 1 = 6 чисел. Значит, Ластик может ошибиться 5 раз, а на шестой раз он обязательно дозвонится Кляксе. Задача 12: Объем памяти Робоклякса более 100 Мегабайт и записывается трехзначным числом, в записи которого цифры 0,6,9 могут повторяться. Сколько существует различных вариантов записи объема памяти Робоклякса? Решение: Т.к. объем памяти Робоклякса больше 100 Мегабайт, то запись числа с цифры 0 начинаться не может. Тогда по правилу произведения: 2 • 3 • 3 = 18. Задача 13: Сколько существует трехзначных чисел, кратных пяти, в записи которых все цифры различны? Решение: С цифрой 0 на конце может быть: 9 • 8 = 72 (числа) С цифрой 5 на конце может быть 8 • 8 = 64 (числа) Тогда всего трехзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, будет 136. Задача 14: Сколькими способами можно выложить в ряд красный, голубой, белый, синий и зеленый шарики? Решение: На первое место можно положить любой из пяти шариков, на второе – любой из четырех оставшихся, на третье – любой из трех оставшихся, на четвертое – любой из двух оставшихся, а на пятое - последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120. Задача 15: Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слова: «МАТЕМАТИКА» Решение: В слове «МАТЕМАТИКА» 10 букв, значит, может получится 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 3628800 различных слов, но три раза повторяется буква «А», два раза буква «М», и два раза буква «Т», тогда 3628800:((3 • 2 • 1) • (2 • 1) • ( 2 • 1)) = 151200 слов. Задача 16: В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране? Решение: Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190. Задача 17: Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра? Решение: Вместо того, чтобы подсчитывать количество требуемых 6-значных чисел, определим количество 6-значных чисел, не обладающих нужным свойством. Так как это в точности те числа, в записи которых встречаются только нечетные цифры, то их количество, учитывая решение задачи № 6, равно 56 = 15625. Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому количество 6-значных чисел, обладающих указанным свойством, равно 900000 – 15625 = 884375. Задача 18: В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой? Решение: Ответ: 5 • 4 = 20. Задача 19: На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Ответ: 7 • 5 • 2 = 70. Задача 20: На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? Решение: Ответ: 5 + 5 • 4 + 5 • 4 • 3 + 5 • 4 • 3 • 2 + 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 325 |