Решение : параллельный перенос; построение плоскости, перпендикулярной данной, через данную точку; сравнение расстояний от различных точек до наклонной плоскости ( с использованием подобия треугольников);
Скачать
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ СЕМИНАРЫ 2-3 Задание С2. Нахождение углов и расстояний. Работа в многогранниках, скорее всего в правильных. Используемые понятия: угол между скрещивающимися прямыми, перпендикуляр к плоскости, проекция прямой на плоскость, расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых, линейный угол двугранного угла, нормаль к плоскости. Необходимые теоремы: признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей, формула площади ортогональной проекции многоугольника. Планиметрические факты (основные), часто используемые при решении заданий С2: подобие треугольников, формулы для вычисления высоты прямоугольного треугольника, площади треугольника (нахождение высоты треугольника с использованием площади), теорема косинусов (вычисление косинуса угла треугольника). Специфические методы, помогающие облегчить решение: параллельный перенос; построение плоскости, перпендикулярной данной, через данную точку; сравнение расстояний от различных точек до наклонной плоскости ( с использованием подобия треугольников); вычисление расстояния от точки до прямой с использованием проектирования на плоскость основания фигуры; замена вычисления линейного угла двугранного угла вычислением угла между нормалями к плоскостям; использование связи между расстоянием от точки до плоскости и расстояния от той же точки до ребра двугранного угла через синус двугранного угла; достроение фигуры; использование свойств стандартных сечений. Сложности: построение хорошего чертежа, позволяющего видеть без наложения все нужные объекты; необходимость строгого соотнесения рассматриваемых объектов с определениями понятий, указанных в условии (верное построение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями, расстояния от точки до плоскости или до прямой); верный выбор объектов, с которыми работать удобнее (например, выбор точки, расстояние от которой до указанной плоскости находится проще всего, и сравнение нужного расстояния с найденным); проведение грамотного доказательства с ссылками на теоретические факты, что найденная величина и есть та, о которой спрашивают. Общее замечание, касающееся вычисления углов: угол между прямыми, как и угол между плоскостями, тупым не бывает. (Двугранный угол может быть как острым или прямым, так и тупым.) Если Вы свели вычисление угла между прямыми или угла между плоскостями к вычислению угла треугольника, и косинус получился отрицательным, то надо написать в решении, что найденный угол является не искомым, а смежным с ним, и дать в ответ арккосинус противоположного положительного числа. Необходимо помнить: 1) если в решении, даже при наличии верного ответа, отсутствует теоретическое обоснование, сводящее задачу к планиметрии, то никаких баллов на экзамене за задачу не выставляется! 2) прежде, чем написать окончательный ответ, надо прочитать еще раз вопрос задачи, например, полезно знать, спрашивалось найти угол или же его косинус. Характеристика блоков заданий: Блоки 1- 5– НЕОБХОДИМО выполнить на занятии хотя бы ЧАСТЬ ПУНКТОВ. Основные приемы требуется применить как в заданиях весьма умеренного уровня сложности, так и в более интересных конфигурациях. По уровню учебной группы можно варьировать количество разбираемых пунктов из каждого блока. Хорошо, если удастся выполнить все задания, но это маловероятно. Более сложные вопросы можно давать тем слушателям, которые более успешно справляются с простыми. Внимание! Обязательно требуется предварительный просмотр решений преподавателем (для установления уровня заданий). Жирным шрифтом выделены те пункты, которые, на взгляд составителя, являются более сложными (например, требуют построения сечения полностью или определения, в каком отношении заданный отрезок разбивается плоскостью). Задания из блоков 1-5, не разобранные на занятии, составляют домашнюю работу. Блок 6 – задания для тех, кто успешно выполнил блоки 1-5. Блок 1. Угол между прямыми.ЗаданиеОтвет 1. Дан куб . - середина , - середина . Найдите угол между прямыми: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . 2. - правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. - середина , - середина . Найдите угол между прямыми: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) . 3. - правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны. Точки - середины ребер соответственно. Найдите угол между прямыми: а) ; б) ; в) . 4. - правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1. Вершина пирамиды – S. Точки - середины ребер соответственно. Найдите угол между прямыми: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . Блок 2. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.ЗаданиеОтвет 5. Дан куб с ребром длины . - середина ребра , - середина ребра , - центр грани , - центр куба. Найдите расстояние а) до плоскости от точек ; б) до плоскости от точек ; в) до плоскости от точек . 6. - правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. - середина ребра , - середина ребра , - центр грани , - центр основания . Найдите расстояние а) до плоскости от точек ; б) до плоскости от точек ; в) до плоскости от точек ; г) до плоскости от точек . 7. - правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 1. Точка - середина ребра , точка - середина высоты пирамиды , точка делит ребро в отношении 1:2 (от вершины ). Найдите расстояние а) до плоскости грани от точек ; б) до плоскости от точек . 8. - правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1. Вершина пирамиды – S. Точки - середины ребер соответственно. - центр основания пирамиды. Найдите расстояние а) до плоскости от точек ; б) до плоскости от точек . 9. - правильная треугольная призма, все ребра которой равны 1. Точка - середина ребра , точка делит ребро в отношении 2:1 ( от точки В), – центроид (точка пересечения медиан) основания . Найдите расстояние а) до плоскости от точек ; б) до плоскости от точек . Блок 3. Угол между прямой и плоскостью.ЗаданиеОтвет 10. В условиях задачи №5 найдите угол а) между плоскостью и прямыми б) между плоскостью и прямыми ; в) между плоскостью и прямыми . 11. В условиях задачи №6 найдите угол а) между плоскостью и прямыми б) между плоскостью и прямыми в) между плоскостью и прямыми г) между плоскостью и прямыми 12. В условиях задачи №8 найдите угол а) между плоскостью и прямыми ; б) между плоскостью и прямыми 13. В условиях задачи №9 найдите угол а) между плоскостью и прямыми ; б) между плоскостью и прямыми . Блок 4. Угол между плоскостями.ЗаданиеОтвет 14. Дан куб . Точки - середины ребер и соответственно. Найдите угол между плоскостями: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ; ж) и . 15. - правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны. Найдите угол между плоскостями: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и . 16. - правильная треугольная пирамида, ребро основания равно 4, высота равна 6. Точка - середина ребра . найдите угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды, а также все различные внутренние двугранные углы пирамиды. Блок 5. Расстояние между скрещивающимися прямыми.ЗаданиеОтвет 17. - правильная четырехугольная призма, ребро основания которой равно 6, а боковое ребро равно 4. Точка - середина , точка - середина . Найдите расстояние между прямыми : а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ; ж) и ; з) и ; и) и ; к) и . 18. В кубе точка - центр грани . Дано расстояние 1 между прямыми а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и . Найдите в каждом из случаев ребро куба. 19. - правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 1. - центроид основания , - середина , - середина . Найдите расстояние между прямыми а) и ; б) и ; в) и . Блок 6.Углы и расстояния. (дополнительные задания)ЗаданиеОтвет 20. - прямоугольный параллелепипед, , , . - середина , - точка пересечения диагоналей грани , - точка пересечения диагоналей грани . Найдите: а) угол между прямыми и ; б) угол между прямыми и ; в) расстояние от точки до плоскости ; г) расстояние от точки до плоскости ; д) расстояние от точек и до плоскости ; е) угол между плоскостями и ; ж) угол между плоскостями и ; з) угол между плоскостями и ; и) угол между плоскостями и ; к) угол между прямой и плоскостью ; л) угол между прямой и плоскостью ; м) угол между плоскостью, проходящей через перпендикулярно , и плоскостью . 21. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник , в котором угол - прямой, а угол равен . Гипотенуза равна 6. Боковое ребро а) является высотой пирамиды; б) является высотой пирамиды. В каждом из указанных случаев найдите: угол между наклонной боковой гранью и плоскостью основания пирамиды; расстояние от центроида основания до наклонной боковой грани; углы наклона всех ребер пирамиды, не лежащих в наклонной боковой грани, к этой грани.22. - правильная четырехугольная пирамида, ребро основания равно 8, высота равна 3. Вершина пирамиды – S. Проведены две параллельные друг другу плоскости: а) одна содержит медиану боковой грани , другая – медиану боковой грани . б) одна содержит медиану боковой грани , другая – апофему боковой грани . в) одна содержит медиану боковой грани , другая – апофему боковой грани . г) одна содержит медиану боковой грани , другая – медиану боковой грани . Для каждого случая найдите угол наклона указанных плоскостей к основанию пирамиды; расстояние между плоскостями. |