|
Программа элективного курса для учащихся 11 класса «Решение уравнений и неравенств»
Авторская программа элективного курса
для учащихся 11 класса
«Решение уравнений и неравенств»
(11 класс)
Учитель математики
высшей квалификационной категории
Аксанова Ильсияр Исмагиловна
МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2
Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»
Пояснительная записка. Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.
Математическая подготовка играет значительную роль в общем образовании современного человека, особенно у выпускников профильных классов математического направления.
Данный курс «Решение уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 11 классов.
В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические; смешанные тригонометрические и содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у выпускников такие качества, как:
умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;
умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев;
умение применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально – графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;
мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.
Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.
Курс «Уравнения и неравенства» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике, где часто предлагают задания на решение уравнений и неравенств.
На изучение вопросов, представленных в программе отводится 35 часов, 1 час в неделю. Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.
Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности.
Цели курса: формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса математики в профильных ВУЗах;
освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;
развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.
Задачи: систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7, 8, 9 и 10 классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;
обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;
формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений и неравенств;
развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;
формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;
оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.
Используемые технологии:
лекционно-семинарская система обучения;
модульное обучение;
исследовательский метод в обучении;
индивидуальные формы работы;
дифференцированное обучение.
Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.
Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях. Результат освоения курса считается положительным, если по итогам теста набрано более 32 баллов из 100 возможных. Требования к уровню освоения содержания курса:
В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:
имеют представление о роли математики в познании действительности;
умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;
знают и умеют применять различные способы решений уравнений и неравенств разных видов;
умеют ставить цели и планировать действия для их достижения;
умеют объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;
умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.
Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний, умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.
Ожидаемые результаты:
Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.
Содержание курса
№
| тема
| Количество
часов
| 1.
| Уравнения и неравенства с модулем
| 3
| 2.
| Рациональные уравнения и неравенства
| 4
| 3.
| Уравнения и неравенства с радикалами
| 5
| 4.
| Показательные уравнения
| 3
| 5.
| Показательные неравенства
| 3
| 6.
| Логарифмические уравнения
| 3
| 7.
| Логарифмические неравенства
| 3
| 8.
| Тригонометрические уравнения
| 2
| 9.
| Тригонометрические неравенства
| 2
| 10.
| Уравнения, содержащие логарифм, модуль и радикалы
| 3
| 11.
| Неравенства, содержащие логарифм, модуль и радикалы
| 3
| 12.
| Итоговый контроль
| 1
|
| всего
| 35
|
Основное содержание курса 1. Уравнения и неравенства с модулем (3 ч.)
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).
Уравнения, содержащие модули. Систематизация различных видов уравнений и систем с модулем. Методы решения: раскрытие модуля исходя из определения; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки; графический и аналитический способы решения уравнений и систем уравнений с модулем. Алгоритмы решения уравнений, содержащих модуль:
решение линейных уравнений;
решение квадратных уравнений;
решение тригонометрических уравнений;
решение показательных и логарифмических уравнений. Неравенства, содержащие модуль. Классификация различных типов неравенств с модулем и способы их решения. Алгоритмы решения неравенств, содержащих модуль.
Графический и аналитический способы решения линейных неравенств и неравенств второй степени с модулем:
неравенства, содержащие выражения ׀x׀;
неравенства вида ׀ƒ(x)׀ >g(x)
неравенства вида ׀ƒ1(x)׀±׀ƒ2(x)׀±…± ׀ƒn(x)׀> g(x).
Системы неравенств, содержащие неизвестное под знаком модуля.
Тригонометрические неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Показательные и логарифмические неравенства с модулем.
уравнения
| неравенства
|

|

| 2. 
|

| 3. 
|

| 4. 
| 4. 
| 5. 
|

|
Рациональные уравнения и неравенства. (4ч.) Представление о рациональных алгебраических выражениях. Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно- рациональных уравнений. Дробно- рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод замены при решении неравенств.
Уравнения и неравенства с радикалами. (5 ч.) Уравнения и неравенства с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений и с квадратными радикалами. Освобождение от кубических радикалов. Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств. Аналитические методы решения иррациональных уравнений, содержащих параметры: ; ; .
уравнения
| неравенства
|

| 1. 
|

| 2. 
|

| 3. 
|

| 4. 
|
Показательные уравнения и неравенства.(6 ч.) Свойства показательных функций. Основные свойства степеней. Методы решения показательных уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод уравнивания показателей; метод введения новой переменной. Метод интервалов при решении показательных неравенств.
уравнения
| неравенства
|

| 1. 
|

| 2. 
|

| 3. 
|

| 4. 
|

| 5. 
|

| 6. 
|
Логарифмические уравнения и неравенства. (6ч.) Основное логарифмическое тождество. Формулы преобразования логарифмов. Эквивалентные переходы, позволяющие избавится от логарифмов. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод потенцирования; метод введения новой переменной.
уравнения
| неравенства
| 1. 
| 1. 
| 2. 
| 2. 
| 3. 
| 3. 
| 4.
| 4. 
| 5. 
| 5. 
|
6. Смешанная тригонометрия. (4 ч.)
Тригонометрические методы решения уравнений, методы решения уравнений с радикалами. Методы решения уравнений, содержащие модули.
уравнения
| неравенства
| 1. 
| 1. 
| 2. 
| 2. 
| 3. 
| 3. 
| 4. 
| 4. 
|
Уравнения и неравенства, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы (6 ч.)
уравнения
| неравенства
| 1. 
| 1. 
| 2. 
| 2. 
| 3. 
| 3. 
| 4. 
| 4. 
| 5. 
| 5. 
|
Итоговый урок. (1 ч.)
Презентации проектов учащихся по решению уравнений и неравенств.
1. .
Решение.
Рассмотрим два случая: и .
Первое неравенство первого случая выполняется при любых х из ОДЗ, т.е. при , Значит, решение первой системы состоит из таких х, что
Первое неравенство второй системы выполняется только при .
Ответ: 
Задача 2. .
Решение.
ОДЗ данного неравенства состоит из всех таких х, что .
В ОДЗ имеем , и наше неравенство принимает вид . Это стандартное неравенство, которое разбивается на две системы и .
Решим первую систему. Если x > 6, то и первое неравенство приобретает вид . При х > - 6 второе неравенство равносильно тому, что х + 6 > 1 и первая часть ответа будет: . Если х < - 6 , то и имеем неравенство , которое выполняется при всех х так, что вторую часть ответа получаем из неравенства –х – 6 > 1 х < - 7 .
Вторая система решений не имеет.
Ответ: .
Задача 3. 
Решение.
Второе уравнение системы эквивалентно тому, что . Подставим это значение у в первое уравнение:
.
Последнее уравнение эквивалентно тому, что либо х = 1, либо 
.
Ответ: 1, . План-конспект занятия по теме «Уравнения с радикалами. Некоторые приёмы решения»
Цели урока :
Образовательная – дать понятие иррациональных уравнений, познакомить с некоторыми приёмами решения иррациональных уравнений.
Развивающая –способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, способствовать развитию математического кругозора.
Тип урока :
Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Отработка умений и навыков решения иррациональных уравнений.
Метод обучения :
Репродуктивный
Частично – поисковый
Формы организации учебной деятельности :
Индивидуальная
Фронтальная
Групповая
Взаимопроверка
План урока
Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
Актуализация опорных знаний.
Изучение новой темы. Лекция.
Закрепление нового материала :
а) на уровне воспроизведения,
б) на уровне применения знаний.
5. Подведение итогов.
Ход урока
1. Организационный момент.
2.Актуализация знаний.
Вспомним а) определение и основные свойства корня n – ой степени,
б) определение уравнения, что означает «решить уравнение».
3. Изучение новой темы : «Иррациональные уравнения. Некоторые приёмы решения». (лекция)
а) Определение иррационального уравнения.
б) Примеры : , и т. д.
в) Что значит решить иррациональные уравнения ? Это значит : найти все такие
значения переменной х, при которых уравнение превращается в верное равенство,
либо доказать, что таких значений не существует. Другие понятия для иррациональных
уравнений определяются так же, как и для рациональных уравнений.
Широко распространёнными иррациональными уравнениями, предлагаемыми на
вступительных экзаменах являются уравнения вида - алгеб-
раические выражения, где неизвестная величина содержится под знаком корня и
уравнения вида .
Вернёмся к уравнению вида 
Показывается способ решения уравнения данного вида : (1)
Примеры : 1) ; 2) .
Учитель показывает решение этих двух уравнений на доске : Обратите внимание на правые части уравнений. Во втором уравнении должно
налагаться дополнительное условие, которое вытекает из определения
арифметического корня n – ой степени.
Имеем . Пришли к системе 
х1 = 4 , х2 = 1 – посторонний корень, не удовлетворяет условию х ? 2. Ещё один вид иррационального уравнения сводится к системе
( 2 )
Кстати, можно проверять и А (х) ? 0, т.е. то, что в данной задаче проще. Если
уравнение не относится ни к одному из видов, то с помощью различных
преобразований можно привести уравнения к Ι или ΙΙ виду.
0сновные методы решения иррациональных уравнений:
Ι) Уединение радикала и возведение в степень.
1) Решить уравнение : 
 
Рассмотрим уравнение системы 
х1 = 11, х2 = 6 – пост. корень, т.к. х ? 8. 2) Решить уравнение : 
Данное уравнение равносильно системе :

Решим второе уравнение системы : 
х1=2, х2=42 – посторонний корень.
Ответ : 2. ΙΙ. Метод введения вспомогательного неизвестного.
1) 
Пусть 
Получим новое уравнение 
у1=2, у2=-6 – посторонний корень, т.к. у 0.
Вернёмся к замене уравнение дорешать дома. 2) Решим уравнение : ОДЗ: 
Пусть Получим уравнение : 

у1=-1 – посторонний корень, т.к. у>0, у2=2.
Возвращаемся к подстановке 
Х=2,5. Уравнение дорешать дома.
Часто этот метод встречается при решении других уравнений, не только
иррациональных.
ΙΙΙ. Нестандартный подход.
1) Пример : . Разделим обе части уравнения на х 0, получим уравнение
.
Пусть , тогда , получим 
уравнение закончить дома. 2) Попробуйте решить: 
Решение : 
Ответ : нет решений. 3) Пример : 
Т.к. правая часть отрицательная, уравнение не имеет решения.
Ответ : нет решения.
4.Закрепление
Работа в парах и индивидуально.
Подведение итогов.
Список использованной литературы:
В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н Олехник, П.И. Пасиченко. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва, «Наука»,2006.
2. В.В. Вавилов . Задачи по математике Уравнения и неравенства. М.,
«Просвещение», 2007
3. А.Г.Каспаржак «Элективные курсы в профильном обучении», М., НФПК,
2004.
4. М.К. Потапов и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Москва, изд. МГУ, 2005.
5. В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. Москва, изд. МЦНМО, 2006.
6. С. И. Колесникова. Решение сложных задач единого государственного
экзамена. Москва, изд. АЙРИС ПРЕСС, 2006.     |
|
|