Республиканская научно – практическая конференция для учащихся 5 – 8 классов «Ломоносовские чтения»
 Скачать 165.09 Kb.
|
| Республиканская научно – практическая конференция для учащихся 5 – 8 классов «Ломоносовские чтения» Секция: математика, информатика Неожиданная математика Сулейманов Ринат Аксубаевский р - н пос.МЮД, МБОУ «Старомокшинская средняя общеобразовательная школа им. В.Ф.Тарасова», 7 класс Научный руководитель: Зайцева Г.Г. Набережные челны 2013 Оглавление 1. Введение - 3 2. Глава 1. Исторические сведения 1.1. Вклад ученых древности в изучение чисел - 4 1.2. Магия чисел - 6 1.3. Фигурные числа - 6 3. Глава II. Прямоугольные и треугольные числа 2.1. Треугольные числа - 9 2.2. Связь между прямоугольными и треугольными числами - 9 2.3. Таблица Пифагора -11 2.4. Треугольник Паскаля - 12 4. Заключение - 13 5. Список использованной литературы - 14 Введение. Знакомство с множествами чисел мы начинаем еще в начальной школе. Первые числа, которые мы узнаем – это натуральные. Прочитав в 5 классе книгу «Число», которую мы получили из заочной физико-математической школы «Авангард», я заинтересовался этой темой. Я никогда не думал, что в числах заложен такой глубокий смысл. Там я узнал, что натуральные числа делятся на группы: простые, составные, дружественные. Позже о фигурных числах я прочитал статью Н.И. Авилова «Квадратные и треугольные числа» в журнале «Математика для школьников». Мое внимание привлекли фигурные числа и я решил узнать о них больше: кто их открыл, какими способами они находятся. Статья заставила меня по-новому взглянуть на математику. Проблема исследования состоит в том, в наших школьных учебниках нет какой-либо информации о фигурных числах, мало учебной литературы в школьной библиотеке, нет предметного кружка. Актуальность исследования вызвана необходимостью исследования формирования математических знаний, начиная с изучения такого емкого понятия как число. Потому, что в бесконечном множестве натуральных чисел есть другие представления натуральных чисел, их взаимосвязь, о которых в современной ситуации полезно знать. Цель работы: расширить свои знания о числе, найти и проверить некоторые способы представления для натуральных чисел. Объект исследования: натуральные числа. Предмет исследования: фигурные числа, связь между этими числами. Задачи исследования:
Методы исследования: работа с учебной литературой; систематизация материала; проведение испытаний построения чисел; сравнительно-сопоставительный анализ фактических данных. Глава I. 1.1. Теория чисел — это ветвь математики, имеющая дело с целыми положительными числами 1, 2, 3, ..., которые также называют натуральными числами. Археология и история учат нас, что человек рано начал считать. Сначала он научился складывать числа, потом, много позже, умножать и вычитать их. Деление чисел было необходимым для распределения на равные части кучи яблок или улова рыбы. Эти действия над числами называются вычислениями. В некоторых случаях последовательность вычислений называют «калькуляцией». Это слово происходит от латинского calculus, означающего «маленький камень», поскольку римляне пользовались морской галькой при вычислениях на своих счётных досках. Как только люди немного научились считать, этот процесс стал приятным времяпровождением для многих людей, склонных к абстрактному теоретизированию. Знания о числах накапливались в течение многих веков, порождая интерес к новым исследованиям, которые в свою очередь приумножали эти накопления. И сейчас, в современной математике, мы имеем величественную конструкцию, известную как теория чисел. Некоторые части этой теории все еще составляют простые игры с числами, а другие относятся к наиболее трудным и сложным разделам математики. Числа – ключ к разгадке всех тайн. Начало нового тысячелетия заставляют задумываться о тысячелетиях минувших. Все люди оглядываются на пройденный путь. По новому осмысливая свою жизнь, жизнь своих предков, ход истории, в том числе и истории науки. Истоки математики находятся в Египте и Вавилонии, но их превращение в полноводный поток проходило в Древней Греции. Поэтому речь о числе я хочу начать с пифагорейской школы, основанной Пифагором в г. Кротоне на юге Италии, хотя начинал он совсем не как учёный, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!. Сначала он занялся музыкой. Ему удалось установить связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще всё на свете можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром!» - провозгласил он однажды. Пифагор долго жил в племени дагонов, которые, как говорят предания, были не только современниками, но и прилежными учениками древних и таинственных атландцев. И вот эти, известные только узкому кругу избранных знания, которые учёный вынес оттуда, до сих пор удивляют нас. Пифагорейская система образования состояла из четырех разделов: Арифметики – учения о числах; Геометрии – учения о фигурах; Музыки – учения о гармонии; Астрономии – учения о строении Вселенной. Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самосского, пытались связать симметрию с числом. Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определенное отношение чисел, которое они называли логосом. Поэтому познание вещей заключалось для них познанием логоса. Пифагорейцы считали музыку, астрономию, арифметику и геометрию математическими дисциплинами и называли одним словом «матема». Вся пифагорейская научная система пронизана учением о числе. Музыку и астрономию они анализировали с помощью числовых закономерностей. Интерес к числам имел у пифагорейцев такой же мистический характер, как и у их предшественников – жрецов Египта и Вавилонии. Но для пифагорейцев характерно то, что одной из основ их религии была математика. Они считали, что бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. Бог, считали они, положил числа в основу мирового порядка. То, что приводит противоположности к единству и соединяет их в космос, есть божественная гармония, которая заключается в числовых отношениях. В числовых отношениях, т.е. в математике, они видели сущность мировой гармонии, ключ к разгадке всех тайн природы. Видя в числах сущность явлений, начало начал, пифагорейцы считали, что реальные тела состоят из «единиц бытия»- математических «атомов». Вселенная мыслилась ими как совокупность чисел. Сами же числа Пифагор и его ученики представляли наглядно. Единицу они читали сущностью всех вещей и «причиной» числа. Единицу называли «границей между числом и частями», то есть между целым числом и его дробной частью, и рассматривали как числовой «атом», из которого образуются все числа. Особое положение единицы как числового «атома» роднило её с точкой, которая считалась геометрическим «атомом». Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Таким образом, пифагорейские числа в современной терминологии − это натуральные числа, они же, согласно пифагорейскому учению, лежат в основе мира. Число два трактовали как уход в неопределённую даль, т.е. как прямую линию, простирающуюся в одном измерении. Число три – как треугольник, образующий плоскость двух измерений. Число четыре трактовалось как пирамида, дающая представление о пространстве трех измерений. Вообще числа 1, 2, 3, 4 играли особую роль и образовывали особую четверку – тетраксис. По преданию, клятва пифагорейцев гласила: «Клянусь именем Тетраксис, ниспосланным нашим душам. В ней источник и корни вечно живущей природы». Особая роль тетраксиса, видимо, была навеяна законами музыкальных созвучий, после чего все объекты природы виделись пифагорейцам состоящими из четверок: четвёрка геометрических элементов – точка, прямая, поверхность, тело; четвёрка физических элементов – земля, вода, огонь, воздух. Сумма чисел, образующих тетраксис, равная десяти: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, считалась священным числом и олицетворяла всю Вселенную. 1.2. Пифагор провозгласил, что числа правят миром. Он с помощью чисел изображал такие понятия, как «совершенство», «дружба», то есть философские понятия, определяющие законы человеческого бытия. Справедливость изображалась числом 4 , так как оно является первым числом, равным произведению двух равных сомножителей: 4 = 2 • 2, поскольку единицу не считали настоящим числом. Четные числа называли женскими, а нечетные - мужскими. Отсюда брачный союз обозначался числом 5 – суммой первых четного (женского) и нечетного (мужского) чисел: 5 = 2 + 3. Совершенство и дружбу Пифагор связывал с числом 6, обладающим замечательным свойством: число 6 равно сумме своих делителей, отличных от самого числа 6: 6 = 1 + 2 + 3. Такие числа, которые можно было представить в виде суммы своих делителей, отличных от самого числа, получили название совершенных чисел. Число 6 – первое из совершенных чисел – очень почиталось в Древней Греции. Самый уважаемый гость на пиру всегда сидел на шестом месте от хозяина. Таинственный смысл придавали числу 28, следующему совершенному числу. В академии поздних пифагорейцев было 28 человек, а заседание они проводили в зале, окруженном 28 колоннами. Совершенным числам придавали божественный смысл и считали, что для спасения души надо изучать совершенные числа. Ещё есть особые числа, каждое из которых равняется сумме делителей другого числа. Такие числа называют дружественными. Примером таких чисел могут служить числа 220 и 284. Вряд ли найдется в современном мире кто-либо, всерьёз связывающий философские понятия дружбы, совершенства и любви с какими-либо числами, хотя магия чисел довольно сильна. Со временем стало ясно, что числа не управляют миром, они только показывают, как управляется мир. Однако нельзя забывать, что с числовых «забав» началось серьёзное изучение чисел. 1.3. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. Большой интерес к фигурным числам проявляли индийские математики. В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1670 г) так называемую «золотую теорему»:
Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году. Надо отметить, что фигурные числа пифагорейцами классифицировались на: 1) линейные числа, представлялись в виде последовательности точек, выстроенных в прямую линию. Это самые простые из фигурных чисел. 2) плоские числа, которые можно разложить на два множителя. 3) телесные числа, выражаемые произведением трёх множителей. Рассмотрим плоские числа, к ним относятся: а) треугольные числа б) квадратные числа в) пятиугольные числа г) многоугольные числа Выкладывая различные правильные многоугольники, мы получаем разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб» Одинаковые круги можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры. Фигурные числа, по мнению пифагорейцев (учеников Пифагора), играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики. При этом пифагорейцы понимали число не просто как набор единиц, а как некие структуры, которые можно изобразить, выкладывая камешками, в форме определенных фигур. Числа − камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур. Арифметика пифагорейцев была поэтому тесно связана с геометрией: они выделяли классы чисел, имеющих одну и ту же форму, а именно: треугольные, квадратные, пятиугольные и так далее. Например, количество кругов, расположенных в виде квадрата, определяет последовательность квадратных чисел.  Вот несколько первых квадратных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 369, 400,… Аналогично количество кругов, расположенных в виде треугольника, определяет последовательность треугольных чисел.  Правило, по которому каждое следующее треугольное число получается из предыдущего: второе число получается из первого прибавлением числа 2, т.е. его номера в таблице; третье число получается из второго прибавлением числа 3, т.е. его номера, и т. д. Продолжая этот процесс, получим ряд чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,… + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10… Можно найти любое треугольное число, не вычисляя предыдущих. Для этого нужно мысленно представить его в виде треугольника с числом рядов, равных номеру треугольного числа. Так, десятое треугольное число изображается в виде равнобедренного треугольника с десятью рядами, в которых содержится точек 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) •5 = 55 . Вот несколько первых треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406,… Понятно, что n – е треугольное число равно сумме n первых натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + …+ n = 1/2 n (n + 1 )  Так изображается треугольное число 120, его точки сгруппированы в «квадраты», а затем посчитаны; 120 = 1 * 8 2 + 2 * 4 2 + 4* 2 2 + 8 * 1 2 = 2 0 * 2 6 + 2 1 * 2 4 + 2 2 * 2 2 + 2 3 * 2 0 = 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 . Соответственно были введены пятиугольные числа: 1,5,12,22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …, которые изображались в виде пятиугольника.  Шестиугольные числа: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, … Двенадцатиугольное число: 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, … Рассматривая телесные числа, не ограничивались рассмотрением параллелепипеда. Из точек складывали пирамиды, кубы, и другие тела. Изучая пирамидальные числа, Пифагор построил треугольно-пирамидальные числа 1, 4, 10, 20, 35, … и четырехугольно-пирамидальные 1, 5, 14, 30, … Также рассматривались и кубические числа:1, 8, 27, 64, …, изображаемые в виде кубов. 2.1. Я подробно остановлюсь на треугольных числах. Числа, которые показывают, сколько кругов содержится в треугольниках, называются треугольными: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … А можно ли продолжить этот ряд чисел, не прибегая к рисунку? Заметим, что каждое следующее треугольное число, начиная со второго, получается, если к предыдущему треугольному числу прибавить его номер: 1+ 2 = 3; 3 + 3 = 6; 6 + 4 = 10; 10 + 5 = 15; 15 + 6 = 21; 21 + 7 = 28 Найдем десятое треугольное число: 28 + 8 = 36; 36 + 9 = 45; 45 + 10 = 55. А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не вычисляя всех предыдущих? Попробуем найти, таким образом, десятое треугольное число 55. Мы же знаем, что 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 Подсчитаем эту сумму иначе: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 _______________________________ (11+ 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11) : 2 = 110 : 2 = 55 Теперь найдем треугольное число с номером 35: 1 + 2 + 3 +…+ 35 = (1 + 35) * 18 = 630 А попробуйте найти треугольное число под номером 100! 2.2. Попробуем найти связь между треугольными и прямоугольными числами. 1.Прямоугольные числа можно представить в виде ряда произведений последовательных чисел: 1 • 2; 2 • 3; 3 • 4; 4 • 5; 5 • 6; 6 • 7; 7 • 8; 8 • 9;…. 2. Треугольные числа имеют вид 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; … 3. Разобьем каждое прямоугольное число на два треугольных: 1 • 2 = 1 + 1; 2 • 3 = 3 + 3; 3 • 4 = 6 + 6; 4 • 5 = 10 + 10; … Исследуя зависимость прямоугольных и треугольных чисел, я сделал следующие выводы: каждое прямоугольное число можно представить в виде двух равных треугольных чисел. Порядок числа соответствует порядковому номеру прямоугольного числа. Каждое прямоугольное число четное. А теперь посмотрим можно ли каждое квадратное число представить в виде треугольного числа или в виде суммы двух квадратных чисел. Запишем несколько первых квадратных чисел, хорошо нам знакомых: 1, 4 , 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196,... Представим треугольные числа в виде геометрических образов и их запись 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; Соотнесем образы этих чисел и их числовые записи. Сравнивая геометрические образы, я попытался из кружков квадратных чисел получать треугольные, но оказалось, что из каждого квадратного числа невозможно получить треугольное. Однако среди квадратных чисел есть треугольные числа, например: 6-е квадратное число - из него получилось 8-е треугольное – это число 36 . Вывод: нельзя из каждого квадратного числа получить треугольное число. Но среди этих чисел есть числа, которые являются одновременно и треугольными, и квадратными: 1, 36. Такие числа называют ещё квадратно-треугольными числами. Среди занимательных математических задач есть такая: «Сколько надо взять монет, чтобы их можно было сложить и в форме квадрата , и в форме треугольника?» То есть требовалось найти число, которое одновременно является и квадратным, и треугольным. В качестве ответа предлагалось число 36 Действительно, это квадратно-треугольное число.  Возникает вопрос: существуют ли другие квадратно-треугольные числа? Я сравнил последовательно записанные квадратные и треугольные числа 1, 4 , 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324,... 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28;36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210.. В первой сотне таких числа два: 1 и 36. Во второй, третьей и четвертой я их не обнаружил. Может быть их нет? Р.Хонсбергерв в своих «Математических изюминках» показал, что квадратно-треугольных чисел бесконечно много. Результаты его вычислений, «жемчужин» натурального ряда, приведены в таблице:  Продолжая исследования, я сумел разбить каждое квадратное число на два треугольных, и оказалось, что треугольные числа являются ещё и последовательными. Сумма двух последовательных треугольных чисел всегда есть квадратное число:  Вывод: каждое квадратное число можно представить в виде суммы двух последовательных треугольных чисел или сумма двух последовательных треугольных чисел всегда есть квадратное число, а чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное. Рассмотрев несколько четных квадратных чисел, я попытался представить их в виде суммы двух последовательных чисел умноженной на четыре. Например: 16 = 4 •(1 + 3), 36 = 4 • (3 + 6), 64 = 4•(6 + 10), 100 = 4 •(10 + 15), 144 = 4• (15 + 21) и т.д. Результат подтвердился. Вывод: каждое четное квадратное число равно учетверенной сумме двух последовательных треугольных чисел. 2.3. Каждому школьнику знакома таблица Пифагора, то есть таблица умножения натуральных чисел от 1 х 1 до 9 х 9 .Не нарушая принципиального построения таблицы Пифагора, ее можно расширить вправо и вниз, соблюдая основное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит.  Можно решить задачу о нахождении суммы всех чисел расширенной таблицы Пифагора, заключенных в квадрат со стороной n. Здесь нас снова ожидает встреча с треугольными и квадратными числами. Оказывается, эта сумма равна  , а это – квадрат n-го треугольного числа. Покажем это.Сумма чисел первой строки равна 1 + 2 + 3 + … + n = 1/2 n (n + 1 ), то есть n-му треугольному числу. Заметим, что сумма чисел второй строки в 2 раза больше, чем сумма чисел первой строки, третьей строки – в 3 раза больше, четвертой – в четыре, и так далее. Поэтому сумма всех чисел таблицы Пифагора будет равна  Вот так красиво можно решать скучную, на первый взгляд, задачу. В свойствах таблицы Пифагора тесно переплетаются треугольные и квадратные числа. Вот еще два свойства:
Вот такие связи между квадратными и треугольными числами существуют в известной каждому человеку со школьных лет таблице Пифагора. 2.4. Числовой треугольник, который здесь изображен  называют треугольником Паскаля. В нем каждое число равно произведению номеров косых взаимно перпендикулярных рядов чисел, на пересечении которых оно находится. Здесь выписаны девять строк этого числового треугольника. Очевидно, что строки можно продолжать выписывать неограниченно. Рассмотрим колонки чисел, расположенных параллельно биссектрисе «числового угла». На самой биссектрисе расположена последовательность квадратных чисел, а параллельно и рядом с ней расположены удвоенные треугольные числа. Во всех «светлых» колонках расположены числовые последовательности, связанные с треугольными числами, а в «темных» колонках – с квадратными числами. Существует пространственный аналог треугольных чисел. Тетраэдральными числами называют числа, показывающие, из скольких шаров можно сложить треугольную пирамиду, подобно тому, как в старину складывали ядра около пушки, и вычислять их можно по формуле 1/6 n (n + 1 ) (n + 2 ). Чтобы вывести эту формулу, нужно заметить, что сумма n первых членов последовательности треугольных чисел равна n-му тетраэдральному числу.  Раскраска этих двух квадратных чисел позволяет отметить следующее:
 Несколько нечетных квадратных чисел я представил в виде восьми одинаковых треугольных чисел и + 1. 9 = 8 • 1 + 1, 25 = 8 • 3 + 1, 49 = 8 • 6 + 1 81 = 8 • 10 + 1 121 = 8 • 15 + 1 и т.д. И получил тоже верный результат. С помощью формул можно доказать очень интересные свойства квадратно-треугольных чисел, а понять их я смогу позже, когда изучу прогрессии. Итак, в ходе исследования я нашел несколько интересных свойств фигурных чисел, показывающих связь прямоугольных и треугольных чисел, квадратных и треугольных чисел. Работая над этой темой, я провел опрос среди учащихся нашей школы: « А знают ли они, в том числе старшеклассники – про фигурные числа?» Результаты опроса представлены на графике. Со своими исследованиями я выступил перед учащимися 6 -7 классов, моё выступление вызвало интерес у учащихся, было много вопросов. Заключение. Выполняя данную работу, я не открыл ничего нового для науки, но я многое открыл для себя. Я узнал много удивительного о числах, познакомился с представлением чисел в виде геометрических образов. Сам попытался составлять фигурные числа и убедился в некоторых свойствах и закономерностях фигурных чисел. Конечно, мои исследования были элементарными, но я наглядно убедился в выдвинутых гипотезах, в найденных свойствах. Я приобрел новые знания, которые мне надеюсь, пригодятся в дальнейшей учебе, в математических конкурсах и олимпиадах. Я думаю, моя работа может быть использована на математическом кружке, как дополнительный материал на уроках математики, для проведения устных журналов. Я хочу в дальнейшем продолжить работу с фигурными числами, так как некоторый материал, который я нашёл в литературе, на данном этапе для меня был сложный, и я решил над ним поработать в следующем году. Мне понравилось самостоятельно добывать новые для меня знания, и я решил и дальше заниматься исследовательской работой. Список литературы 1. Авилов Н.И. Квадратные и треугольные числа. Научно-популярный журнал Математика для школьников, №1.- М.: Школьная Пресса, 2007. 2. Волошинов А.В. Пифагор, - М.: Просвещение, 1993. 3. Левитас Г.Г. Число в окружающем мире. – М.: Авангард, 2004. 3. Молодшин В.Н. Пифагор и зарождение математики. Математика в школе. №3 2001. 4. Смирнова Е.С. Курс наглядной геометрии, - М.: Просвещение, 2002. 5. Щетников А.И. Арифметика по Пифагору, - М.: Открытый мир, 1995. 6. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия, - М.: Мирос, 1992. |