Развернутый конспект открытого урока Тема урока: «Тела вращения. Конус, цилиндр, шар и сфера». Цели урока

1. 
   Обучающая: Изучение свойств геометрических тел в пространстве.
   
2. 
   Развивающие: Развитие пространственных представлений учащихся, способов вычисления геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления.
   
3. 
   Воспитательные: Воспитать сознательное отношение к учебе, усидчивость, аккуратность, эстетическое восприятие.
   

• 
  основные понятия стереометрии и планиметрии;
  
• 
  взаимное расположение плоскостей;
  
• 
  признаки подобия фигур.
  

• 
  изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях задач и выделять известные тела на чертежах и моделях;
  
• 
  решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на полученные теоретические сведения;
  
• 
  вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), применяя изученные в курсах планиметрии и стереометрии формулы и теоремы;
  
• 
  применять аппарат алгебры, начал анализа и тригонометрии в ходе решения геометрических задач.
  

Тела вращения

Примеры тел вращения

• 
  Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.
  
• 
  Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.
  
• 
  Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.
  
• 
  Тор — образован кругом, вращающимся вокруг прямой, не пересекающей его.
  

Цилиндр.

• 
  Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
  
• 
  Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
  
• 
  Высотой цилиндра называется расстояние между его плоскостями.
  
• 
  Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований. Она параллельна образующим.
  
• 
  Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.
  

• 
  Основания цилиндра равны.
  

• 
  У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.
  

• 
  У цилиндра образующие параллельны и равны.
  
• 
  Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
  

1. 
   Что такое цилиндр?
   
2. 
   Что такое высота цилиндра?
   
3. 
   Какой цилиндр называется прямым?
   
4. 
   Осевое сечение цилиндр – квадрат, площадь которого Q. Чему равна площадь основания цилиндра?
   

Конус

1. 
   Чум и яранга у северных народов, вигвам у индейцев Северной Америки имеют форму, близкую к форме конуса.
   

Связанные определения

• 
  Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
  
• 
  Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  
• 
  Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
  
• 
  Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
  
• 
  Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.
  
• 
  Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
  
• 
  Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
  
• 
  Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
  
• 
  Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.
  

Свойства

• 
  Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.
  
• 
  Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, отсекает от него конус, подобный данному.
  
• 
  Площадь полной поверхности конуса равна
  

• 
  Площадь боковой поверхности конуса равна
  

• 
  Объем кругового конуса равен
  

1. 
   Что такое конус?
   
2. 
   Какой конус называется круговым?
   
3. 
   Что такое образующая конуса?
   

Шар и сфера

1. 
   Купол здания может иметь форму части сферы, отсеченной плоскостью.
   
2. 
   Земля имеет форму, близкую к шару.
   
3. 
   Мячи для игры в футбол, теннис имеют форму шара.
   

Связанные определения

1. 
   Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами
   
2. 
   Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности (сферы), называется радиусом.
   
3. 
   Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром.
   
4. 
   Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
   
5. 
   Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
   
6. 
   Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.
   

1. 
   Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
   
2. 
   Любя диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шар является его центром симметрии.
   
3. 
   Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.
   
4. 
   Линия пересечения двух сфер есть окружность.
   

1. 
   Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле
   

1. 
   Что такое шар?
   
2. 
   Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными?
   
3. 
   Что такое большой круг шара?
   

Контрольно – обобщающая таблица

1. 
   цилиндр
   
2. 
   конус
   
3. 
   шар
   

Математический диктант

1. 
   Верно ли, что образующая конуса больше его высоты?
   
2. 
   Может ли площадь боковой поверхности цилиндра равняться площади его осевого сечения?
   
3. 
   Назовите плоскую фигуру, при вращении которой вокруг одной из сторон образуются два равных конуса с общим основанием.
   
4. 
   Верно ли, что среди всех сечений цилиндра, проходящих через его образующую, наибольшую площадь имеет осевое сечение?
   
5. 
   Может ли площадь боковой поверхности конуса равняться площади его основания?
   
6. 
   Верно ли, что любое сечение сферы плоскостью является окружностью?
   
7. 
   Может ли плоскость касаться сферы в двух точках?
   
8. 
   Плоскость удалена от центра сферы радиуса R на расстояние d. Сравните R и d, если сфера и плоскость не имеют общих точек.
   
9. 
   Верно ли, что расстояние между любыми двумя точками сферы не больше ее диаметра?
   
10. 
    Верно ли, что сфера и прямая могут иметь не более двух общих точек?
    

1. 
   да
   
2. 
   нет
   
3. 
   равнобедренный треугольник
   
4. 
   да
   
5. 
   нет
   
6. 
   да
   
7. 
   нет
   
8. 
   d>R
   
9. 
   да
   
10. 
    да
    

Обобщающий опрос

1. 
   Дайте определение цилиндра. Нарисуйте цилиндр, укажите его образующие и осевое сечение.
   
2. 
   Дайте определение конуса, Нарисуйте конус, укажите его образующую и осевое сечение.
   
3. 
   Назовите формулы площадей боковой и полной поверхностей конуса, цилиндра.
   
4. 
   Дайте определение сферы и шара.
   
5. 
   Верно ли, что все точки шара удалены от центра на расстояние, равное радиусу шара?
   
6. 
   Может ли осевое сечение цилиндра быть трапецией?
   
7. 
   Как относятся диаметр d и высота h цилиндра, если осевое сечение цилиндра квадрат?
   

Самоанализ открытого урока

преподавателя математических дисциплин Понарьиной Е.В.

• 
  фронтально повторили вопросы, связанные с понятием основных фигур на плоскости, вычислением значений геометрических величин.
  

• 
  в процессе изучения нового материала происходило многократное закрепление – это проявилось в решении нескольких типичных задач, проведении математического диктанта, заполнении контрольно – обобщающей таблицы, и фронтального опроса по изученной теме;
  

• 
  на этом этапе занятия реализовывалась обучающая цель – изучение свойств геометрических тел в пространстве;
  

• 
  для реализации взаимоконтроля студентов был разработан слайд с вопросами (математический диктант) и для организации самоконтроля предложена контрольно – обобщающая таблица. Кроме того, студенты были разбиты на три группы, каждой из которых было поручено подготовить доклад и презентацию по одной из пространственных фигур, каждому учащемуся было предложено попытаться сделать эти фигуры из подручных материалов или принести предметы, имеющие форму тел вращения.
  

• 
  предлагалось самостоятельно сделать чертеж фигуры по условию задачи;
  

• 
  для наглядного представления использовались фигуры, изображающие реальные предметы из жизни.