|
Итоговое повторение семинары 2-3
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ СЕМИНАРЫ 2-3
Задание С2. Нахождение углов и расстояний. Работа в правильных многогранниках.
Используемые понятия: угол между скрещивающимися прямыми, перпендикуляр к плоскости, проекция прямой на плоскость, расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых, линейный угол двугранного угла, нормаль к плоскости.
Необходимые теоремы: признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей, формула площади ортогональной проекции многоугольника.
Планиметрические факты (основные), часто используемые при решении заданий С2: подобие треугольников, формулы для вычисления высоты прямоугольного треугольника, площади треугольника (нахождение высоты треугольника с использованием площади), медианы треугольника, теорема косинусов (вычисление косинуса угла треугольника).
Специфические методы, помогающие облегчить решение: параллельный перенос; построение плоскости, перпендикулярной данной, через данную точку; сравнение расстояний от различных точек до наклонной плоскости ( с использованием подобия треугольников); вычисление расстояния от точки до прямой с использованием проектирования на плоскость основания фигуры; замена вычисления линейного угла двугранного угла вычислением угла между нормалями к плоскостям; использование связи между расстоянием от точки до плоскости и расстояния от той же точки до ребра двугранного угла через синус двугранного угла; достроение фигуры; использование свойств стандартных сечений.
Сложности: построение хорошего чертежа, позволяющего видеть без наложения все нужные объекты; необходимость строгого соотнесения рассматриваемых объектов с определениями понятий, указанных в условии (верное построение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями, расстояния от точки до плоскости или до прямой); верный выбор объектов, с которыми работать удобнее (например, выбор точки, расстояние от которой до указанной плоскости находится проще всего, и сравнение нужного расстояния с найденным); проведение грамотного доказательства с ссылками на теоретические факты, что найденная величина и есть та, о которой спрашивают.
Общее замечание, касающееся вычисления углов: угол между прямыми, как и угол между плоскостями, тупым не бывает. (Двугранный угол может быть как острым или прямым, так и тупым.) Если Вы свели вычисление угла между прямыми или угла между плоскостями к вычислению угла треугольника, и косинус получился отрицательным, то надо написать в решении, что найденный угол является не искомым, а смежным с ним, и дать в ответ арккосинус противоположного положительного числа.
Необходимо помнить: 1) если в решении, даже при наличии верного ответа, отсутствует теоретическое обоснование, сводящее задачу к планиметрии, то никаких баллов на экзамене за задачу не выставляется;
2) прежде, чем написать окончательный ответ, надо прочитать еще раз вопрос задачи, например, полезно знать, спрашивалось найти угол или же его косинус;
3) если в задании ( даже в правильной фигуре) НЕ ВСЕ РЕБРА РАВНЫ, то с вычислением медиан граней нужно быть очень аккуратными (нельзя сразу по привычке умножать сторону на ): придется либо использовать формулу длины медианы треугольника, либо (что предпочтительнее при нахождении расстояний) проектировать на плоскость основания фигуры и применять теорему о трех перпендикулярах.
Характеристика блоков заданий:
Блоки 1- 5– НЕОБХОДИМО выполнить на занятии хотя бы ЧАСТЬ ПУНКТОВ. Основные приемы требуется применить как в заданиях весьма умеренного уровня сложности, так и в более интересных конфигурациях. По уровню учебной группы можно варьировать количество разбираемых пунктов из каждого блока. Хорошо, если удастся выполнить все задания, но это маловероятно.
Более сложные вопросы можно давать тем слушателям, которые более успешно справляются с простыми. Внимание! Обязательно требуется предварительный просмотр решений преподавателем (для установления уровня заданий). Жирным шрифтом выделены те пункты, которые, на взгляд составителя, являются более сложными (например, требуют построения сечения полностью или определения, в каком отношении заданный отрезок разбивается плоскостью).
Задания из блоков 1-5, не разобранные на занятии, составляют домашнюю работу.
Блок 6 – задания для тех, кто успешно выполнил блоки 1-5.
Задания с ответами и комментариями:
Задание
|
Комментарии
|
Ответ
|
Угол между прямыми.
|
1. Дан куб . - середина , - середина . Найдите угол между прямыми: а) ; б); в) ; г) ; д).
|
Во всех заданиях этого блока надо уметь применить параллельный перенос для замены пары скрещивающихся прямых парой пересекающихся. Учимся видеть, что куда можно перенести. Используем параллельные грани. Кое-где надо будет увидеть среднюю линию треугольника.
|
|
2. - правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. - середина , - середина . Найдите угол между прямыми:
а) ; б) ; в); г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) .
|
При работе с правильной шестиугольной призмой полезно уметь достроить ее до правильной треугольной, а также иногда удобно разбить основание призмы – правильный шестиугольник – на шесть правильных треугольников, что облегчает нахождение параллельных прямых в основании, а также вычисление длин отрезков. Не нужно бояться при проведении дополнительных построений выходить за пределы фигуры.
|
|
3. - правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны. Точки - середины ребер соответственно. Найдите угол между прямыми: а) ; б) ; в) .
|
Для вычисления углов между прямыми придется применять теорему косинусов, а находить длины сторон треугольника надо будет либо по теореме Пифагора в соответствующей грани, либо с помощью проектирования на основание и с применением теоремы о трех перпендикулярах, опять же сводящей вопрос к теореме Пифагора. Иногда можно вспомнить формулу для вычисления длины медианы треугольника.
|
|
4. - правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1. Вершина пирамиды – S. Точки - середины ребер соответственно. Найдите угол между прямыми: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
|
|
Расстояние от точки до плоскости.
|
5. Дан куб с ребром длины . - середина ребра , - середина ребра , - центр грани , - центр куба. Найдите расстояние
а) до плоскости от точек ; б) до плоскости от точек ;
в) до плоскости от точек .
|
Учимся строить ОДИН «удобный» перпендикуляр, вычислять его длину. А затем сводить все остальные расстояния к найденному. Для этого надо всего лишь разбираться в нескольких простых ситуациях (преподавателю удобно изобразить на доске простые чертежи-иллюстрации, и зафиксировать утверждения в буквах): если две точки расположены на прямой, пересекающей плоскость, то отношение расстояний от этих точек до плоскости равны отношению длин отрезков данной прямой от данных точек до пересечения с плоскостью; Если два параллельных отрезка имеют по одному концу в данной плоскости. То отношение расстояний от свободных концов отрезков до этой плоскости равно отношению длин отрезков.
|
|
6. - правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. - середина ребра , - середина ребра , - центр грани , - центр основания . Найдите расстояние а) до плоскости от точек ; б) до плоскости от точек ;
в) до плоскости от точек ; г) до плоскости от точек .
|
|
7. - правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 1. Точка - середина ребра , точка - середина высоты пирамиды , точка делит ребро в отношении 1:2 (от вершины ). Найдите расстояние а) до плоскости грани от точек ; б) до плоскости от точек .
|
|
8. - правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1. Вершина пирамиды – S. Точки - середины ребер соответственно. - центр основания пирамиды. Найдите расстояние а) до плоскости от точек ; б) до плоскости от точек .
|
|
9. - правильная треугольная призма, все ребра которой равны 1. Точка - середина ребра , точка делит ребро в отношении 2:1 ( от точки В),– центроид (точка пересечения медиан) основания . Найдите расстояние а) до плоскости от точек ; б) до плоскости от точек .
|
В пункте б) кроме приведенных ранее советов пригодится навык построения простейших сечений, а еще полезно знать, что в прямой призме очень удобно знать точки пересечения секущей плоскости с прямой, содержащей боковое ребро.
|
|
Угол между прямой и плоскостью.
|
10. В условиях задачи №5 найдите угол а) между плоскостью и прямыми
б) между плоскостью и прямыми ; в) между плоскостью и прямыми .
|
При выполнении задания несколько раз полезно ПОСТРОИТЬ СООТВЕТСТВУЮЩИЙ УГОЛ, но далее надо объяснить слушателям, что для нахождения величины угла вовсе не обязательно строить его. Надо найти отрезок данной прямой, имеющий конец в данной плоскости, и знать связь синуса угла между прямой и плоскостью, расстояния от второго конца отрезка до плоскости и длины отрезка: синус угла равен отношению расстояния от свободного конца отрезка до плоскости к длине отрезка. Так что можно расстояние до плоскости искать ОТ УДОБНОЙ ТОЧКИ, затем СВЕСТИ ЕГО К НУЖНОМУ РАССТОЯНИЮ и вычислить СИНУС УГЛА, зная длину соответствующего отрезка. Кроме того, можно заменить данную прямую на любую, параллельную ей! Это удобно при наличии параллельных граней.
|
|
11. В условиях задачи №6 найдите угол а) между плоскостью и прямыми ;
б) между плоскостью и прямыми
в) между плоскостью и прямыми
г) между плоскостью и прямыми
|
|
12. В условиях задачи №8 найдите угол а) между плоскостью и прямыми ;
б) между плоскостью и прямыми .
|
|
13. В условиях задачи №9 найдите угол а) между плоскостью и прямыми
б) между плоскостью и прямыми
|
|
Угол между плоскостями.
|
14. Дан куб . Точки - середины ребер и соответственно. Найдите угол между плоскостями: а) и ;
б) и ; в) и ;
г) и ; д) и ; е) и ; ж) и .
|
Находить угол между плоскостями можно двумя способами: либо строить линейный угол двугранного угла, то есть находить плоскость, перпендикулярную общей прямой двух данных плоскостей, и вычислять величину угла, полученного в этой плоскости, либо вместо угла между плоскостями искать угол между их нормалями, то есть сводить все к задаче первого блока. Заметим, что при любом способе решения не возбраняется заменять плоскости параллельными им плоскостями, то есть строить плоскости в любом удобном месте чертежа.
|
|
15. - правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны. Найдите угол между плоскостями:
а) и ; б) и ;
в) и ; г) и ;
д) и ; е) и .
|
|
16. - правильная треугольная пирамида, ребро основания равно 4, высота равна 6. Точка - середина ребра . найдите угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды, а также все различные внутренние двугранные углы пирамиды.
|
|
Расстояние между скрещивающимися прямыми.
|
17. - правильная четырехугольная призма, ребро основания которой равно 6, а боковое ребро равно 4. Точка - середина , точка - середина . Найдите расстояние между прямыми : а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ;
ж) и ; з) и ;
и) и ; к) и .
|
Необходимо уметь вычислять длину общего перпендикуляра пары скрещивающихся прямых. При этом не всегда нужно строить собственно общий перпендикуляр. Можно воспользоваться одним из следующих способов: 1) поместить скрещивающиеся прямые в параллельные друг другу плоскости и найти расстояние между этими плоскостями в любой удобной точке; 2) провести через одну из прямых плоскость параллельно второй прямой и найти расстояние от любой удобной точки второй прямой до построенной плоскости; 3) найти плоскость, перпендикулярную одной из прямых, и найти расстояние от точки пересечения этой прямой с плоскостью до проекции второй прямой на указанную плоскость.
|
|
18. В кубе точка - центр грани . Дано расстояние 1 между прямыми а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и . Найдите в каждом из случаев ребро куба.
|
|
19. - правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 1. - центроид основания , - середина , - середина . Найдите расстояние между прямыми а) и ; б) и ; в) и .
|
|
Углы и расстояния. Дополнительные задания.
|
20. - прямоугольный параллелепипед, , , . - середина , - точка пересечения диагоналей грани , - точка пересечения диагоналей грани . Найдите: а) угол между прямыми и ; б) угол между прямыми и ; в) расстояние от точки до плоскости ; г) расстояние от точки до плоскости ; д) расстояние от точек и до плоскости ; е) угол между плоскостями и ; ж) угол между плоскостями и ; з) угол между плоскостями и ; и) угол между плоскостями и ; к) угол между прямой и плоскостью ; л) угол между прямой и плоскостью ; м) угол между плоскостью, проходящей через перпендикулярно , и плоскостью .
|
|
21. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник , в котором угол - прямой, а угол равен . Гипотенуза равна 6. Боковое ребро а) является высотой пирамиды;
б) является высотой пирамиды. Найдите угол между наклонной боковой гранью и плоскостью основания пирамиды; расстояние от центроида основания до наклонной боковой грани; углы наклона всех ребер пирамиды, не лежащих в наклонной боковой грани, к этой грани.
|
|
22. - правильная четырехугольная пирамида, ребро основания равно 8, высота равна 3. Вершина пирамиды – S. Проведены две параллельные друг другу плоскости:
а) одна содержит медиану боковой грани , другая – медиану боковой грани . б) одна содержит медиану боковой грани , другая – апофему боковой грани . в) одна содержит медиану боковой грани , другая – апофему боковой грани . г) одна содержит медиану боковой грани , другая – медиану боковой грани . Для каждого случая найдите угол наклона указанных плоскостей к основанию пирамиды; расстояние между плоскостями.
|
|
|
|
|
Скачать 123.07 Kb.