Главная страница
Анализ
Анкета
архив
Биография
Бюллетень
Викторина
Глава
Диплом
Доклад
Документация
Задача

Системы счисления



Скачать 201.54 Kb.
НазваниеСистемы счисления
Дата29.03.2016
Размер201.54 Kb.
ТипУрок

Методические рекомендации

по изучению темы « Системы счисления» в 9 классе
ВВЕДЕНИЕ

Тема «Системы счисления» сегодня рассматривается в курсе информатики в 9 и 10 классах. В 9 классе она изучается в разделе «Кодирование числовой информации» и нужна преимущественно для подготовки к успешной сдачи экзамена в форме государственной итоговой аттестации (ГИА); в 10 классе – является элементом повторения, закрепления и углубления, подготовки к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) в 11 классе.

Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Но в школьном курсе математики эта тема, как правило, не изучается. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад в фундаментальное математическое образование школьников.

Как правило, при изучении темы «Системы счисления» рассматриваются следующие вопросы:

  • позиционные и непозиционные системы счисления;

  • основные понятия позиционных систем счисления: основание, алфавит;

  • формы представления чисел в позиционных системах;

  • перевод чисел из одной системы счисления в другую;

  • особенности арифметики в позиционных системах счисления.

Остановимся подробнее на последнем вопросе «Арифметические операции в Р-ичных системах счисления» и рассмотрим его как тему отдельного урока в 10 классе.

Цель урока – развитие логического (математического) мышления учащихся в области информатики и расширение навыков реализации теоретических знаний в практической деятельности.

Задачи:

  • закрепление знаний, умений, навыков работы с позиционными системами счисления (перевода чисел из одной системы счисления в другую);

  • знакомство с правилами арифметических операций в Р-ичных системах счисления;

  • реализация теоретических знаний в практической деятельности;

  • развитие логического мышления посредством решения задач;

  • выполнение оперативных и рациональных действий, заданных условиями.

При изучении материала следует учитывать межпредметную связь с математикой (темы «Выполнение арифметических операций»; «Запись натуральных чисел»; «Степень с натуральным, отрицательным, нулевым показателем»), а также внутридисциплинарную связь с темами «Основы алгоритмизации и программирования», «Архитектура ЭВМ», «Кодирование информации».

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Системы счисления: основные понятия

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Сегодня числа, цифры с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Однако уже тогда число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами.

Но что же мы понимаем под словом «число»?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было «привязано» к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона. Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа – фундаментальное понятие как математики, так и информатики.

Сегодня, в XXI веке, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Алфавит - конечный набор (множество) символов.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления – результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Позиционную систему счисления с основанием P принято называть P-ичной. Примерами позиционной системы счисления могут служить двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д. (табл. 1).

Таблица . Примеры позиционных систем счисления

Позиционная

система счисления
Основание
Алфавит

Двоичная
2
0, 1

Троичная
3
0, 1, 2

Восьмеричная
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Десятичная
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Шестнадцатеричная
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)


Позиция цифры в числе называется разрядом. Для целых чисел разряды нумеруются справа налево, началом отсчета является 0.

Арифметические операции в Р-ичных системах счисления

  1. Сложение


Для двоичной системы счисления действуют правила сложения:

0
+
0
=
0

0
+
1
=
1

1
+
0
=
1

1
+
1
=
1

При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисления с основанием Р в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b является количеством единиц в данном разряде, а число к — количеством единиц переноса в следующий разряд.

Для выполнения этой операции используют таблицы сложения. По вертикали и по горизонтали откладываются числа алфавита. На пересечении строки и столбца получается результат операции.

Примеры:


  1. Вычитание


Для двоичной системы счисления действуют правила вычитания:


0
–
0
=
0

0
–
1
=
11

1
–
0
=
1

1
–
1
=
0

При вычитании чисел в Р-ичной системе счисления цифры вычитаются поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньшего числа отнять большее, то занимается единица следующего (большего) разряда. Занимаемая единица равна Р единицам этого разряда (аналогично, когда занимают единицу в десятичной системе счисления, то занимаемая единица равна 10).

Для вычитания также используется таблица сложения. Предположим, нужно вычесть цифру b из числа a. Алгоритм действий в таком случае:

  1. Найти строку, именованную цифрой b.

  2. В этой строке найти цифру a.

  3. Посмотреть, какой цифрой именован столбец, на пересечении которого с цифрой получается результат a.

Эта схема работает, если a≥b. В противном случае, следует занять единицу старшего разряда.

Примеры:


  1. Умножение


Для двоичной системы счисления действуют правила умножения:


0
∙
0
=
0

0
∙
1
=
0

1
∙
0
=
0

1
∙
1
=
1

При умножении чисел в Р-ичной системе счисления каждая цифра второго множителя умножается последовательно на цифру каждого из разрядов первого множителя (так же, как и в десятичной системе счисления).

При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b записывают в единицы данного разряда, а число k запоминают и добавляют его к результату произведения в следующем разряде.

Полученные результаты умножения складывают и отделяют количество знаков после запятой, равное сумме знаков после запятой у сомножителей.

По сути, это то же самое умножение столбиком, которое применяется в десятичной системе счисления. Единственное отличие – для проведения этой операции в P-ичной системе необходимо использовать  таблицы сложения для этой P-ичной системы счисления.

Примеры:


  1. Деление


Для двоичной системы счисления операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Деление чисел в Р-ичной системе счисления производится так же, как и десятичных чисел, при этом используются правила умножения, сложения и вычитания чисел в Р-ичной системе счисления. Делить следует также «столбиком», однако, как и в случае умножения, использовать таблицы умножения и сложения для P-ичной системы счисления.

Примеры:


В качестве альтернативы можно выделить и другой подход. Перед началом выполнения операций можно перевести все слагаемые в десятичную систему счисления, выполнить в привычной форме необходимые расчеты, а результат перевести обратно в системы с основанием P.

Таблицы сложения и умножения

(для двоичной и восьмеричной систем счисления)


Таблица . Таблица сложения в двоичной системе счисления

+
0
1

0
0
1

1
1
10


Таблица . Таблица умножения в двоичной системе счисления

*
0
1

0
0
0

1
0
1


Таблица 4. Таблица сложения в восьмеричной системе счисления

+
0
1
2
3
4
5
6
7

0
0
1
2
3
4
5
6
7

1
1
2
3
4
5
6
7
10

2
2
3
4
5
6
7
10
11

3
3
4
5
6
7
10
11
12

4
4
5
6
7
10
11
12
13

5
5
6
7
10
11
12
13
14

6
6
7
10
11
12
13
14
15

7
7
10
11
12
13
14
15
16


Таблица 5. Таблица умножения в восьмеричной системе счисления

*
0
1
2
3
4
5
6
7

0
0
0
0
0
0
0
0
0

1
0
1
2
3
4
5
6
7

2
0
2
4
6
10
12
14
16

3
0
3
6
11
14
17
22
25

4
0
4
10
14
20
24
30
34

5
0
5
12
17
24
31
36
43

6
0
6
14
22
30
36
44
52

7
0
7
16
25
34
43
52
61


Составить таблицу умножения или сложения для любого основания можно самостоятельно. Для этого нужно:

  1. В крайних левом вертикальном столбце и верхней горизонтальной строке записать алфавит  (цифры записываются по возрастанию). В ячейке, основанной на пересечении i-й строчки и j-го столбца, будет записан результат операции.

  2. Сосчитать значения i * j или i + j  как в обычной десятичной системе. Перевести результат в систему счисления с исходным основанием.


ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Практическая часть по исследуемой теме, как правило, представлена задачами на выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления с различными основаниями. Такие задачи встречаются в вариантах ГИА, ЕГЭ. В них предлагается сложить 2 или 3 числа, заданных в родственных системах счисления.

Задачи можно решать, используя перевод исходных чисел в десятичную систему счисления. Однако в некоторых случаях можно использовать перевод и сложение чисел в двоичной системе счисления.

Наиболее простыми являются задания, в которых варианты ответов заданы в двоичной форме, так как решение в этом случае можно свести к сложению двоичных чисел и сразу получить нужный ответ. Некоторые задания требуют приведения и исходных данных, и вариантов ответа либо к двоичной, либо к десятичной системе счисления.

Рассмотрим решение некоторых из них.

Задача 1.

Вычислить сумму чисел X и Y, если X=10101112, Y=1528. Результат представить в двоичном виде.

Решение.

Поскольку результат нужно представить в двоичной системе счисления, наиболее удобно и быстро решить данную задачу путем перевода всех чисел в двоичную систему счисления.

Число X уже представлено в двоичной системе счисления: X=10101112. Переведем число Y из восьмеричной в двоичную систему счисления, разбив его на триады:

1
5
2

001
101
010

Получили Y=1528=11010102.

Сложим двоичные числа X и Y столбиком:

+
1
0
1
0
1
1
12

1
1
0
1
0
1
02

1
1
0
0
0
0
0
12

Результатом решения задачи является число 110000012.

Ответ: 110000012.

Задача 2.

Чему равна сумма чисел 528 и А916 в двоичной системе счисления?

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1.

Переведем исходные числа в десятичную систему счисления путем разложения по степеням:

528 = 5*81 + 2*80 = 40 + 2 = 4210,

А916 = 10*161 + 9*160 = 160 + 9 = 16910.

Находим сумму десятичных чисел: 4210 + 16910 = 21110.

Переводим полученное десятичное число в двоичную систему счисления путем деления и выделения остатков:

–
211
2


















210
105
2


















1
104
52
2


















1
52
26
2


















0
26
13
2


















0
12
6
2


















1
6
3
2



















0
2
1






















1






























21110 = 110100112.

Ответ: 110100112.

Способ 2.

Переведем исходные числа в двоичную систему счисления путем разбиения на триады и тетрады:

5
2









А
9

101
010









1010
1001


528 = 1010102,

А916 = 101010012.

Сложим полученные двоичные числа столбиком:

+






1
0
1
0
1
02

1
0
1
0
1
0
0
12




1
1
0
1
0
0
1
12

В результате сложения получили двоичное число 110100112.

Ответ: 110100112.

Задача 3.

Из разности двух восьмеричных чисел 100100 и 61556 вычесть сумму двух шестнадцатеричных чисел FAD и CDC, а затем для числа, полученного в результате, выяснить, в какой системе счисления это число будет иметь вид 1001001?

Решение.

Найдем разность восьмеричных чисел:

1001008 – 615568 = 163228

–
1
0
0
1
0
08




6
1
5
5
68







1
6
3
2
28

Найдем сумму шестнадцатеричных чисел:

FAD16 + CDC16 = 1C8916

+



F
A
D16




C
D
C16




1
С
8
916

Для выполнения вычитания переведем полученное шестнадцатеричное число в восьмеричную систему счисления с помощью триадно-тетрадного метода:
1
С
8
9
(16)




0001
1100
1000
1001
(2)

1
110
010
001
001
(2)

1
6
2
1
1
(8)

Найдем разность восьмеричных чисел:

168 – 615568 = 163228

–
1
6
3
2
28

1
6
2
1
18










1
1
18

Определим основание системы счисления, в которой восьмеричное число 111 будет иметь вид 1001001 методом перебора. По значению чисел примем гипотезу о двоичной системе счисления. Разобьем восьмеричное число 111 на триады:

1
1
1

001
001
001

Получаем, что 1118 = 10010012, что и требовалось выяснить.

Ответ: 1118 = 10010012.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тема, рассмотренная в данной работе, посвящена ключевому понятию математики, а вместе с тем и информатики, – числу, а также системам счисления – способам записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

С понятием «система счисления» учащиеся впервые встречаются в 5 классе основной школы, когда знакомятся с десятичной системой счисления, и в дальнейшем по школьной программе более подробно изучается именно эта система счисления (арифметические действия, признаки делимости).

Учащиеся вновь обращаются к этой теме и встречаются с понятием «системы счисления» при изучении базового курса информатики. К сожалению, на ее изучение отводится мало часов, и по программе рекомендуется рассматривать те системы счисления, которые используются в компьютере (двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную). На арифметику в этих системах счисления, включая арифметические действия, признаки делимости, разнообразные текстовые и игровые задачи, времени практически не остается.

Однако, работая на компьютере, учащиеся видят «внешние» результаты этой работы, и вопрос, как и что происходит внутри компьютера, всегда их интересует.

Содержание темы рассматривает вопросы истории числа, системы счисления с различными основаниями, арифметические операции и признаки делимости в этих системах, смешанные системы счисления, перевод числа, включая дробные числа, из одной системы счисления в другие.

Задачи, разбираемые в теме, интересны и часто непросты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся, и дает им возможность проверить свои способности к математике и информатике.

По мере изучения темы появляются следующие учебные эффекты:

  • расширяются знания учащихся о числе, способах его
    записи;

  • складывается представление о многообразии систем счисления, их
    классификации и истории возникновения;

  • формируются навыки перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в них;

  • создаются условия для развития у учащихся интереса к изучению математики и информатики;

  • раскрывается умение самостоятельно приобретать и применять знания;

  • развиваются логическое и алгоритмическое мышление, творческие способности и коммуникативные навыки.

После изучения материала учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и навыками:

  • умеют представлять числа и выполнять арифметические действия в различных системах счисления;

  • умеют устанавливать связь между системами счисления;

  • умеют осуществлять перевод чисел из одной системы счисления в другую;

  • умеют находить оптимальный и рациональный способ решения поставленной задачи.

Важным результатом изучения темы «Арифметические операции в Р-ичных системах счисления» становится углубление имеющихся знаний по предмету, формирование основы научного мировоззрения в области информатики и развитие интереса к информатике, как науке.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3

Теоретическая часть 5

Системы счисления: основные понятия 5

Арифметические операции в Р-ичных системах счисления 6

Таблицы сложения и умножения (для двоичной и восьмеричной систем счисления) 9

Практическая часть 11

Задача 1 11

Задача 2 11

Задача 3 13

Заключение 14

Список литературы 15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович. – 6-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 387 с.: ил.

  2. Радюк Л. Алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы счисления.// Наука и жизнь. 2005, №1.

  3. С. Б. Гашков. Системы счисления и их применение. М.: МЦНМО, 2004. — 52 с.: ил.

  4. Сидоров В.К. Системы счисления.// Наука и жизнь, 2008, №2.

  5. Технология разработки элективных курсов / А.А. Зубрилин, И.С. Паркина // Информатика и образование. – 2006. – №1.