Протокол №1 от 23 августа 2013 г. «Согласовано» Заместитель директора по ур /Саттарова Х. Ш
 Скачать 0.67 Mb.
|
| Литература, используемая при подготовке программы.
Приложения к данному курсу 2)Магические квадраты. Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3 × Таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, также по диагоналям были одинаковы и равны 15 (рис.6).полученный квадрат, также другие квадраты с теми же свойствами, магическими квадратами. Известно что, составлением магических квадратов увлекались в Древнем Китае несколько тысяч лет назад. Магического квадрата размером 2× 2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3×3 изображённый на рисунке 6. внешне отличные от него варианта квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии рассмотренного квадрата (их квадрата 4, см.рис.7), либо поворотом на 90о вокруг центра квадрата (на рисунке 8–это точка О). Задача 2. составить магический квадрат, полученный из квадрата, изображённого на рисунке 6: 1)зеркальным отражением клеток от горизонтальной оси симетр квадрата; 2)поворотом клеток на 90о вокруг его центра против часовой стрелки. 6 1 8 7 5 3 2 9 4 (А) рис.6 Рис.7 рис.8 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 9 4 7 5 3 6 1 8 6 1 8 7 3 2 9 4 Рис.9 рис.10 8 3 4 1 9 6 7 2 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 1)На рисунке 9 показано, как из магического квадрата получается новый магический квадрат (после зеркального отражения числа в клетке записаны в привычном для прочтения виде ). Рис.11 2)На рисунке 10 показано получение нового магического квадрата поворотом на 90 против часовой стрелки клеток данного квадрата вокруг его центра ( после этого числа в клетках записаны в привычном для прочтения виде ).С увеличением количества клеток растет число возможных магических квадратов. Например, число всевозможных магических квадратов размером ( с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговоренным правилам ) уже 880 число магических квадратов 5х5 более 200000. Пример магического квадрата размером 4х4 приведен на рис.11 3.Латинские квадраты Латинскими квадратами называют квадраты размером н. х. н. клеток. 1 2 3 2 3 1 3 1 2 На рисунке 12 изображен латинский квадрат 3 х. 3 , а на Рисунке 13 , а изображены два латинских квадрата которые имеют особенность : если один наложить на другой ( например , второй квадрат сделать из прозрачной бумаги и наложить на первый ) то все на образовавшихся двузначных чисел ( рис.13,б) различными. Такие пары латинских квадрат называют ортогональными. Задача .Составить латинский квадрат ортогональный квадрату, изображенному на рисунке 12. Решение: Запишем числа изображенного на рис.12 квадрата в левой половине клеток ( рис.14,а ) Допишем справа от них такие цифры что в клетках образовались всевозможные двузначные числа, составленные из цифр 1,2, и 3. Будем следить за тем , чтобы вторые цифры чисел в строках и столбцах не повторялись. Затем образуем квадрат из вторых цифр, полученных в клетках чисел В китайской древней книге « Же – Ким « ( « Книга перестановок « ) приводится легенда о том , что император Ню , живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков ( Если заменить каждую фигуру числом , показывающим, сколько в ней кружков , получится такая таблица : 4+3-/-8 =15. Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого , тот же ответ 15 получается , если сложить числа каждой из двух диагоналей : 4 - )-5 +6=8+5+2 =15. Наверное , эту легенду китайцы придумали , когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством . Рисунок они назвали « ло – шу « и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу , составленную из чисел и обладающую таким свойством , называют магическим квадратом. l ll 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 1 1 2 2 3 3 4 4 2 3 1 4 4 1 3 2 3 4 4 3 1 2 2 1 4 2 3 1 2 4 1 3 а) б) рис.13 1 1 2 2 3 3 2 3 3 1 1 2 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1 2 2 3 1 а) Рис.14 Каким же образом составляют магические квадраты? магический квадрат «ло-шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880).Будем рассуждать так, сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.значит,в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться 45: 3 = 15.Но если просуммировать все числа во вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центрального, которое войдёт четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х., то должно выполняться равенство 4-15=3х+3-15.отсюда х=5,то есть в центре таблицы должно стоять число 5. Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1 , а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация – числа 4 и 2. Значит , 9 стоит в середине каких – то крайних строк или столбцов ( у нас - в середине первой строки ). Двумя другими числами этой строки являются 4 и 2 , а третьим числом среднего столбца должно быть 15 – 9 – 5 = 1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. Тем самым магический квадрат почти заполнен и легко наживи место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат « ло – шу « . Конечно, для 9 можно выбрать другие 3 места , а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. Всего получается 4 – 2 = 8 различных магических квадратов из трех строк, и трех столбцов ( иди , как говорят математики, квадратов третьего порядка ) . Несложно написать и магический квадрат четвертого порядка: для этого запишем числа от 1 до 16 в квадрат по порядку. А теперь поменяем местами числа , стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика. Фигурные числа. Изучая явление природы и окружающей жизни, люди везде находили предметы для счета. Число возникло с появлением у человека потребности практической деятельности. Числовые представления (как и наша речь ) неразрывно связаны с существованием самого человека, так как на всех ступенях своей истории он был связан с процессом счета окружающих предметов и проведением каких-то измерений. «Число - это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными». «Все есть число». Вот такие положения проповедовал древнегреческий математик Пифагор. Различные числа натурального ряда, которые постигали в результате счета, породили у человека много числовых суеверий и мистических представлений, были для него таинственными, наделялись сверхъестественными свойствами и считались священными. В древности необходим был счёт – счёт предметов, изготовленной какой-либо продукции, скота и т.д. При счёте, разумеется, использовался какой-либо подсобный материал, например, камешки. А камешки разложить можно по-разному: можно в ряд, можно в два ряда, тогда получаются прямоугольники и количество камешков – чётное (см.рис.), можно в три ряда, и в четыре. Такие числа называются прямоугольными. Можно выложить камни в три ряда, а можно сложить треугольник из трёх камней. Добавив ещё три камня (см.рис.), увеличим размеры треугольника. Если к получившемуся треугольнику приложить четыре камня, то опять получим треугольник, но уже большего размера. Если каждый раз прикладывать к нижнему ряду, увеличивая на 1, камни, то получим последовательность следующих чисел (количество камней в каждом треугольнике): 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, … Числа 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, … называются треугольными. Можно из камешек составлять и квадраты (см.рис). Числа, которые определяют количество камней в каждом квадрате, называются четырёхугольными или квадратными: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
Про числа – 1=1·1=12, 4=2·2=22, 9=3·3=32, 16=4·4=42, 25= 5·5=52 и т.д. – говорят «один в квадрате», «два в квадрате», «три в квадрате» и т.д. Посмотрите на следующую картинку (см.рис.). чтобы из квадрата 3 на 3 сделать квадрат 4 на 4, нужно добавить три камешка снизу, ещё три сбоку и один в уголке: 4·4=3·3+3+3+1=3·3+3+4.
Аналогично можно записать 5·5=4·4+4+5. Итак ,если мы знаем, что 102=100, то можно легко найти 11 в квадрате: 112= 100+10+11. Можно пойти дальше и составить пятиугольники. Первый пятиугольник состоит из одного камешка, во втором пятиугольнике 5 камней, в третьем – 12, в четвёртом – 22 … Посмотрите внимательно на следующий рисунок. Во втором пятиугольнике два камня снизу и ещё три раза по одному; в третьем – 3 камня снизу и ещё три треугольника – три вторых по счёту треугольных числа. А в четвёртом – 4 камня снизу и три третьих по счёту треугольных числа. Получается правило, по которому можно найти пятое число: 5+3·10=35. Можно рассмотреть таким образом и шестиугольные, и семиугольные числа. Камешки заменим кубиками, и рассмотрим так называемые кубические числа. Если выложить один «этаж» из кубиков в виде квадрата, а затем наложить столько «этажей», сколько кубиков расположено на одной стороне квадрата, то получим большой куб (см.рис.). Количество кубиков в кубах равны 1=1·1·1=13, 8=2·2·2=23, 3=3·3·3=33, 64=4·4·4=43, 125=5·5·5=53 и т.д. Вот почему про число 8 говорят «два в кубе», про число 125 – «пять в кубе» и так далее. Возникает вопрос: а почему нет названия у чисел 16=2·2·2·2, 81=3·3·3·3, 256=4·4·4·4 и так далее. Очень просто: мы живём в мире трёх измерений (длина, ширина, высота). Квадрат – это фигура с одинаковой длиной и шириной, куб – фигура с одинаковой длиной, шириной и высотой. Но нет такой фигуры, где возможны четыре измерения. И прямоугольные, и треугольные, и квадратные, и пятиугольные, и кубические числа называются фигурными. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||