Конспект урока по математике в 10 классе «Различные способы решения тригонометрических уравнений»

Скачать 156.94 Kb. Название Конспект урока по математике в 10 классе «Различные способы решения тригонометрических уравнений» Дата 05.03.2016 Размер 156.94 Kb. Тип Конспект

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Бутурлиновская средняя общеобразовательная школа Бутурлиновского муниципального района Воронежской области Конспект урока по математике в 10 классе «Различные способы решения тригонометрических уравнений». Подготовила учитель математики Коротких Эмма Александровна 2015 год Цели урока: Образовательные: - систематизация знаний учащихся по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»; -углубление знаний по теме; - формирование умения классифицировать тригонометрические уравнения по методам решений, применять эти методы в новой ситуации. Развивающие: – способствовать развитию аналитико-синтетического мышления, внимания; - содействовать развитию логического, математического мышления учащихся. Воспитательные: - развивать у учащихся коммуникативные способности, элементы ораторского искусства; - способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию. Оборудование: экран, проектор, карточки для самостоятельной работы, карточки с проверочной работой «Карусель», интерактивная доска, система опроса и тестирования PrometheanActivExpression, таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрия», «Тригонометрические уравнения», индивидуальный справочный материал,индивидуальные оценочные листы; Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1.Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), - М.: Мнемозина, 2012. Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний Методы обучения:метод постановки проблемы и метод поиска решений. Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая. Педагогические приемы урока:эпиграф, наблюдение, обобщение, общественный смотр знаний, самостоятельная и проверочная работы. План урока: Организационный момент (1 мин). Систематизация теоретического материала. 1.Самостоятельная работа: блиц-опрос - контроль знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям (система опроса и тестирования Promethean ActivExpression,системное голосование) (8 мин). 2.Повторение: методы решения тригонометрических уравнений (13 мин). Проверочная работа (20 мин). Итог урока. Рефлексия (2 мин). Домашнее задание (1 мин). Конспект урока Организационный момент урока. Учитель - Сегодня на уроке мы будем учитьсяприменять различные методыв решении тригонометрических уравнений, которые занимают важное место в математическом анализе. Математика способствует развитию умений анализировать, сопоставлять, творчески мыслить. Правильное решение по-своему красиво, а поиск решения всегда интересен. Эпиграфом нашего урока будут словаМ. И. Калинина: «Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе». II. Систематизация теоретического материала Учитель. - Посмотрите на уравнения (слайд). Каким способом их можно решить? (постановка проблемы). Пример 1 Пример 2 cos(x/5)=1 Пример 3. 1 + Пример 4 Пример 5. Решите уравнение 2sin2(x)+3cos(x)=0 Пример 6. Пример7.2sin2(x)+3cos(x)=0 Пример 8. Учащиеся дают разные ответы. Учитель - Сравните и сопоставьте эти уравнения. Разбейте их на группы. Какими способами можно решить каждую получившуюся группу уравнений? Учащиеся - Решение простейших уравнений: примеры 1,2 - Метод разложения на множители:примеры 3, 4. - Метод замены переменных: примеры 5 ,6. - Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул:примеры 7, 8 Учитель Верно. Все тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям, которые мы научились решать с помощью общих формул простейших тригонометрических уравнений, их частных случаев, а также с помощью тригонометрических формул. Обратите внимание на таблицы и справочный материал: Справочный материал (на рабочем столе учащихся). Тригонометрические формулы. Справочный материал (на рабочем столе учащихся). Тригонометрические уравнения. С Учитель: Проверим ваши умения по решению простейших тригонометрических уравнений. 1. Самостоятельная работа. Блиц-опрос (проверка - системное голосование) За правильное решение учащиеся получают балл (самопроверка с последующей записью баллов в оценочный лист) Оценочный лист Фамилия, имя № п/п Вид работы Количество баллов № п/п Уравнение Корни 1 нет решений 2 3 4 5 2. Повторение. Учитель: - А сейчас вам предстоит работа в группах. Вы должны представить решение тригонометрического уравнения указанным методомв карточкеи составить алгоритм решения Учащиеся делятся на группы разной подготовленности. Обсуждают коллективно решение примеров. Учитель: Проверка задания: один человек группы произносит алгоритм решения тригонометрического уравнения, сверяясь с решением, предоставленным на слайде(используется материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики», П.В. Чулков, лекция №5, - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2010) Слайды 1 группа. Решение простейших уравнений. Пример 2(слайд) Решить уравнение: cos(x/5)=1 Решение: x/5= ± arccos(1) + 2πk. x/5=πk x=5πk Ответ:5πk, 2 группа. Метод разложения на множители. Пример 3 (слайд). Решите уравнение 1 + Решение. Перепишем уравнение в виде: 1 + Ответ: 3 группа. Метод замены переменных. Пример 5 (слайд). Решите уравнение Решение. Запишем уравнение в виде откуда Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно . Обозначим получим уравнение корни которого Получаем два случая: 1) откуда 2) Ответ: Учитель. Методом замены можно решать «однородные тригонометрические» уравнения. Тригонометрическое уравнение называют однородным, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени. Например: Слайд Решите уравнение Решение. Перепишем уравнение в виде Получили уравнение, однородное относительно Рассмотрим два случая: 1) что невозможно, поскольку в этом случае корней нет. 2) тогда разделим обе части уравнения на Пусть y = tgx. Получим: откуда = . Осталось решить уравнения tgx = 1 и tgx = . Ответ: 4группа. Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул. Примеры 7 (слайд). Решить уравнение: 2sin2(x)+3cos(x)=0 Решение: Воспользуемся тождеством: sin2(x)+cos2(x)=1 Наше уравнение примет вид: 2-2cos2(x)+3cos(x)=0 2cos2(x)- 3 cos(x) -2 = 0 введем замену t=cos(x): 2t2 -3t - 2 = 0 Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2 Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2. Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней. Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk Ответ: x= ±2π/3 + 2πk Учитель: - При решении тригонометрических уравнений можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку на основе Формул(слайд): Если то С помощью универсальной подставки мы можем любое уравнение вида свести к алгебраическому уравнению. Важно при этом помнить, что, делая замену, мы можем потерять те корни исходного уравнения, для которых не определен, то есть значения Их мы должны проверять отдельно. В следующем примере встречается изначально, поэтому универсальная подстановка не может привести к потере корней указанного вида. Слайд Решим уравнение Решение (учащиеся записывают в тетради) Сделаем универсальную подстановку , тогда Таким образом: а) б) Ответ: Учитель. В заданиях ЕГЭ встречаются тригонометрические уравнения, решаемые способом отбора корней. Рассмотрим решение такого уравнения (слайд): Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку . Решение.Корни данного уравнения можно найти из соотношения откуда получаем, что Но Тогда Решим это двойное неравенство: Полученное неравенство выполнено, если k = Ответ: Учитель Дифференцированная проверочная работа «Карусель». Каждому ученику выдается карточка с заданием. Сделав одно задание, ученик передает свою карточку соседу по кругу, вписывая свою фамилию напротив выполненного примера. Карта №1 № п/п Пример Ответ Фамилия, имя обучающегося 1 sin(7x)= 1/2 2 3 sin 2(x) + √3sin (x) cos(x) = 0 3 cos2(2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin2(2x) 4 3sin2(3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos2(3x) =0 5 sin(3x)= √3/2. Найти все корни на отрезке [π/2; π ]. Карта №2 № п/п Пример Ответ Фамилия, имя обучающегося 1 cos(3x)= √3/2 2 ctg2(x) + 2ctg(x) + 1 =0 3 2 sin2х - 2sin 2х +1 =0 4 5 sin2х - 3 sinхcosх - 2 cos2х =0 5 sin(2x)= √3/2. Найти все корни на отрезке [0; π ]. Карта №3 № п/п Пример Ответ Фамилия, имя обучающегося 1 sin(7x)= 1/2 2 2 sin2 x – sin x cosx =0 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0 4 5 sin2 х + sin2х - cos2х =1 5 cos(1/2x)= √2/2. Найти все корни на отрезке [0;π]. Карта №4 № п/п Пример Ответ Фамилия, имя обучающегося 1 ctg(0.5x) = -1.7 2 3 cos2х + 2 sin х cos х =0 3 2 sin x - 3 cos x = 4 4 5 sin2 х + 2 sinхcos х - cos2х =1 5 sin(3x)= 1. Найти все корни на отрезке [0;π/2]. Карта №5 № п/п Пример Ответ Фамилия, имя обучающегося 1 tg(4x) = √3 2 4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1 3 2 sin x - 5 cos x = 3 4 6 sin2х - 5 sinх cos х + cos2х =0 5 cos(4x)= √2/2. Найти все корни на отрезке [0;π]. При проверке работы учитель и ученики-консультанты заполняют таблицу: № п/п Фамилия, имя обучающегося Номера выполненных заданий Количество баллов Оценка 5. Подведение итогов. Рефлексия. Учитель: Итак, подведем итоги урока. Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. Первый - преобразование уравнения для получения его простейшего вида. 2 Второй - решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существуют основные методы решения уравнений такого вида: Какие методы решения тригонометрических уравнений мы сегодня повторили? Ответы учащихся: Разложение на множители. Метод замены переменной: - сведение к квадратному уравнению; - сведение к однородному уравнению; - универсальная тригонометрическая подстановка. 3.Отбор корней Учитель Оцените свою работу по вашим оценочным листам (дает дополнительные баллы отличившимся ученикам). Рефлексия. Учитель Продолжите фразу: Вызвало затруднения задание… Самым интересным при работе для меня было… 6. Домашнее задание, инструкция о его выполнении (слайд) Решить уравнение: 2 sin2 x + cos 4 x = 0 sin4 x + cos4 x = cos22 x + ¼ sin 2 x = cos x - sin x √3 cos x + sin x = 2 № 23.14 Задачник Алгебра и начала анализа 10 класс, А.Г. Мордкович. При решении первого уравнения воспользуйтесь формулой понижения степени. Литература 1. Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. - 1995. - №2. -с. 40 - 42. 2. Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28. 3. ЕГЭ. Математика 2008.Сборник экзаменационных заданий. Денищева Л.О., Рязановский А.Р., Семёнов П.В. – М., изд-во «Эксмо-Пресс», 2008. 4. Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979. 5. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной. //Математика в школе. 2002 - № 6 - с.32-38. 6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), - М.: Мнемозина, 2012. 7. Синакевич С.В. Тригонометрические уравнения - М.: Учпедгиз, 1959. 8. Чулков П. В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2010 Интернет - источники Сайт «Вся элементарная математика» https://bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16.ht