Решение уравнений Решение неравенств Метод неотрицательности функций
 Скачать 274.75 Kb.
|
| План. Введение.
1.1. Решение уравнений 1.2.Решение неравенств 2. Метод неотрицательности функций: 2.1.Решение уравнений 2.2.Решение неравенств 3. Метод использования области допустимых значений: 3.1.Решение уравнений 3.2.Решение неравенств 4. Метод использования свойств синуса и косинуса: 4.1.Решение уравнений 4.2.Решение неравенств 5. Метод использования числовых неравенств: 5.1.Решение уравнений 5.2. решение неравенств 6. Метод использования производной: 6.1.Решение уравнений 6.2. решение неравенств 7. Решение неравенств методом замены функций. 8. Заключение. 9. Литература. Введение. « Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода…» Рене Декарт. В математике, как известно, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, как говорят сами математики, более рациональное. Как найти такое решение? Что для этого необходимо знать? Чем владеть? Что это даёт ученику? Или это только удел одарённых учеников? На эти вопросы мы попробуем найти ответы. Учимся мы в физико – математическом классе и увлечены математикой. Хотим иметь прочные и высокие знания по данному предмету, которые понадобятся нам при дальнейшем обучении в вузах. Почему мы выбрали именно эту тему? Данная тема актуальна, она соответствует нашему профилю, потому что её изучение помогает расширить и углубить знания по теме: «Методы решения уравнений и неравенств». Эта работа поможет нам успешно сдать ЕГЭ и приобрести опыт выполнения научной работы.
1.1. Решение уравнений. Данный метод основан на применении следующей теоремы: Теорема: Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функции y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений: Графическое представление. E(f(x))E(g(x))=A Пример 1. Решите уравнение: . Решение:
5. Составляем систему уравнений и решаем её: Достаточно решить одно, более простое уравнение, и сделать проверку корней в другом уравнение. =1, =0, lg(-2)=0, =, 1=, = 3. Проверка: если , то ,, -1 = -1, верно, значит является решением исходного уравнения. Ответ: 3. Пример 2. Решите уравнение: Решение: Преобразуем данное уравнение: Рассмотрим функции и
Ответ: . 1.2. Решение неравенств. Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме: Пусть множество есть общая часть (пересечение) областей существования функций и и пусть для любого справедливы неравенства и где - некоторое число. Тогда неравенство равносильно системе уравнений Пример 1. Обе части неравенства определены для всех действительных чисел . Для любого , поэтому Следовательно, неравенство равносильно системе которая, в свою очередь, равносильна системе Единственное решение второго уравнения системы есть Это число удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение Ответ: -1. Пример 2. Обе части неравенства определены на множестве Для любого имеем Поэтому неравенство равносильно системе уравнений Первое уравнение системы имеет единственное решение , которое удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение . Ответ: 3.
2.1. Решение уравнений. Данный метод основан на следующей теореме: Теорема: Пусть левая часть уравнения F(х)=0 (1), есть сумма нескольких функций F(x)=f(x)+f(x)+…+f(x) каждая из которых неотрицательна для любого х из области её существования. Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений: Пример 1. Решите уравнение: +=0, . Так как и 0, то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений: Проверка: если х=3, то 0 = 0, верно. Так как х = 3 является решением системы равносильной исходному уравнению, то оно является корнем первоначального уравнения. Ответ: 3. Пример 2. Решите уравнение: преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты двух выражений (х+22)+(2-1)=0. Так как данные функции f(x)=(x+22) и g(x)=(2-1) неотрицательны, то данное уравнение равносильно системе двух уравнений: Проверка: если x = 0, то 2 = 0, неверно. Так как уравнение имеет единственное решение x = 0, которое не является решением второго уравнения , то система не имеет решений, следовательно первоначальное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений. 2.2. Решение неравенств. Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме: Пусть левая часть неравенства есть сумма нескольких неотрицательных функций , каждая из которых неотрицательна для любого из области определения ее существования, тогда данное неравенство равносильно системе уравнений Пример 1. Так как для любого справедливы неравенства и , то данное неравенство равносильно системе уравнений Второе уравнение системы имеет два решения: и . Из этих чисел только удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют единственное решение Ответ: 2. Пример 2. Каждая функция и неотрицательна для любого из области ее существования. Поэтому неравенство равносильно системе уравнений Первое уравнение системы имеет два решения: и . Из этих чисел только 4 удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеет одно решение . Ответ: 4.
3.1. Решение уравнений. Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения подстановкой чисел из ОДЗ. Пример 1. Решите уравнение: Решение: ОДЗ этого уравнения состоит из всех , одновременно удовлетворяющих условиям и , т.е ОДЗ есть пустое множество, значит ни одно из чисел не может являться решением, т.е.это означает, что уравнение корней не имеет. Ответ: нет корней. Рассмотрим ещё один пример. Пример2. Решите уравнение: Решение: ОДЗ этого уравнения состоит из чисел, удовлетворяющих условиям т.е. ОДЗ есть Сделаем проверку, подставив эти значения в уравнение, получим верное равенство. Ответ: 3.2. Решение неравенств. Суть этого метода в следующем: если при рассмотрении неравенства выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного неравенства. Рассмотрим этот метод на следующих неравенствах: Пример 1. 1.Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему: 2.Решим эту систему: 3. Решением этой системы являются два числа: и . 4.Сделав проверку в первоначальное неравенство, x = 1 не удовлетворяет ему. Следовательно, решением неравенства является x = 5. Ответ: 5. Пример 2.
2.Эта система не имеет решений, а значит и данное неравенство не имеет решений. Ответ: нет решений.
4.1. Решение уравнений. Решение некоторых тригонометрических уравнении может быть сведено к решению систем уравнений. Примерами таких уравнений могут быть следующие: где , , А и В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа. При этом используются следующие свойства: если для некоторого числа справедливо строгое неравенство или , то такое число не может быть корнем ни одного из уравнений данного вида. Пример 1. Решите уравнение: (1) Решение:
(2) (3)
Все они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются её решением.
Ответ: 4.2. Решение неравенств. Аналогичные рассуждения могут применяться и при решении неравенств. Рассмотрим следующий пример: Пример 1. Решение. 1.Допустим -решение данного неравенства, тогда так как в противном случае было бы справедливо неравенство что невозможно. Следовательно, решением неравенства является решение системы: 2. Решая первое уравнение, получается Это решение удовлетворяет второму уравнению. Значит, это решение является решением неравенства. Ответ:
5.1. Решение уравнений. Применяя то или иное числовое неравенство к одной из его частей уравнения, его можно заменить равносильной ему системой уравнений. Примером такого неравенства является неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, где a и b – неотрицательные числа, причём равенство здесь возможно лишь при a=b. Можно использовать следствие из этих неравенств, например, , при , причём тогда и только тогда, когда , или при , причём тогда и только тогда, когда Пример 1. Решите уравнение: Решение.
причём она равна четырём, если x=0. 3. Правая часть при х=0 также равна четырём, а для всех меньше четырёх 4. Следовательно, х=0 , единственное решение Ответ: х = 0. Пример 2. Решите уравнение: . Решение.
и ,откуда т.е. 4. ОДЗ: 5. Так как , а то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений 6. Из второго уравнения системы находим его решения и . Подставим эти значения в первое уравнение системы, получим верное равенств, следовательно, они являются его решением. Значит, и являются решением исходного уравнения. Ответ: и . 5.2. Решение неравенств. Пример. 1. Преобразуем левую часть неравенства, получаем: Применяя формулу этого метода, получаем, что для любого x справедливо неравенство: Равенство здесь справедливо, когда x=0. Так же для любого x справедливо неравенство: , Равенство здесь справедливо, когда x=0. 2.Следовательно, неравенство имеет одно решение x=0. 3. Из последних двух неравенств следует, что исходное неравенство справедливо лишь тогда, когда обе части исходного неравенства равны 4, а это возможно лишь при х = 0. Ответ: 0.
6.1. Решение уравнений. Использование монотонности функции. Пример 1. Решите уравнение: Решение:
Ответ: Использование наибольшего и наименьшего значений функции Пример 2. Решите уравнение: . Решение:
Ответ: 3. Применение теоремы Лангранжа. Теорема: Если функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале , то найдется такая точка с интервала , что . Пример 3. Решите уравнение: Решение.
Ответ: -2, 1.
Пример1. Решить неравенство Решение.
D(f) = (). 2. D() = (). на области определения, значит функция f(x) возрастает на своей области определения и принимает каждое своё значение ровно в одной точке. 3. Тогда уравнение f(x) = 0 может иметь не более одного корня и таким корнем является х = 0. 4. Определим знаки функции: так как функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то для x < 0 имеем f(x)<0, а для x >0 имеем f(x)>0. 5. Значит , решением исходного неравенства являются все х из промежутка (0;). Ответ: (0;).
Данный метод основан на следующем утверждении: Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции , то неравенства и равносильны. Это утверждение означает то, что если одна из функций или имеет более простой вид, то при решении этих неравенств ее можно заменить на другую. Рассмотрим основные примеры таких пар функций. Функции и Области определения функций и совпадают. Кроме того, при : Следовательно, для функций и условия утверждения выполнены. Пример 1. Решите неравенство Приведем числитель дроби к основанию 2, а знаменатель к основанию 5. Последнее неравенство решается методом интервалов, его решением является объединение промежутков Ответ: Функции и . Области определения функций и совпадают. Кроме того, Следовательно, для функций и условия утверждения выполнены. Пример 1. Последнее неравенство решаем методом интервалов. Ответ: Пример 2. Данное неравенство равносильно неравенству Множество - решение последнего неравенства. Ответ: . Функции и , где при четном . При нечетном утверждение справедливо. Кроме того, при четном области определения функций совпадают, и Следовательно, при четном для функций и также выполнены условия утверждения. Пример 1. Так как и , то Ответ: Пример 2. Так как и , то Решив последнюю систему методом интервалов, получаем Ответ: Функции , при и Области определения функций и совпадают. Кроме того, при : Следовательно, для функций и при выполнены условия первоначального утверждения. Пример 1. Это неравенство равносильно следующему: Ответ: Пример 2. Это неравенство равносильно следующему: Ответ: Изложенные методы решения эффективны при решении неравенств, левая часть которых представляет собой произведение или частное двух функций указанных выше видов, а правая часть равна нулю. Для того , чтобы успешно решать такие уравнения и неравенства , предлагаем придерживаться общего алгоритма: 1.Визуально проанализировать уравнение(неравенство) ( определить тип, не спешить раскрывать знак модуля, скобки, возводить в степень)
Заключение. Работа над данной темой была интересной и познавательной. Изучив новые методы решения уравнений и неравенств, мы обогатили свой опыт:
Самыми трудными оказались методы: применение производной: использование теоремы Лагранжа( ещё требует дополнительного изучения), использование свойств синуса и косинуса, использование числовых неравенств. Также мы приобрели навыки пользователя компьютера:
Данные методы позволяют рационально решать сложные уравнения и неравенства, а порой являются и единственными способами. Для того, чтобы овладеть этими методами, необходимо иметь прочные навыки по стандартным методам, преобразованиям, знать много теоретического материала и дополнительно решать. Литература.
|