Г. М. Конева Математика Использование метода координат в пространстве для решения заданий с-2 Единого государственного экзамена
 Скачать 76.16 Kb.
|
| Министерство образования и науки Республики Бурятия Творческое объединение учителей математики г.Улан-Удэ Байкальский образовательный центр «Эврика» Г.М.Конева Математика Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена Улан-Удэ Бэлиг 2013 Содержание I. Введение………………………………………………………………… II. Основная часть
III. Заключение………………………………………………………….. IV.Список использованной литературы I.Введение Существует два способа решения задач С-2 ЕГЭ по математике. Первый способ - поэтапно-вычислительный. Этот способ требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мышление и пространственное воображение. Другой метод - применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Целью данного методического пособия является разработка методики обучения векторно-координатному методу решения задач школьного курса геометрии 10-11 класса. Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях. Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод - довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений. С помощью векторно-координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи из ЕГЭ в блоке С (задание С2). В рамках данного пособия рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также их решение с помощью координатно-векторного метода. II.Основная часть
Применение метода координат даёт нам возможность для решения следующих задач: 1)Нахождение расстояния d между двумя точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), заданными своими координатами:  2)Нахождение координат середины С(x; y; z) отрезка АВ, где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2):  ,  ,  3  ) Нахождение угла между двумя векторами, заданными своими координатами:где  .4)Нахождение угла между прямой l и плоскостью α:  или в координатах  , где - вектор нормали к плоскости α, - направляющий вектор прямой l5)Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты  : или  6)Нахождение расстояния от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0:  2.Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
Для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы  и параллельны соотвественно этим прямым, используют формулу:  или в координатной форме  .В частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы  или  .Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=2, AD=4, AA1=3. Точка Е- середина ребра А1В1 . Найдите угол между прямыми ВС1 и АЕ  Решение: Пусть точка В(0;0;0)-начало координат. Тогда С1(0;4;0), А(3;0;0), Е(1,5;0;3). Найдем координаты векторов   и  .По формуле: находим   .3.Нахождение угла между прямой и плоскостью
Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле или в координатах , где - вектор нормали к плоскости α, - направляющий векор прямой l;Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ1С).  Решение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.): ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости. Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0). Решая систему   находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=  , c=-d. Таким образом, уравнение примет вид  или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты  .Найдем координаты вектора  Найдем угол между вектором  и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов: .Ответ: 45˚ 4.Нахождение угла между двумя плоскостями
Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между нормалями к этим плоскостям по формуле  или в координатной форме , где  - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,  - вектор нормали плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.Пример 1. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.  Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений плоскостей:  (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0), F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (A E), используя уравнение А1х+В1у+С1z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений: А  ∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0; А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0; А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0. Получим, что А= - С, В= - 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0. Значит, А1=1, В1= 2, С1= -1 Составим уравнение плоскости (CF ), используя уравнение А2х+В2у+С2z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений: А ∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0; А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0; А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0. Получим, что В = С, А = 2С, D = - 3С. Таким образом, уравнение примет вид: 2х +у +z – 3 = 0. Значит, А2= 2, В2 = 1, С2= 1. По формуле:  .Значит, угол между плоскостями равен 60̊. Ответ: 60̊. 5.Нахождение расстояния от произвольной точки до плоскости. Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку , есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость . Расстояние от точки М до плоскости α вычисляется по формуле  , где М(х0;у0;z0), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0.Пример 1.В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной 2 и высотой, равной 4, найти расстояние от точки А до плоскости (SBC).  Р  ешение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0). Составим уравнение плоскости (SBC), используя координаты точек В(2;2;0), С(0;2;0), S(1;1;4) и решив систему уравнений:a∙2+b∙2+c∙0+d = 0 a∙0 +b∙2 +c∙0+d = 0 a∙1 +b∙1 +c∙4+d = 0. Получим, что d= -2∙ b, a=0, c =  . Таким образом, уравнение плоскости примет вид: 0∙х +4∙у + z - 8 =0. Значит, a=0, b=4, c=1, d=- 8. Точка А, расстояние от которой до плоскости нужно найти, имеет координаты: А(2;0;0). Значит,  =2, = 0,  =0. По формуле нахождения расстояния от точки до плоскости имеем: Ответ:  . |