Числа простые, числа-близнецы.
Такие ли они «простые», эти простые числа?
Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. Самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число. Число 1 не является ни простым, ни составным числом.
Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? Греческий геометр Евклид написал книгу «Начала», и одним из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.
Евклид рассуждал так: пусть число простых чисел конечно. Тогда перемножим все простые числа и к полученному произведению прибавим единицу. Полученное число при делении на все простые числа будет давать в остатке единицу, следовательно, это число не может быть составным. Значит, оно простое, но оно больше, чем любое из простых чисел, которые мы перемножили. Значит, утверждение о конечности количества простых чисел не верно, следовательно, простых чисел бесконечно много.
Т.к. простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составлять списки, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эратосфен. Это был удивительно разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло в науку именно в связи с придуманным им методом отыскания простых чисел. С «решетом Эратосфена» мы знакомились по учебнику.
Многие математики пытались вывести формулу для отыскания простых чисел. Леонард Эйлер предлагает одну из формул p = n2 - n+41. Для всех значений n от 0 до 40 эта формула верна, но не при n=41.
Итак, простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах.
Среди простых чисел различают числа-близнецы. Это два простых числа, между которыми находится всего одно число, то есть разность этих чисел равна 2. Вот эти числа: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73, …
Есть числа близнецы, а есть числа между которыми стоит миллион составных чисел. Французский математик Ж.Бертран первым высказал утверждение, что между каждым натуральным числом и вдвое большим его числом находится всегда хотя бы одно простое число, но не смог доказать это. Первым доказал это утверждение знаменитый русский математик П.Л.Чебышев.
Ещё одну загадку, неразгаданную до сих пор, предложил в 1742 году российский академик Х.Гольдбах. он заметил, что любое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. А любое нечётное число, большее 5 – как сумму трёх простых чисел. Полностью это утверждение не доказано и не опровергнуто до сих пор. В 1938 году советский академик И.М.Виноградов доказал, что это утверждение выполняется для всех очень больших не чётных чисел.
Совершенные числа.
У простых чисел всего два делителя – само это число и единица. У числа 6 делителями являются числа 1, 2, 3, 6. Если сложить все делители кроме 6, то получим в результате сумму, равную 1+2+3=6.
Есть ли ещё такие числа? Есть. Число 28. Проверим, делители числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Найдём сумму: 1+2+4+7+14=28.
А ещё есть? Есть.
Если есть числа, обладающие каким-либо одним свойством, то они должны как-то называться. Числа, у которых сумма делителей кроме самого числа равна этому же числу, называются совершенными. Люди обратили на них внимание очень давно. Древнеегипетская мера длины локоть содержала 28 пальцев. В Древнем Риме существовал обычай отводить на пирах шестое место самым знатным и почётным гостям. Совершенными числами увлекались пифагорейцы – последователи школы древнегреческого математика Пифагора. Одна из теорем в девятой книге Евклидовых «Начал» посвящена замечательному свойству совершенных чисел, открытому, как полагают, учениками Пифагора: если число 2p-1 – простое, то число 2p-1(2p-1) будет совершенным. Леонард Эйлер доказал, что такой вид имеют все чётные совершенные числа.
В «Арифметике» Никомаха из Геразы (Ι в. н.э.) имеется четвёртое совершенное число: 8128. Никомах писал: «Совершенные числа красивы. Однако красивые вещи редки и малочисленны. Большинство чисел являются избыточными или недостаточными, в то время как совершенных чисел немного. Среди единиц их всего лишь одно, так же среди десятков, сотен и тысяч». Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:
1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?
2) Существует ли нечетное совершенное число?
Редко встречаются совершенные числа. Испытав огромный массив последовательных натуральных чисел, исследователи нашли уже более 30 совершенных: 6, 28, 496, 8128, 33550336…
Пятое совершенное число 212(213-1)=33550336 было найдено немецким математиком Региомонтаном (XV в.), который, между прочим, один из первых использовал в своих трудах знаки «+» и «-».
В XVI в. немецкий учёный Шейбель нашёл ещё два совершенных числа: 8589869056 и 137438691328 (p=17, 19).
Простыми числами вида 2p-1 много занимался французский монах Марен Мерсенн (1588-1648), математик, акустик,теоретик музыки, один из создателей Парижской академии. Он также известен своими переводами трудов древнегреческих математиков. В его честь эти числа были названы числами Мерсенна. В 1644г. Мерсенн нашёл восьмое совершенное число (p=31). Это число, то есть 230 (231-1), выражается квинтиллионами.
Лишь около 250 лет спустя замечательный русский математик-самоучка Иван Михайлович Первушин (1827- 1900) доказал, что число 261 -1 тоже простое, и таким образом было, найдено девятое совершенное число 260 (261 -1).
В 1911- 1914гг. были найдены ещё три совершенных числа (для p=89, 107, 127). Никакие другие совершенные числа, кроме вышеуказанных двенадцати, не были известны до середины нашего века. Начиная с1952г. большие простые числа вида 2p -1 были найдены учёными с помощью электронных счётных машин.
Дружественные числа
Однажды Пифагор (6 век до нашей эры) на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Видимо, какое-то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел.
Вот это свойство: 220=1·2·2·5·11 делится на 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 (если само число исключить из перечня делителей, то остальные делители будут называться собственными), а сумма всех собственных делителей числа 220 равна 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 =284.
В свою очередь, 284=1·2·2·71 делится на 1,2,4,71 и 142 и сумма его собственных делителей равна на 1+2+4+71+142=220! Значит, 220 – это как бы «второе я» числа 284.
В средние века считалось, что талисман с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви. Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел – первой , наименьшей из возможных и единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.
Определение дружественных чисел формулируется так: сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.
Формулу, дающую 3 пары дружественных чисел, открыл около 850 года арабский астроном и математик Табит ибн Кура (826-901г.)
Следующую пару: 17296 и 18416 – открыл марокканский учёный Ибн аль-Банна (около 1300 г). Не зная этого через 300 лет (в 1636 г) эту же пару открыл Пьер Ферма.
Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар!
Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел ещё одной парой, был наш великий соотечественник П.Л. Чебышев (в 1851 г). Поразительное открытие в 1887 г. сделал 16- летний итальянец Б.Паганини, обнаружив вторую по величине пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все проглядели.
Но превзойти Эйлера по количеству пар никому из математиков не удавалось вплоть до последних десятилетий нашего времени. Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле (62 новые пары к 1948 г). Наконец, самой рекордной добычи достиг американец Элвин Дж. Ли – 300 пар за 1968-1972 годы! Для вычислений он пользовался ЭВМ.
На ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественных чисел. Все они состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. Есть ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа.
Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000.
220 и 284 (Пифагор, около 500 г. до н. э.)
1184 и 1210 (Паганини, 1860 г.)
2620 и 2924 (Эйлер, 1747 г.)
5020 и 5564 (Эйлер, 1747 г.)
6232 и 6368 (Эйлер, 1750 г.)
10744 и 10856 (Эйлер, 1747 г.)
12285 и 14595 (Браун, 1939 г.)
17296 и 18416 (аль-Банна, около 1300 г., Фариси, около 1300 г., Ферма, 1636 г.)
63020 и 76084 (Эйлер, 1747 г.)
66928 и 66992 (Эйлер, 1750 г.)
67095 и 71145 (Эйлер, 1747 г.)
69615 и 87663 (Эйлер, 1747 г.)
79750 и 88730 (Вольф ,1964 г.)
Палиндромы и репьюниты
Число, одинаково читаемое слева направо и справа налево называется палиндромом.
Например, 121, 5995, 12321 и т. д.
Является ли десятичное число палиндромом, человек может заметить сразу.
Но было бы интересно знать, является ли конкретное число палиндромом в какой-нибудь другой системе счисления.
Например, число 45 является палиндромом в двоичной (1011012) и в восьмеричной (558) системах обнаруживаются гораздо реже, нежели сами простые числа.
Репьюниты – это натуральные числа, запись которых состоит только из единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются короче: Rn. Например: R1=1, R2=11, R3=111, R4=1111…
«Фамилия» этого семейства – Repunit – образована слиянием английских слов: repeated unit (повторенная единица). Обнаружено немало интересных свойств репьюнитов. Например, в семействе репьюнитов выявлено пока только 5 простых чисел: R2, R19, R23, R317 и R1031.
Интересна табличка простых делителей составных репьюнитов:
111=3∙ 37;
1111=11∙101;
11111=41∙271;
111111=3∙7∙ 11∙13∙37;
1111111=239∙ 4649 и т. д.
В результате умножения репьюнитов получается палиндромическое число:
11∙11=121;
11∙111=1221;
1111∙11=12221;
1112=12321;
Автоморфные числа.
Автоморфным называется такое число, которое равно последним цифрам своего квадрата.
Например: 52= 5·5=25; 252= 25·25=625; 6252= 625·625=390625; 93762= 9376·9376=87909376.
Числа Фибоначчи
В 1202 г итальянский математик Леонард Пизанский (ок. 1170 - 1228г.), известный под именем Фибоначчи, предложил такую задачу: «Пара кроликов каждый месяц дает приплод - двух кроликов (самца и самку), от которых через два месяца уже получается новый приплод. Сколько кроликов будет через год , если в начале года мы имели одну пару молодых кроликов?»
Обратим внимание на то, что числа, соответствующие количеству кроликов, которые имеются через каждый месяц, составляют последовательность .
1, 1, 2, 3. 5. 8, 13, 21. 34...
Каждый из членов этой последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов.
Эта последовательность называется рядом Фибоначчи, а ее члены – числами Фибоначчи.
Числа Фибоначчи имеют много интересных свойств. С ними, например, связано так называемое золотое сечение.
Мнения о первых числах Фибоначчи разделились. Одни математики начинают ряд числами 1,1; другие - числами 1,2; третьи - 0,1.
Однако при решении задач это не имеет существенного значения.
Пифагоровы числа
Сумма квадратов длин катетов а и b прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы с: a2+b2=c2
Тройка натуральных чисел, удовлетворяющих этому равенству, называется Пифагоровыми числами.
Например: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Тройка Пифагоровых чисел, не имеющих общих делителей, называется основной.
Умножив каждое число основной тройки на какое-нибудь натуральное число, снова получим тройку Пифагоровых чисел, называемую производной тройкой.
Учебник: № 942 (длительность нот).
|
Золотое сечение
Виктор ЛАВРУС
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Золотое сечение – гармоническая пропорция
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
a : b = b : c или с : b = b : а.
Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнеием:
x2 – x – 1 = 0.
Решение этого уравнения:
Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
Второе золотое сечение
Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.
Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.
Рис. 3. Построение второго золотого сечения
|
|
Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.
|
Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения
На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.
Золотой треугольник
Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.
Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
|
Рис. 6. Построение золотого
треугольника
|
|
Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
|
История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.
Рис. 7. Динамические прямоугольники
Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов
|
Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции
|
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».
Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека
|
Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека
|
|
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
|
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.
В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.
Ряд Фибоначчи
С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
Месяцы
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
и т.д.
|
Пары кроликов
|
0
|
1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|
34
|
55
|
89
|
144
|
и т.д.
|
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...
Обобщенное золотое сечение
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.
Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.
Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.
Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?
Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS (n), то получим общую формулу φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1).
Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.
В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.
Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.
Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.
Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.
С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.
Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.
Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.
В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.
Принципы формообразования в природе
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.
Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.
Рис. 12. Спираль Архимеда
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».
Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Рис. 13. Цикорий
Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
Рис. 14. Ящерица живородящая
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.
Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
Рис. 15. Яйцо птицы
Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.
Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.
Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Золотое сечение и симметрия
Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.
Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.
|
|
Скачать 0.67 Mb.