Саттарова Х. Ш

Название	Протокол №1 от 23 августа 2013 г. «Согласовано» Заместитель директора по ур /Саттарова Х. Ш
страница	6/6
Дата	05.04.2016
Размер	0.67 Mb.
Тип	Протокол

1 2 3 4 5 6

Тема 6. Правильные паркеты

Определение. Правильным паркетом (мозаикой, архимедовым разбиением) называется разбиение плоскости на правильные многоугольники, такое что многоугольники примыкают друг к другу только по целой стороне и все вершины («звёзды») паркета устроены одинаково, т. е. к каждой вершине сходятся одни и те же многоугольники в одном и том же порядке.

Существует (с точностью до подобия) ровно 11 различных правильных паркетов:

Рис. 3

В каждом из этих замощений любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющие этому требованию, называют паркетами.

Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов многоугольника. Если паркет составлен из n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться k = 360°/ _n многоугольников, где _n — угол правильного n-угольника. Легко найти, что ₃= 60°, ₄ = 90°, ₅ = 108°, ₆ = 120° и 120° < _n < 180° при п > 7. Поэтому 360° делится нацело на _n только при п = 3; 4; 6.

Паркеты из правильных многоугольников сами правильные в том смысле, что они «одинаково устроены» относительно всех своих вершин и всех составляющих паркеты кусочков-многоугольников. (Эти кусочки называются гранями замощения или просто плитками.) Другими словами, для любых двух вершин правильного паркета можно указать такое его самосовмещение, при котором одна из вершин попадает на другую. То же верно для любых двух плиток паркета.

Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь, изображённых на рис 3.

Рис. 4

Рассматривают и другое обощение — паркеты из копий произвольного многоугольника, правильные «по граням» (т. е. допускающие самосовмещения, которые переводят любую заданную плитку в любую другую). Число таких паркетов — 46, включая и первые три. Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами. Ясно, что плоскость можно уложить копиями произвольного треугольника, но менее очевидно, что произвольный четырёхугольник — планигон (рис. 4, а). То же верно и для любого шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны (рис. 4, б).

Рис. 5

Ещё пять примеров показаны на рис. 5.

Все рассмотренные выше паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить (и даже многими способами) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет. Интерес учёных к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры. Существуют и непериодические замощения, например очень красивое спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936 г. немецким математиком X. Фодербергом (рис. 6). Впрочем, объединив эти плитки попарно в центрально-симметричные восьмиугольники, можно замостить ими плоскость и периодически.

Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость только непериодически. Однако в середине 60-х гг. XX в. эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками.

Рис. 6

Рис. 7

Но при их выкладывании необходимо соблюдать некоторые простые правила сочетания фигурок (вместо этого на краях фигурок делают специальные зазубрины, их совпадение обеспечивает соблюдение правил). Форма фигурок может быть различной, но все они связаны с правильным пятиугольником. Один из примеров подобной пары плиток — так называемые треугольники Робинсона. Другой пример — ромбы с острыми углами 72 и 36°. Участок одного из бесконечного множества образуемых ими паркетов показан на рис. 7. Как и все другие мозаики Пенроуза, этот паркет квазипериодический (от лат. quasi — «почти»), т. е. любая его конечная часть повторяется в нём бесконечно много раз. Но самое интересное заключается в том, что вскоре — уже через несколько лет после открытия квазипериодических замощений, вначале казавшихся не более чем игрой ума, — были получены вещества с квазипериодической структурой.

Удивительное число π.

1. Удивительное число . Используется в математике и в повседневной жизни.

2. Число . Что это? Число - математическая константа.

Число - это число, которое равно отношению длины окружности к ее диаметру.

3. С чего начиналось? Открыватели числа p люди, которые заметили, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в 3 раза длиннее его.

4. История числа. История числа начинается с египетского папируса 2000 г. до нашей эры.

5. Обозначение числа . Обозначение числа "пи" происходит от греческого слова perijerio "периферия", что означает "окружность". Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик Уильям Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер.

6. Вавилон и число . Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами. Вавилоняне пользовались лишь грубым приближением, определив p числом "3".Число p использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако недостаточно точное исчисление значения p привело к краху всего проекта.

7. Архимедово число .

"Двадцать две совы скучали
На больших сухих суках.
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах"

Идею заменить длину окружности периметром описанного (вписанного) многоугольника применил Архимед (III век до н.э.). Начав с 6-угольника, перешел к 12-угольнику, затем к 24-угольнику, и так далее - до 96-угольника. Хорошее приближение оказалось дает число 22/7 3,14286

8. Число и квадратура круга. Изучение числа p совпало с поиском решения задачи о построении квадрата, равновеликого окружности. В конце XVIII в. немецким математиком Ламбертом и французским математиком Лежандром было доказано, что число p является иррациональным, а профессор Фердинанд фон Лидеман в 1882 г. доказал трансцендентность числа . На этом закончился поиск решения задачи о квадратуре круга, который продолжался более трёх тысяч лет.

9. Греция и число . 22/7 3,1428 Архимед доказал, что число "пи" одинаково для любого круга. Математический метод Архимеда подводил к познанию геометрической формы, к которой предметы более или менее приближаются, и законы которой необходимо знать, если мы хотим воздействовать на материальный мир. В Древней Греции появилась архитектура, а где архитектура - там и расчеты.

10. Египет и число . 49/16 3,1604 Великая Пирамида является фантастическим шедевром инженерного искусства не только благодаря своим гигантским размерам. Основание Пирамиды, покоящееся на гранитной поверхности, представляет собой почти идеальный квадрат (максимальное отклонение 3 минуты 33 секунды) со сторонами около 230 метров.

11. Китай и число . 355/113 3,14159 Высокого расцвета достигла в Китае вычислительная техника, основанная на приближенных вычислениях. Примером служит вычисление отношения длины окружности к ее диаметру китайским математиком Цзу Чун-чжи (430-501), который для получил приближение 355/113, дающее 7 верных значащих цифр, и показал, что число лежит в пределах: 3,1415296 < < 3,1415297.

12. Индия и число . 377/ 120 3,162 Арьябхатта (родился 476 г.н.э.) нашел точное значение 3,1416 или 62832/20000. Число 377/120 вычислил Будхайян. Он в 6 веке дал варианты действий того, что известно как Теорема Пифагора. Число 3927/1250 вычислил Бхаскара (родился в 1114 г.н.э.) вычислил число .

13. Россия и число . У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле, в электротехнике.

Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие. В учебнике Л.Ф.Магницкого "Арифметика" оно написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак.

Кто и шутя, и скоро пожелаетъ
"Пи" узнать число - ужъ знаетъ.

14. Тысячелетняя погоня.

На протяжении всей истории изучения числа , вплоть до наших дней, велась своеобразная погоня за десятичными знаками этого числа. Леонардо Фибоначчи (около 1220г.) определил три первых точных знака числа .

15. Погоня за знаками

1) Андриан Антонис - 6 точных десятичных знаков (в XVI в.);

2) Цзу Чун-чжи (Китай) - 7 десятичных знаков (V в.н.э.);

3) Франсуа Виет - 9 десятичных знаков;

4) Андриан ван Ромен - 15 десятичных знаков (1593г.);

5) аль-Каши - 17 знаков после запятой (XV в.)

6) Лудольф ван Келён - 20 десятичных знаков;

7) Лудольф ван Цейлену - 32 десятичных знаков (1596г.). В его честь число Пи было названо современниками "Лудольфово число".

8) Авраам Шарп - 72 десятичных знаков

9) З. Дазе - 200 десятичных знаков (1844г.)

10) Т. Клаузен - 248 десятичных знаков (1847г.)

11) Рихтер - 330 знаков, З. Дазе - 440 знаков и У.Шенкс - 513 знаков (1853г.)

16. 39 знаков после запятой числа

= 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306

17. Поэзия цифр числа

Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени.

= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Здесь каждый может найти № своего телефона, дату своего рождения или домашний адрес.

18. Компьютер и число

1949 год - 2037 десятичных знаков
1958 год - 10000 десятичных знаков
1961 год - 100000 десятичных знаков
1973 год - 10000000 десятичных знаков
1986 год - 29360000 десятичных знаков
1987 год - 134217000 десятичных знаков
1989 год - 1011196691 десятичный знак
1991 год - 2260000000 десятичных знаков
1994 год - 4044000000 десятичных знаков
1995 год - 4294967286 десятичных знаков
1997 год - 51539600000 десятичных знаков
1999 год - 206158430000 десятичных знаков.

Суперкомпьютер в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минуту 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и 46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений.

19. Шутка

Ученые нашли последнее число в записи - им оказалось число е, почти попали.

20. Как родился день рождения числа . ( 3.14 или 22.7 - день приближенного значения)

20 лет назад в музее Эксплораториуме (Сан-Франциско) устроили Праздник числа p

Эта дата совпала с днем рождения Альберта Эйнштейна - выдающегося ученого ХХ столетия.

21. День рождения числа . Главная церемония проходит в музее. Кульминация приходится на 1 час 59 минут 26 секунд после полудня. Участники праздника маршируют вдоль стен круглого зала, распевая песни о числе, а потом едят круглые пи-роги и пи-ццу, пьют на-пи-тки и играют в игры, которые начинаются на Пи-. В центре зала размещают латунную тарелку, на которой выгравировано число p с первыми 100 знаками после запятой.

22. Праздник числа . В честь него непременно следует приготовить какую-то вкусную ПИщу и даже выПИть - в общем, устроить ПИр. Итальянцы, наверное, в этот день готовят ПИццу, англичане - жареную ПИкшу, немцы ставят на стол свиной шПИк, французы непременно готовят что-нибудь ПИкантное. В России же пекут ПИроги.

23. Музей искусств в Сиэтле. Металлическая скульптура числа установлена на ступенях перед зданием в начале пешеходной зоны.

24.Самое полезное и самое неуловимое число. В книге "Fractals for the Classroom" говорится: "Число p захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире".

Некоторые даже считают его одним из пяти важнейших чисел в математике.

25. Великие о числе .

Вычисление точного значения p во все века неизменно оказывалось тем блуждающим огоньком, который увлек за собой сотни, если не тысячи, несчастных математиков, затративших бесценные годы в тщетной надежде решить задачу, не поддававшуюся усилиям предшественников, и тем снискать себе бессмертие. Кэрролл Л. (Додгсон)

Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число : оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине. Кымпан Ф.

26. Запоминание числа . "Что я знаю о кругах" (= 3,1416).

"Это я знаю и помню прекрасно - "Пи" многие знаки мне лишни, напрасны" (3,14159265358)

"Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу, примечать" (=3,14159265358).

27. Число и иностранные языки. Английский стишок (двадцать знаков после запятой -3,14159265358979323846): PIE

I wish I could determine pi
Eureka cried the great inventor
Christmas pudding
Christmas pie
Is the problem's very center.

Английский стишок (двенадцать знаков после запятой - 3.141592653589):

See I have a rhyme assisting
My feeble brain, its tasks offtimes resisting.

Французский вариант (3.141592653589793238462643383279):

    Que j\'aime faire apprendre un nombre utile aux sages!
    Immortel Archim\'ede, sublime ing\`enieur,
    Qui de ton jugement peut sonder la valeur?
    Pour moi ton probl\'eme eut de pareils avantages.

28. Как легко запомнить число . С. Бобров "Волшебный двурог"

Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь,
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться,
И запомнить все как есть
Три - четырнадцать -
пятнадцать - девяносто два и шесть!

29. Стихотворение с присутствием Пи из Алисы в переводе Б. Заходера

Математик и Козлик
Делили пирог.
Козлик скромно сказал:
- Раздели его вдоль!
- Тривиально! - сказал Математик.
- Позволь, Я уж лучше Его разделю поперек!
- Первым он ухватил
Первый кус пирога.
Но не плачьте,
Был тут же наказан порок:
"Пи" досталось ему
(А какой в этом прок?!)
А Козленку... Козленку достались Рога!

30. Число - школьнику. Алгебра: - иррациональное и трансцендентное число. Тригонометрия: - радианное измерение углов. Планиметрия: - длина окружности и её дуги; - площадь круга и его частей. Стереометрия: - объем шара и частей; - объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; - площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы. Физика: - теория относительности; - квантовая механика; - ядерная физика. Теория вероятностей: - формула Стирлинга для вычисления факториала

31. Применение числа . Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона. В науке найдено соотношение, связывающее важнейшие константы: постоянную тонкой структуры (?), число пи () и золотое отношение (Ф), вытекающее из чисел Фибоначчи:

Астрономия. Космонавтика. Архитектура. Строительство. Машиностроение. Навигация. Кораблевождение. Физика. Электроника. Электротехника. Информационные технологии. Теория вероятностей.

32. Число p и "золотое сечение". Золотая пропорция - деление отрезка на две неравные части так, что длина большей части (а) превышает длину меньшей части (в) ровно во столько раз, во сколько раз весь отрезок превышает длину большей части.

= Число Фидия Ф =

Отношение размаха рук человека к его росту равно = 1,03:

33. Число p в картинках.

34."" пишем - "Пи" в уме.

1) 100лет - юбилей известной константы.

2) астры - осенние цветы.

3) жон - количество жен у него равно числу .

4) рог - волшебный зверь, приравненный к 3,14 единорогам.

5) тон - разновидность тритона.

6) Утанный - осведомленный о

35. - шарады. Какие слова здесь зашифрованы? 1. р. 2. Л _. 3. ( к). 4. 5. ( р т)

Ответы:

1. Пир. 2. Надпил. 3. Писк. 4. Пиво. 5. Спирт.

36. Книги о числе . Английский математик Август де Морган назвал как-то "Пи" ":загадочным числом 3,14159:, которое лезет в дверь, в окно и через крышу".

А.В. Жуков "Вездесущее число ", "О числе ". Ф. Кымпан "История числа "

37. Заключение. Число можно вычислять бесконечно, и у него бесконечно много знаков. В настоящее время значение числа известно с точностью до 500 миллиардов знаков.

Двоичная СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Прочитайте шуточное стихотворение А.Н.Старикова «Необыкновенная девочка»:

Ей было тысяча сто лет,

Она в сто первый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила-

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно…

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

Разгадать загадку поэта нам поможет следующее наблюдение. Выпишим упомянутые в стихотворении числа: 1, 10, 100, 101, 1100. Легко заметить, что все они записываются с помощью лишь двух цифр: 0 и 1. Может быть, здесь зашифровано разложение чисел по степеням двойки? Проверим.«Ей было 1100 лет»: 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 2⁰ = 12. Значит, ей было 12 лет.

«Она в 101-й класс ходила»: 1 · 2² + 0 · 2¹ + + 1 · 2⁰ = 5. Значит, она ходила в 5-й класс. И так далее. Действительно, получается совсем обычная картина. А помогла нам двоичная система счисления.

Итак, позиционная система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа 2, называется двоичной позиционной системой счисления. Чтобы различить числа, записанные в разных системах счисления, их заключают в скобки, а внизу справа указывают основные системы счисления. Например, запись 1100₂ означает то же самое число, что и запись 12₁₀. Поскольку все мы пользуемся десятичной системой счисления, то десятичное основание обычно не указывается : 1100₂ = 12.

Чтобы понять стихотворение о необыкновенной девочке, пришлось перевести числа из двоичной системы в десятичную.
Не отрывая карандаша. Попробуйте, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии, вычертить фигуры, расположенные на рисунках.

Учебник: № 512, 585.

Геометрические тела.

Многогранники.

Учебник: № 535, 558, 721, 771,834, 991.

Тела вращения.

Учебник: № 916,962, 1054,1105, 1009, 1038.

Графы.

Учебник: № 1220, 1249,1303.
Старинные задачи на уравнение.

Учебник: № 1340, 1363.
Задачи по комбинаторике.

Учебник: № 23, 24, 53, 80, 81, 137, 160, 194, 232, 262, 293, 355, 410, 462, 517,915, 350.
Признаки делимости.

Учебник: № 48, 49, 74, 75, 76, 77, 78, 144, 189.

Элективный курс по математике. 6 класс. «За границами учебника математики»

1 2 3 4 5 6