Флексагоны и флексоры
 Скачать 194.11 Kb.
|
Работу выполнил: Бачурин Артём, ученик 7-Б класса, гимназия № 17. Научный руководитель: Попова Лариса Георгиевна, учитель математики, гимназия № 17. Оглавление Введение ………………………………………………………… 3 Глава 1. История возникновения проекта ….....……………… 4 Глава 2. Построение и исследование флексагонов ………….. 6 Глава 3. Построение и исследование флексоров ………….… 11 Глава 4. Применение флексагонов и флексоров …………….. 14 Заключение ……………………………………………………... 15 Список литературы …………………………………………….. 16 Введение "Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать" Галилео Галилей Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику интересной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д. Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной и мой проект «Флексагоны и флексоры» это подтверждает. Интерес к головоломкам подтолкнул меня к более серьезному изучению и анализу, простых казалось бы вещей. Появилось желание не только повторить уже известные факты, но и додумать что-то самому. Стали понятны слова Д. Пойа: «Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому». Так появилась цель работы: изучить мир флексагонов и флексоров. Задачи:
Проектный продукт: схемы сборки некоторых флексагонов, флексагоны, флексоры, рекомендации по изготовлению флексагонов. Благодаря самостоятельному изготовлению моделей флексагонов и флексоров, проведенных над ними исследований, удалось лучше понять и изучить их мир, т.е. добиться поставленной цели. Конечно, на это ушло достаточно времени (5-6 месяцев). Если выбор и название темы не вызвали затруднений, то поиск информации (интернет, библиотека), построение чертежей, разработка схем сборки, сама сборка моделей и исследования, проведенные над ними, а также конкретизация и оформление материала потребовали много усилий и времени. ГЛАВА 1 История возникновения проекта Всё начиналось очень просто. Блуждая по страницам интернета, я обнаружил видео мальчика, который, изгибая бумажку, выворачивал всё новые и новые картинки. Обожая головоломки, я тоже захотел такую игрушку. С этого момента всё и началось, но тогда я ещё не знал, что буду работать над проектом. Стал искать информацию. Оказалось, это игрушка - флексагон (англ. to flex - складываться, сгибаться, гнуться). Как построить? Где взять чертеж? Помог М. Гарднер! Именно из его книги я узнал и историю возникновения флексагонов, и как их построить, позаимствовал чертежи для дальнейшей работы над флексагонами. Так что же это такое?! Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрываемые поверхности неожиданно выходят наружу1. рис. 1 Интересный факт: придумать флексагоны помогло одно случайное обстоятельство - различие в формате английских и американских блокнотов. Флексагоны, не были бы открыты и по сей день, и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру. Если бы в конце 1939 года, Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Пристоне, обрезая листы американского блокнота, не пожелал немного развлечься. Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трёх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник (рис.1). Взяв, этот шестиугольник, за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Был открыт самый первый флексагон! Он был назван тригексафлексагоном, так как у него три поверхности, (гекса от греческого «гекс», что означает шесть), флексагонами - из-за их способности складываться. Вторая не менее изящная модель получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» - шесть - означает число поверхностей этой модели). Друзьями был создан «Флексагонный комитет», который обнаружил что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей. По прилагающимся выкройкам, с помощью подробного описания, я быстро изготовил флексагоны с тремя и шестью поверхностями. Наигравшись первым и не поняв все тайны второго, я захотел изготовить флексагоны с четырьмя и пятью поверхностями (тем более что выкройки прилагались). И тут возникла первая проблема: выкройки есть, а описания их складывания - нет! Опять обратился к поиску литературы: интернет-ресурсы, журналы «Квант», работы других участников фестиваля «Портфолио»… И везде один результат - только чертежи, без подробных инструкций. Обратился за помощью к учителю, а она предложила мне самому разработать инструкции для интересующих меня моделей. Так началась работа над практико-ориентированным проектом «Флексагоны и флексоры» (флексоры были добавлены в ходе работы). ГЛАВА 2 Построение и исследования флексагонов Приступая к разработке схем для сборки тетрагексафлексагона и пентагексафлексагона и имея опыт по сборке тригексафлексагона и гексагексафлексагона, я уже понимал, что: 1) нужно найти такой способ расстановки чисел на имеющихся чертежах, чтобы он привел меня к полоске из десяти треугольников (рис.2), схема сборки которой имеется в научной литературе. рис.2 2) Если каждый треугольник пометить числом или символом, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать определенной периодичностью. Например, на лицевой и обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, цифры будут располагаться в такой последовательности: 123123 123123 123123 (лицевая), 445566 445566 445566 (обратная). Теперь, методом проб и ошибок, мне предстояло определить порядок расстановки чисел в имеющихся чертежах, так, чтобы флексагоны «заработали». Результатом моих трудов явились следующие схемы сборки: 1. Тетрагексафлексагон: 2. Пентагексафлексагон: Построив флексагоны с 3-мя и 6-ю поверхностями (по Гарнеру), с 4-мя и 5-ю поверхностями по своим разработкам, понял, что хочется чего-то более сложного, так появились разработки для гексагексафлексагона (второго вида), гептагексафлексагона и додекагексафлексагона: 3. Гексагексафлексагон (второго типа): 4. Гептагексафлексагон: 5. Додекагексафлексагон (37 правильных треугольников): В ходе работы были сделаны первые выводы: Сборку флексагона нужно начинать с наибольшего числа и складывать так, чтобы треугольники, имеющие одинаковые числа, оказались наложенными друг на друга. Например, для изготовления гептагексафлексагона сначала собирают все 7 на 7, затем 6 на 6, 5 на 5, 4 на 4, после чего получаем полоску из 10 треугольников (рис. 2). При сборке любой модели всегда приходим к полоске из 10 треугольников! рис.3 Имея перед собой готовые модели шестиугольников, хотелось увидеть, как они работают. Если в моделях с 3-мя, 4-мя, 5-ю поверхностями отыскать каждую поверхность не составило большого труда, то начиная с гексагексафлексагона, появились трудности. Флексагон можно было вращать до бесконечности, но увидеть пятую, шестую и т.д. поверхности так и не удавалось! И снова на помощь пришли статьи из журналов. Разобраться помогла схема разработанная Таккерманом для гексагексафлексагона. Им был найден простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод так и называется «путь Таккермана». Он позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагона за один цикл из 12 сгибаний. Стрелки указывают, в каком порядке становятся видимыми поверхности флексагона. Если модель перевернуть, то путь Таккермана будет изображаться той же схемой, но направление её обхода будет противоположным (рис.3). И после нахождения всех поверхностей, работу над флексагонами нельзя было назвать законченной. Впереди предстоял большой творческий процесс. Чтобы вращение флексагона доставило ещё больше эмоций и удовольствия, каждую поверхность флексагона нужно было раскрасить. И для этого тоже существует правило! Существует множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам. Так, каждая поверхность флексагона может появляться, по крайней мере, в двух различных видах в зависимости от того, как повернуты относительно друг друга образующие её треугольники. Например, если каждую поверхность разделить на части так, как показано на рисунке 4, и выкрасить области А, В и С в различные цвета, то в центре видимой поверхности могут появиться и области А, и области В, и области С. Геометрический узор, который нарисован на одном развороте флексагона, появляется на двух других разворотах, каждый раз принимая иной вид. рис.4
Работу, проделанную над флексагонами, нужно было систематизировать. Для этой цели, свою коллекцию флексагонов я дополнил уна - и дуогексафлексагонами (их сделать было несложно, описание есть в научной литературе). Исследовал и сфотографировал каждую поверхность (первые шесть флексагонов см. Проектный продукт). Получены следующие результаты: а) унагексафлексагон - этот простейший экземпляр представляет собой лист Мёбиуса2 с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников, поэтому его можно назвать гексафлексагоном, хотя у него нет шести сторон, и он не складывается. В связи с этим он интересен лишь как иллюстрация топологии3 Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов. б) дуогексафлексагон - представляет собой простой шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, и он также не складывается. в) тригексафлексагон - шестиугольник, имеет три поверхности, сгибаем. Каждая поверхность имеет два варианта изображений. В результате имеем шесть различных изображений. г) тетрагексафлексагон - шестиугольник, имеет четыре поверхности, сгибаем. Первая и вторая поверхности имеют по три варианта, третья и четвертая - по два. Всего различных изображений - десять. д) пентагексафлексагон - шестиугольник, имеет пять поверхностей, сгибаем. Первая, вторая и третья поверхности имеют по три варианта, четвертая и пятая - по два. Всего различных изображений - тринадцать. е) гексагексафлексагон - шестиугольник, имеет шесть поверхностей, сгибаем. В случае, когда флексагон изготовлен из прямой полоски бумаги, имеем пятнадцать различных изображений. Первая, вторая и третья поверхности имеют по три варианта, четвертая, пятая и шестая - по два. Во втором случае, первая, вторая, третья и четвертая поверхности имеют по три варианта; пятая и шестая - по два. Всего шестнадцать изображений. ж) гептагексафлексагон - шестиугольник, имеет семь поверхностей, сгибаем. Первая, вторая, третья и четвертая поверхности имеют по три варианта; пятая, шестая и седьмая - по два. Всего восемнадцать изображений. з) додекагексафлексагон - шестиугольник, сгибаем, имеет двенадцать поверхностей. Первая - шестая поверхности имеют по три варианта изображений; седьмая - двенадцатая имеют по два. Всего тридцать изображений. Проверено утверждение, что слоев бумаги в двух соседних треугольных секциях всегда равно числу поверхностей данного флексагона. В заключение все необходимые правила для сборки и изгибания были собраны вместе и оформлены, как «Рекомендации по изготовлению флексагонов» (см. Проектный продукт). ГЛАВА 3 Построение и исследования флексоров Занимаясь изучением флексагонов, я узнал, что это изгибаемые многоугольники. А существуют ли изгибаемые многогранники (флексоры)? Оказалось, что этот вопрос занимал умы многих математиков. Как треугольник считается жёсткой геометрической фигурой, так пирамида – жёсткое геометрическое тело, его нельзя изменить, не сломав. Еще в 1766 году математик Эйлер высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется». В 1813 году французский математик Огюстен Луи Коши доказал, что выпуклый многогранник с данным набором граней и условиями их склейки единственен, то есть выпуклый многогранник изгибаемым не бывает. Н. П. Долбилин в своей статье «Жесткость выпуклых многогранников» писал: «Каждый, кто клеил или просто держал в руках картонную модель многогранника, замечал его жесткость и, возможно, задумывался над этим» 4. Оказывается, эту версию можно опровергнуть. В статье В. Залгеллера «Непрерывно изгибаемый многогранник»5 есть примеры изгибания замкнутого многогранника. Одним из таких примеров является построенный в 1977 году американским геометром Р. Коннели изгибаемый многогранник (рис.5), который и опроверг гипотезу Эйлера. рис.5 Дж. М. Андреасом и Р. М. Сталкером независимо друг от друга было открыто семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенные) и 4n треугольными гранями. Гранями многогранника являются грани определенного количества тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам так, что получается фигура наподобие кольца. Число n может равняться 6, 8 и любому большему целому числу. При n = 6 эта фигура достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности. Когда n четно, фигура стремиться принять симметричную форму. Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится еще более захватывающей. При n, большем или равном 22, кольцо может заузливаться. Выкройка для построения таких колец оказалась несложной и чтобы построить для большего числа n, достаточно увеличить количество треугольников. В случае n = 6, нужно приготовить выкройку (рис.6), состоящую из 24 правильных треугольников и 9 клапанов. Вырезав её, нужно сделать сгибы по внутренним линиям (штриховые линии загнуть вверх, а пунктирные - вниз). Клапаны соединить и приклеить в соответствии с буквенными обозначениями 6. рис.6 Единственный этап, на котором могут возникнуть трудности, приклеивание клапанов последнего тетраэдра (половина которого находится на одном конце развертки, а половина - на другом). Остальные тетраэдры складываются автоматически, если аккуратно согнуть развертку по всем линиям перед началом складывания. Так же модель флексора, состоящая из 6 тетраэдров достаточно жесткая, и не может изгибаться бесконечно. Этот недостаток можно исправить, если треугольники сделать не равносторонними, а равнобедренными. Таким образом, были построены кольца из 6, 8, 10, 11, 13 и 22 тетраэдров (см. Проектный продукт). Проверка показала, что:
Внешне флексоры выглядят привлекательнее, чем флексагоны, но математический интерес вызывает только кольцо из 8 тетраэдров, которое по-другому называют магическим. Математик Ройал В. Хит на заготовке для кольца из 8 тетраэдров расставил числа от 1 до 32 следующим образом: По этой заготовке изготавливается флексор. Он состоит из восьми тетраэдров. При вращении флексора, получаем четыре различные комбинации чисел с одним и тем же результатом: 1) 1+16+25+24+2+15+26+23=132; 2) 28+22+3+13+27+21+4+14=132; 3) 7+9+32+18+8+10+31+17=132; 4) 19+6+11+29+20+5+12+30=132; Кроме этого, числа расположены так, что четыре грани каждого тетраэдра в сумме дают 66: 1) 1 + 30 + 7 + 28 = 66; 2) 12 + 17 + 14 + 23 = 66; 3) 31 + 4 + 26 + 5 = 66; 4) 21 + 15 + 20 + 10 = 66; 5) 2 + 29 + 8 + 27 = 66; 6) 11 + 18 + 13 + 24 = 66; 7) 32 + 3 + 25 + 6 = 66; 8) 22 + 16 + 19 + 9 = 66. А также сумма граней при повороте по спирали равна132: 1) 1 + 22 + 32 + 11 + 2 + 21 + 31 + 12 = 132; 2) 25 + 13 + 8 + 20 + 26 + 14 + 7 + 19 = 132; 3) 24 + 6 + 9 + 28 + 23 + 5 + 10 + 27 = 132; 4) 16 + 30 + 17 + 4 + 15 + 29 + 18 +3 = 132; 5) 25 + 11 + 8 + 21 + 26 + 12 + 7 + 22 = 132; 6) 16 + 28 + 17 + 5 + 15 + 27 + 18 + 6 = 132; 7) 1 + 19 + 32 + 13 + 2 + 20 + 31 + 14 = 132; 8) 24 + 3 + 9 + 30 + 23 + 4 + 10 + 29 = 132. ГЛАВА 4 Применение флексагонов и флексоров В ходе выполнения проекта было ясно, что флексагоны и флексоры представляют собой занимательные головоломки и необычные игрушки. Но где ещё встречаются эти модели? Оказалось, что флексагоны и флексоры могут быть основой творчества. Например, известно, что когда изобретатель флексагонов Артур Х. Стоун и его друзья создали и исследовали игрушку, они попутно придумали историю об одном джентльмене, у которого в флексагон попал кончик галстука. Порвать, любовно сделанную игрушку было жаль, и он продолжал играть, напрасно надеясь, что при очередном перегибании удастся освободиться. Эта сочиненная история легла в сюжет любительского фильма «Осторожно, математика!» Флексагоны и флексоры применяются как средство математического развития дошкольников и школьников младших классов. Это один из перспективных подходов к математическому развитию ребенка. Являясь ориентацией на математическое моделирование, с помощью которого дети активно овладевают построением и использованием разного рода предметных, графических и мысленных моделей. Флексагоны, как средство математического моделирования, имеют следующие отличительные черты: 1) экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм; 2) доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке; 3) многоплановый развивающий характер: флексагоны и флексоры способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизируют формирование представлений по всем разделам математики для дошкольников; хороши для освоения понятий «время», «величина», «пространство» и многое другое. Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники одной поверхности приклеиваются фотографии (например, учеников класса). Такой фоторамке не требуется специальная подставка. Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается. Заключение Многие думают, глядя на флексагоны и флексоры - просто игрушка. А вот и не просто! Попробуй сделать своими руками. И не просто сделать, а собрать нужную информацию, исследовать, выявить закономерности, разработать чертежи, соблюсти точные вычисления (чтобы флексагон не оказался кривым). Вложить всё своё терпение и смекалку. А сколько нужно фантазии, чтобы разрисовать, украсить флексагон?! Или, например, надоел тебе флексагон с шестью поверхностями, сделай другой, где число поверхностей больше! Дерзай, пробуй, твори!!! Закончен проект, выполнены поставленные задачи, достигнуты намеченные цели. Пройден трудный, но интересный путь. Приятно осознавать, что сделанная работа принесла удовлетворение не только мне, но и многим ребятам, которые воспользовались моими разработками и полезными советами, увидели такую серьёзную науку, как математика, с другой стороны. Было интересно наблюдать, как старшеклассники брали в руки флексагон и через несколько минут были в недоумении: как отыскать все стороны?! Есть ещё одна положительная сторона: занимаясь проектом (я учился в шестом классе), мне пришлось выполнять много измерений, чертежей, построений. Держа в руках флексоры и флексагоны, я наглядно представлял отличие пространственной фигуры от плоскоской. В результате, с началом геометрии в седьмом классе, я легко и быстро выполнял чертежи и измерения, а понятия планиметрия и стереометрия были мне сразу понятны. Проблемы флексологии - науки о построении и всяческих закономерностях флексагонов, не занимают в созвездии наук столь серьезного положения. Тем не менее, многие люди отдают ей значительную долю своего свободного времени. И это не случайно. Флексология - одна из немногих наук, которыми можно заниматься как в одиночку, так и коллективами. Плодотворным занятиям этой наукой не мешают ни молодость, ни преклонный возраст. А главное, что подробного изложения теории нет до сих пор, и ничто не мешает нам, играя с самодельными флексагонами попытаться вывести собственную теорию. Мною были изучены флексагоны - шестиугольники, но возможны и другие формы, поэтому работа может быть продолжена. Вращаешь флексагон… и понимаешь, все эти зримые образы подготовили чувства и мышление к восприятию того, что постоянно окружает нас в жизни. Как одно явление, не переставая быть собой, одной из своих «сторон», воплощается в своей противоположности, воссоздавая, с ним друг друга, в постоянном диалоге. Такая игра граней выстраивает мир… Список литературы: 1. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. - М.: Мир, 1986, С. 471. 2. ВИКИПЕДИЯ. - URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон. Дата обращения: 1.11.2011. 3. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971, С. 235. 4. Дженкинс Д., Биар М. Математические головоломки. - М.: Центрполиграф, 2000, С. 32. 5. Долбинин Н. Жесткость выпуклых многогранников.// Квант. 1988. №5. С. 6 - 14. 6. Залгаллер В. Непрерывно изгибаемый многогранник. // Квант. 1978. № 9. С. 13 - 19. 7. Панов А. А. Флексагоны, флексоры, флексманы. //Квант. 1989. №1. С. 10 -14. 8. Репина Г. Флексагоны как средство математического развития дошкольников. //Дошкольная педагогика. 2008. №3. С. 22-26. 9. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для 5-6 классов. - М.: Мирос, 1995, С. 240. 10. Энциклопедия знаний. - URL: http://www.pandia.ru/96559/. Дата обращения: 1.11.2011. 1 Гарднер М.Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971, С. 11. 2 Август Фердинанд Мёбиус — немецкий математик и астроном-теоретик. 3 Топология — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности. 4 Квант. 1988. № 5. С.6. 5 Квант. 1978. № 9. С. 13-19. 6 Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. - М.: Мир, 1986, С. 168. |