Простые числа
 Скачать 41.16 Kb.
|
| И.А. Лаздин, С.В. Суркин ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Научный руководитель: С.В. Суркин Муниципальное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 16 имени Н.Ф. Семизорова [email protected] К понятию простых чисел приводят уже самые простые задачи, которые возникают в связи с таким элементарным арифметическим действием, как умножение натуральных, т.е. целых положительных чисел. Основная цель работы: исследовать простые числа. Данная тема представляет определённый интерес, т.к. известно, что простые числа играют важную роль в теории чисел и алгебре. Простыми числами называются натуральные числа, которые имеют только два делителя: единицу и само число, т.е. делится только на единицу и само на себя. Например, 2, 3, 5, 39, 41, 73, 97 – простые числа. Среди простых чисел только одно чётное – 2, все остальные нечётные. Множество простых чисел бесконечно велико. Начинаясь числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…… , ряд их простирается без конца. Доказательство бесконечности принадлежит древнегреческому математику Евклиду и входит в его знаменитые «Начала» [1, с.9-14]. 168 мест первой тысячи натуральных чисел занимают простые числа. Из них 16 чисел – палиндромические – каждое равно обращённому 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929. Некоторые простые числа находят симметричное себе простое число: 4 пары двузначных 13 – 31, 17 – 71, 37 – 73, 79 – 97; 14 пар трёхзначных чисел 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941, 157 – 751, 167 – 761, 179 – 971, 199 – 991, 337– 733, 347 – 743, 359 – 953, 389 – 983, 709 – 907, 739 – 937, 769 – 967 [2, с. 49-51]. Теперь постараемся ответить на ряд интересующих нас вопросов, и показать применение простых чисел к решению некоторых задач.
Ответ на этот вопрос прост. Да, может, но при условии, что одно из этих чисел будет равно 2, иначе мы получим сумму двух нечётных чисел, которая в результате будет чётным числом, следовательно, делится на 2 и не является простым.
2+3=5, 3+4=7, 5+6=11, 6+7=13, 8+9=17; 5, 7, 11, 13, 17 – простые числа; Попробуем показать это в общем виде: Пусть n и n+1 два последовательных натуральных числа, значит одно из них чётное и делится на 2. Тогда их сумма будет равна n+n+1 = 2n+1. Если n>2 и n – чётное, то после сокращения n на 2 получится число, большее одного. Тогда данная сумма будет равна произведению двух чисел, больших 1 и меньших её самой (одно из них – это (n+1), другое то, что получилось после сокращения n на 2). Значит, эта сумма не может быть простым числом, так как имеет делители, отличные от 1 и самой себя. Аналогично рассматривается случай, когда n>2 и n – нечётное. (В этом случае, (n+1) – чётное и большее 2.) Остались два возможных случая: n=1 и n=2. Если n=1, то сумма будет равна 2n+1 = 2∙1+1 = 3 – простое число. Если n=2, то 2n+1= 2∙2+1=5 – тоже простое число. Ответ. На основании этого можно сказать, что сумма двух последовательных натуральных чисел может оказаться простым числом.
Проведём рассуждения в общем виде: Пусть n, n+1и n+2 – три последовательных натуральных числа, тогда их сумма равна n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1), т.е. всегда делится на 3, следовательно, составное число. Ответ. Нет, не может, т.к. полученная сумма является составным числом.
Пусть n, n+1и n+2 и n+3 – четыре последовательных натуральных числа, тогда их сумма равна n+(n+1)+(n+2)+( n+3) = 4n+6 = 2(2n+3), т.е. всегда делится на 2, следовательно, составное число. Ответ. Нет, не может, т.к. полученная сумма является составным числом.
Разложим число n, где n – составное число и 16≤ n <31 на простые множители: 16=2∙2∙2∙2=24, 18=2∙3∙3=2∙32, 20=2∙2∙5=22∙5, 22=2∙11, 24=23∙3, 25=52, 26=2∙13, 27=3³, 28=2²∙7, 30 = 2∙3∙5. Вывод: Из данного разложения замечаем, что любое указанное n может быть представлено в виде произведения, не более трёх простых множителей. Возникает вопрос: любое ли натуральное число представимо в виде произведения простых множителей? Ответ на поставленный вопрос даёт основная теорема арифметики: Всякое натуральное число n>1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом, в виде произведения простых множителей.
Пусть а – длина стороны квадрата, тогда его площадь равна а2. Отсюда следует, что площадь квадрата составное число, т.к. имеет своим делителем ещё и а. Например, если сторона квадрата равна 13, то его площадь равна 169, и 169 имеет делителями 1, 13, 169. Ответ. Нет, не может. Задача, связанная с простыми числами: Клиент банка забыл четырёхзначный шифр своего сейфа и помнил лишь, что этот шифр – простое число, а произведение его цифр равно 243. За какое наименьшее число попыток он наверняка сможет открыть свой сейф. Решение. Пусть abcd – искомое число. Разложим число 243 на простые множители: 243 = 3∙3∙3∙3∙3. Тогда возможны несколько случаев:
Из четырех цифр 1,3,9,9 можно составить следующие комбинации: 1399, 1993, 1939, 3991, 3199, 3919, 9139, 9193, 9319, 9391, 9913, 9931. По условию задачи числа должны оказаться простыми. Пользуясь таблице простых чисел, оставляем только простые числа: 1993, 1399, 3919, 9931, 9319, 9391. Остаётся 6 простых чисел, это и есть число попыток, за которое клиент банка сможет открыть сейф. Ответ. За 6 попыток. Литература
|