Программа элективного курса для учащихся 11 класса «Решение уравнений и неравенств»

Название	Программа элективного курса для учащихся 11 класса «Решение уравнений и неравенств»
Дата	25.02.2016
Размер	160.75 Kb.
Тип	Программа

Авторская программа элективного курса

для учащихся 11 класса

«Решение уравнений и неравенств»

(11 класс)

Учитель математики

высшей квалификационной категории

Аксанова Ильсияр Исмагиловна

МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»

Пояснительная записка.

Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Математическая подготовка играет значительную роль в общем образовании современного человека, особенно у выпускников профильных классов математического направления.

Данный курс «Решение уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 11 классов.

В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические; смешанные тригонометрические и содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у выпускников такие качества, как:

умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;

умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев;
умение применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально – графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;
мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.

Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.

Курс «Уравнения и неравенства» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике, где часто предлагают задания на решение уравнений и неравенств.

На изучение вопросов, представленных в программе отводится 35 часов, 1 час в неделю. Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности.

Цели курса:

формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса математики в профильных ВУЗах;
освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;
развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.

Задачи:

систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7, 8, 9 и 10 классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;
обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;
формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений и неравенств;
развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;
формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;
оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.

Используемые технологии:

лекционно-семинарская система обучения;
модульное обучение;
исследовательский метод в обучении;
индивидуальные формы работы;
дифференцированное обучение.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.

Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях. Результат освоения курса считается положительным, если по итогам теста набрано более 32 баллов из 100 возможных.
Требования к уровню освоения содержания курса:

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

имеют представление о роли математики в познании действительности;
умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;
знают и умеют применять различные способы решений уравнений и неравенств разных видов;
умеют ставить цели и планировать действия для их достижения;
умеют объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;
умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний, умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.

Ожидаемые результаты:

Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.

Содержание курса

№	тема	Количество часов
1.	Уравнения и неравенства с модулем	3
2.	Рациональные уравнения и неравенства	4
3.	Уравнения и неравенства с радикалами	5
4.	Показательные уравнения	3
5.	Показательные неравенства	3
6.	Логарифмические уравнения	3
7.	Логарифмические неравенства	3
8.	Тригонометрические уравнения	2
9.	Тригонометрические неравенства	2
10.	Уравнения, содержащие логарифм, модуль и радикалы	3
11.	Неравенства, содержащие логарифм, модуль и радикалы	3
12.	Итоговый контроль	1
	всего	35

Основное содержание курса

1. Уравнения и неравенства с модулем (3 ч.)

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Уравнения, содержащие модули.
Систематизация различных видов уравнений и систем с модулем. Методы решения: раскрытие модуля исходя из определения; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки; графический и аналитический способы решения уравнений и систем уравнений с модулем. Алгоритмы решения уравнений, содержащих модуль:

решение линейных уравнений;

решение квадратных уравнений;

решение тригонометрических уравнений;

решение показательных и логарифмических уравнений.
Неравенства, содержащие модуль.
Классификация различных типов неравенств с модулем и способы их решения. Алгоритмы решения неравенств, содержащих модуль.

Графический и аналитический способы решения линейных неравенств и неравенств второй степени с модулем:

неравенства, содержащие выражения ׀x׀;

неравенства вида ׀ƒ(x)׀ >g(x)

неравенства вида ׀ƒ₁(x)׀±׀ƒ₂(x)׀±…± ׀ƒ_n(x)׀> g(x).

Системы неравенств, содержащие неизвестное под знаком модуля.

Тригонометрические неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Показательные и логарифмические неравенства с модулем.

уравнения	неравенства

2.
3.
4.	4.
5.

Рациональные уравнения и неравенства. (4ч.)
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно- рациональных уравнений. Дробно- рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод замены при решении неравенств.

уравнения	неравенства

	2.

Уравнения и неравенства с радикалами. (5 ч.)
Уравнения и неравенства с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений и с квадратными радикалами. Освобождение от кубических радикалов. Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств. Аналитические методы решения иррациональных уравнений, содержащих параметры: ; ; .

уравнения	неравенства
	1.
	2.
	3.
	4.

Показательные уравнения и неравенства.(6 ч.)
Свойства показательных функций. Основные свойства степеней. Методы решения показательных уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод уравнивания показателей; метод введения новой переменной. Метод интервалов при решении показательных неравенств.

уравнения	неравенства
	1.
	2.
	3.
	4.
	5.
	6.

Логарифмические уравнения и неравенства. (6ч.)
Основное логарифмическое тождество. Формулы преобразования логарифмов. Эквивалентные переходы, позволяющие избавится от логарифмов. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод потенцирования; метод введения новой переменной.

уравнения	неравенства
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

6. Смешанная тригонометрия. (4 ч.)

Тригонометрические методы решения уравнений, методы решения уравнений с радикалами. Методы решения уравнений, содержащие модули.

уравнения	неравенства
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.

Уравнения и неравенства, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы (6 ч.)

уравнения	неравенства
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Итоговый урок. (1 ч.)

Презентации проектов учащихся по решению уравнений и неравенств.

1. .

Решение.

Рассмотрим два случая:

.

Первое неравенство первого случая выполняется при любых х из ОДЗ, т.е. при

Значит, решение первой системы состоит из таких х, что

Первое неравенство второй системы выполняется только при

.

Ответ:

Задача 2. .

Решение.

ОДЗ данного неравенства состоит из всех таких х, что

.

В ОДЗ имеем

, и наше неравенство принимает вид

. Это стандартное неравенство, которое разбивается на две системы

.

Решим первую систему. Если x > 6, то

и первое неравенство приобретает вид

. При х > - 6 второе неравенство равносильно тому, что х + 6 > 1

и первая часть ответа будет:

.
Если х < - 6 , то

и имеем неравенство

, которое выполняется при всех х так, что вторую часть ответа получаем из неравенства –х – 6 > 1

х < - 7 .

Вторая система решений не имеет.

Ответ:.

Задача 3.

Решение.

Второе уравнение системы эквивалентно тому, что

. Подставим это значение у в первое уравнение:

.

Последнее уравнение эквивалентно тому, что либо х = 1, либо

.

Ответ: 1,

.
План-конспект занятия по теме «Уравнения с радикалами. Некоторые приёмы решения»

Цели урока :

Образовательная – дать понятие иррациональных уравнений, познакомить с некоторыми приёмами решения иррациональных уравнений.

Развивающая –способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, способствовать развитию математического кругозора.

Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.

Тип урока :

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Отработка умений и навыков решения иррациональных уравнений.

Метод обучения :

Репродуктивный
Частично – поисковый

Формы организации учебной деятельности :

Индивидуальная
Фронтальная
Групповая
Взаимопроверка

План урока

Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
Актуализация опорных знаний.
Изучение новой темы. Лекция.
Закрепление нового материала :

а) на уровне воспроизведения,

б) на уровне применения знаний.

5. Подведение итогов.

Ход урока

1. Организационный момент.

2.Актуализация знаний.

Вспомним а) определение и основные свойства корня n – ой степени,

б) определение уравнения, что означает «решить уравнение».

3. Изучение новой темы : «Иррациональные уравнения. Некоторые приёмы решения». (лекция)

а) Определение иррационального уравнения.

б) Примеры :

и т. д.

в) Что значит решить иррациональные уравнения ? Это значит : найти все такие

значения переменной х, при которых уравнение превращается в верное равенство,

либо доказать, что таких значений не существует. Другие понятия для иррациональных

уравнений определяются так же, как и для рациональных уравнений.

Широко распространёнными иррациональными уравнениями, предлагаемыми на

вступительных экзаменах являются уравнения вида

- алгеб-

раические выражения, где неизвестная величина содержится под знаком корня и

уравнения вида

.

Вернёмся к уравнению вида

Показывается способ решения уравнения данного вида :

(1)

Примеры : 1)

; 2)

.

Учитель показывает решение этих двух уравнений на доске :
Обратите внимание на правые части уравнений. Во втором уравнении должно

налагаться дополнительное условие, которое вытекает из определения

арифметического корня n – ой степени.

Имеем

. Пришли к системе

х₁ = 4 , х₂ = 1 – посторонний корень, не удовлетворяет условию х ? 2.
Ещё один вид иррационального уравнения

сводится к системе

( 2 )

Кстати, можно проверять и А (х) ? 0, т.е. то, что в данной задаче проще. Если

уравнение не относится ни к одному из видов, то с помощью различных

преобразований можно привести уравнения к Ι или ΙΙ виду.

0сновные методы решения иррациональных уравнений:

Ι) Уединение радикала и возведение в степень.

1) Решить уравнение :

Рассмотрим уравнение системы

х₁ = 11, х₂ = 6 – пост. корень, т.к. х ? 8.
2) Решить уравнение :

Данное уравнение равносильно системе :

Решим второе уравнение системы :

х₁=2, х₂=42 – посторонний корень.

Ответ : 2.
ΙΙ. Метод введения вспомогательного неизвестного.

1)

Пусть

Получим новое уравнение

у₁=2, у₂=-6 – посторонний корень, т.к. у

0.

Вернёмся к замене

уравнение дорешать дома.
2) Решим уравнение :

ОДЗ:

Пусть

Получим уравнение :

у₁=-1 – посторонний корень, т.к. у>0, у₂=2.

Возвращаемся к подстановке

Х=2,5. Уравнение дорешать дома.

Часто этот метод встречается при решении других уравнений, не только

иррациональных.

ΙΙΙ. Нестандартный подход.

1) Пример :

. Разделим обе части уравнения на х

0, получим уравнение

.

Пусть

, тогда

, получим

уравнение закончить дома.
2) Попробуйте решить:

Решение :

Ответ : нет решений.
3) Пример :

Т.к. правая часть отрицательная, уравнение не имеет решения.

Ответ : нет решения.

4.Закрепление

Работа в парах и индивидуально.

Подведение итогов.

Список использованной литературы:

В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н Олехник, П.И. Пасиченко. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва, «Наука»,2006.

2. В.В. Вавилов . Задачи по математике Уравнения и неравенства. М.,

«Просвещение», 2007

3. А.Г.Каспаржак «Элективные курсы в профильном обучении», М., НФПК,

2004.

4. М.К. Потапов и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Москва, изд. МГУ, 2005.

5. В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. Москва, изд. МЦНМО, 2006.

6. С. И. Колесникова. Решение сложных задач единого государственного

экзамена. Москва, изд. АЙРИС ПРЕСС, 2006.