Конспект урока по алгебре в 8 классе Тема урока: «Решение квадратных уравнений разными способами»

- Как можно решить данные уравнения?

- Сколько времени потребуется для этого?

- Обратите внимание на коэффициенты этих уравнений (они показывают ваш год рождения, возраст, настоящий год).
Оказывается, можно решить эти уравнения очень быстро! Уже в конце сегодняшнего урока каждый из вас сможет решить эти уравнения в уме за считанные секунды.
Рассмотрению способа решения таких уравнений будет посвящена часть нашего урока.

2. 
   Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
   

Теперь повторим основной теоретический материал по теме «Квадратные уравнения» (работа с таблицами). В таблицах пунктирной линией обведены те записи, которые «открываются только по мере того, как учащиеся отвечают на соответствующие вопросы учителя.

- В каком случае уравнение вида ах²+вх+с=0 является квадратным?

- Какой вид примет это уравнение, если в=0, с=0; в=0, с≠0; в≠0, с=0? Как называются такие уравнения?

- Имеют ли корни уравнения ах²=0, ах²+с=0, ах²+вх=0? Приведите примеры таких уравнений.

- От какой величины зависит наличие действительных корней квадратного уравнения? Сколько корней могут иметь квадратные уравнения?

- Назовите формулу для нахождения дискриминанта квадратного уравнения.

- Какую формулу для нахождения корней вы знаете?
Давайте вспомним алгоритм решения квадратного уравнения по формуле.

На доске записано уравнение 7х²-9х+2=0. Решите эти уравнения в своих тетрадях. (1 чел. решает у доски с объяснением).

Д=(-9)²-4·7·2=81-56=25


- Ребята, на доске записаны уравнения, определенные по какому-то признаку, как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?
а). 1) 2x² – x = 0 б). 1) x² – 5x + 1 = 0

2) x² – 16 = 0 2) 9x² – 6x + 10 = 0

3) 4x² + x – 3 =0 3) x² + 2x – 2 = 0

4) 2x² = 0 4) x² – 3x – 1 = 0

Ответы: а) 3) – лишнее, так как это полное квадратное уравнение

б) 2) – лишнее, так как 1, 3, 4 – приведенные квадратные уравнения
- Какое квадратное уравнение называется приведенным?

- Как можно решить приведенное квадратное уравнение? Вспомним теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета.

- Как используется теорема Виета при решении уравнения вида ах²+вх+с=0?

- В приведенных уравнениях второй группы назовите, чему равна сумма корней и их произведение.

- Чему равна сумма корней второго уравнения? Чему равно произведение его корней?
Перед вами на парте лежат два листа: лист с заданиями на сегодняшний урок и лист ответов. Возьмите лист ответов, подпишите его.

Теперь выполним тестовое задание №1. На листе ответов вам нужно в первой таблице вписать цифру или знак, стоящий после правильного ответа в каждом задании. Приступайте.
Тест №1

1 вариант	2 вариант
1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.
Зх2 - 7х + 6 = 0 (5), х2 - Зх - 2 = 0 (1), -х2 - 2х + 1 = 0 (4).	4х2 - 17х +1 = 0 (5), х2 + 8х – 2 = 0 (1), -х2 - х + 1 = 0 (4)?
2. Для уравнения 7х2 + 14х - 21 =0 приведенным является:	2. Для уравнения 8х2-24х+ 16= 0 приведенным является
х2 + 2х - 3 = 0 (5), -х2 -2х + 3 = 0 (6), 7х + 14x-21 = 0 (7).	х2 - Зх + 2 = 0 (6), -х2 +3х - 2 = 0 (5), -8х2 + 24х - 16 = 0 (7).
3. Сумма корней уравнения х2 - 5х - 6 = 0 равна	Сумма корней уравнения х2 + 8х -7 = 0 равна
-6 (2), -5 (3), 5 (4).	-7 (2), -8 (0), 8 (4).
Произведение корней уравнения х2 + х - 2 = 0 равно	Произведение корней уравнения х2 -2 х - 3 = 0 равно
-1 (2), 2 (1), -2 (0).	-3 (3), 4 (1), -2 (0).
5. Какое из уравнений имеет корни противоположных знаков
х2 - 0,4х -1=0 (-), х2 + 4х + 0,2= 0 (+), х2 - Зх + 48 = 0 (*)?	х2 + 57х + 15,1 = 0 (-), х2 -4,1х + 3,5 = 0 (+), х2 - 18х - 0,48 = 0 (.)?

Два человека (по одному от каждого варианта) выходят к доске и вписывают свои ответы в заранее подготовленную таблицу.

Вариант 1.					Вариант 2.
1	5	4	0	-	1	6	0	3	.

Посмотрите внимательно: это не просто набор цифр, это годы жиз­ни французского математика Франсуа Виета, чьим именем названа теорема.

Оцените самостоятельно свою работу: зачеркните неверные ответы (карандашом) и поставьте рядом с таблицей «+», если все всё выполнено верно, «±», если 1-2 ошибки, и «-», если ошибок больше двух.
Теперь посмотрим, как вы владеете уже изученным материалом и готовы ли вы к изучению нового.

На листе с заданиями найдите тестовое задание №2, выполните его, вписав в таблицу ответов №2 буквы, соответствующие верному ответу.
Тест №2.

Вариант 1. Вариант 2.

1. 
   Какое из данных уравнений является квадратным?  
   

   а) б) в)

   а) б) в)

2. 
   Укажите коэффициенты квадратного уравнения:
   

   а) ; ; б) ; ; в) ; ;

   а) ; ; б) ; ; в) ; ;

3. 
   Дискриминант какого уравнения равен 25?
   

   а) б) в)

   а) б) в)

4. 
   Какое из уравнений не имеет корней?
   

   а) б) в)

   а) б) в)

5. 
   Укажите сумму и произведение корней уравнения:
   

а) б) в)

а) б) в)

Два человека (по одному от каждого варианта) выходят к доске и вписывают свои ответы в заранее подготовленную таблицу. Проверяем, вносим поправки (если нужно). Ученики у доски получают оценки.

Вариант 1.
1	2	3	4	5
а	в	б	б	а

Вариант 2.
1	2	3	4	5
б	в	а	б	в

Учащиеся на местах меняются листами с ответами, каждый проверяет и оценивает работу своего соседа по той же системе, что и в предыдущем тесте.

8. 
   Изучение нового материала.
   

В домашней работе к этому уроку вам было нужно решить несколько уравнений. Заполните, пожалуйста, таблицу 3 на листе ответов, опираясь на результаты выполнения домашней работы. Один человек работает у доски.

	Уравнение	Сумма коэффициентов а+в+с	Х1	Х2
а)	х²+4х-45=0	-40	5	-9
	3х²-7х-40=0	-44		5
	х²-5х+6=0	2	2	3
б)	2х²-3х+1=0	0	1
	6х²-5х-1=0	0	1
	2х²+3х-5=0	0	1	-2,5

Посмотрите внимательно на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти какую-то закономерность :

- в корнях этик уравнений;

- в соответствии между корнями уравнений и их коэффициентами;

- в сумме коэффициентов.
Учащиеся отвечают на вопросы.

1. 
   Во второй группе уравнений один корень равен 1.
   

2) Второй корень равен с или .

3) Сумма коэффициентов равна =0.
- К какому выводу вы пришли? Попробуйте сформулировать правило.
Учитель слушает ответы учащихся и делает вывод.

В тетради делаем запись полученного свойства с примерами.

Уравнение ах2+вх+с=0, а≠0
Свойство 1.	Свойство 2.
Если а+в+с=0, то	Если а-в+с=0, то
х1=1, х2=	х1=-1, х2=-
Примеры: 1) х²+3х-4=0 а+в+с=1+3-4=0 х1=1, х2=-4	Примеры: 1) 4х²+11х+7=0 а-в+с=4-11+7=0 х1=-1, х2=
2) 2х²+х-3=0 а+в+с=2+1-3=0 х1=1, х2=	2) х²-6х-7=0 а-в+с=1+6-7=0 х1=-1, х2=7

Есть и другое свойство, которое мы запишем в правой части.
В большинстве квадратных уравнений (школьной программы) корни находятся без особого труда подбором, основанном на теореме, обратной теореме Виета. Но этот способ становится практически неприменяемым, если уравнение имеет дробные корни. Так как не просто подобрать два числа, сумма которых равна - , а произведение .

Оказывается, есть способ, позволяющий быстро решить некоторые уравнения, в которых а±в+с≠0.
Пусть требуется решить квадратное уравнение ах²+вх+с=0

(для него ).

Умножив обе части данного уравнения на а, перепишем его в виде:



Теперь видно, что для решения исходного уравнения

достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение и его корни разделить на а.

9. 
   Закрепление изученного.
   

1. Попробуйте решить ещё два уравнения тем же способом.

а).





б).



2. Решить уравнения (устно)

3. Обратите внимание на уравнение, которое было решено в начале урока. Теперь мы его сможем решить быстрее:

7х²-9х+2=0

7-9+2=0

х₁=1 , х₂=.

10. 
    Проверка усвоения нового материала (самостоятельная работа).
    

А теперь выполните последнее задание , вписав результаты вычислений в таблицу №4.

Вариант I	Вариант II
Решите уравнение:	Решите уравнение:
1) x² + 23x – 24 = 0	1) x² + 15x – 16 = 0
2) 2x² + x – 3 = 0	2) 5x² + x – 6 = 0
3) –5x² + 4,4x + 0,6 = 0	3) –2x² + 1,7x + 0,3 = 0
4) 1⅓x² + 2⅔x – 3 = 0	4) ¼x² + 3¾x – 4 = 0
5) 3х2+8х+5=0	5) 4х2+11х+7=0

Два человека (по одному от каждого варианта) выходят к доске и вписывают свои ответы в заранее подготовленную таблицу. Проверяем, вносим поправки (если нужно). Ученики у доски получают оценки.
Вариант №1. Вариант №2.

№ уравнения	1	2	3	4	5
Х1	1	1	1	1	-1
Х2	-24	-1,5	-0,12

№ уравнения	1	2	3	4	5
Х1	1	1	1	1	-1
Х2	-16	-1,2	-0,15	-16

Учащиеся на местах меняются листами с ответами, каждый проверяет и оценивает работу своего соседа по той же системе, что и в предыдущем тесте.

- Кто решил верно все уравнения? Кто выполнил верно все три задания?
Сдайте свои листы с ответами. После проверки каждый получит оценку за работу на уроке.

11. 
    Инструктаж по выполнению домашнего задания.
    

А теперь запишем домашнее задание:

1. повторить записи в тетради;

2. придумать и решить по два уравнения на свойства 1 и 2;

3. №546, 550(1,2).

12. 
    Итог урока и выставление оценок учащимся.
    

1. - Чему новому мы научились на уроке?

- Помогут ли нам изученные свойства при решении уравнений?
2. А теперь вернемся к уравнениям, рассмотренным в начале урока.

- Сможете ли вы теперь быстро назвать их корни?

Давайте решим эти уравнения.

3. Что понравилось на уроке?

4. Выставление оценок в журнал с комментированием.