Итоговое повторение семинары 2-3

Название	Итоговое повторение семинары 2-3
Дата	24.02.2016
Размер	70.6 Kb.
Тип	Документы

Итоговое повторение семинары 2-3
Расстояние от точки до плоскости
Итоговое повторение семинары 2-3
Итоговое повторение семинары 2-3
Итоговое повторение семинары 2-3
Итоговое повторение семинары 2-3
Блок Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости
Блок Угол между плоскостями
Решение : параллельный перенос; построение плоскости, перпендикулярной данной, через данную точку; сравнение расстояний от различных точек до наклонной плоскости ( с использованием подобия треугольников);

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ СЕМИНАРЫ 2-3

Задание С2. Нахождение углов и расстояний. Работа в правильных фигурах.
Используемые понятия: угол между скрещивающимися прямыми, перпендикуляр к плоскости, проекция прямой на плоскость, расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых, линейный угол двугранного угла, нормаль к плоскости.
Необходимые теоремы: признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей, формула площади ортогональной проекции многоугольника.
Планиметрические факты (основные), часто используемые при решении заданий С2: подобие треугольников, формулы для вычисления высоты прямоугольного треугольника, площади треугольника (нахождение высоты треугольника с использованием площади), медианы треугольника, теорема косинусов (вычисление косинуса угла треугольника).
Специфические методы, помогающие облегчить решение: параллельный перенос; построение плоскости, перпендикулярной данной, через данную точку; сравнение расстояний от различных точек до наклонной плоскости ( с использованием подобия треугольников); вычисление расстояния от точки до прямой с использованием проектирования на плоскость основания фигуры; замена вычисления линейного угла двугранного угла вычислением угла между нормалями к плоскостям; использование связи между расстоянием от точки до плоскости и расстояния от той же точки до ребра двугранного угла через синус двугранного угла; достроение фигуры; использование свойств стандартных сечений.
Сложности: построение хорошего чертежа, позволяющего видеть без наложения все нужные объекты; необходимость строгого соотнесения рассматриваемых объектов с определениями понятий, указанных в условии (верное построение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями, расстояния от точки до плоскости или до прямой); верный выбор объектов, с которыми работать удобнее (например, выбор точки, расстояние от которой до указанной плоскости находится проще всего, и сравнение нужного расстояния с найденным); проведение грамотного доказательства с ссылками на теоретические факты, что найденная величина и есть та, о которой спрашивают.
Общее замечание, касающееся вычисления углов: угол между прямыми, как и угол между плоскостями, тупым не бывает. (Двугранный угол может быть как острым или прямым, так и тупым.) Если Вы свели вычисление угла между прямыми или угла между плоскостями к вычислению угла треугольника, и косинус получился отрицательным, то надо написать в решении, что найденный угол является не искомым, а смежным с ним, и дать в ответ арккосинус противоположного положительного числа.
Необходимо помнить: 1) если в решении, даже при наличии верного ответа, отсутствует теоретическое обоснование, сводящее задачу к планиметрии, то никаких баллов на экзамене за задачу не выставляется;

2) прежде, чем написать окончательный ответ, надо прочитать еще раз вопрос задачи, например, полезно знать, спрашивалось найти угол или же его косинус;

3) если в задании ( даже в правильной фигуре) НЕ ВСЕ РЕБРА РАВНЫ, то с вычислением медиан граней нужно быть очень аккуратными (нельзя сразу по привычке умножать сторону на

): придется либо использовать формулу длины медианы треугольника, либо (что предпочтительнее при нахождении расстояний) проектировать на плоскость основания фигуры и применять теорему о трех перпендикулярах.
Характеристика блоков заданий:

Блоки 1- 5– НЕОБХОДИМО выполнить на занятии хотя бы ЧАСТЬ ПУНКТОВ. Основные приемы требуется применить как в заданиях весьма умеренного уровня сложности, так и в более интересных конфигурациях. По уровню учебной группы можно варьировать количество разбираемых пунктов из каждого блока. Хорошо, если удастся выполнить все задания, но это маловероятно.

Более сложные вопросы можно давать тем слушателям, которые более успешно справляются с простыми. Внимание! Обязательно требуется предварительный просмотр решений преподавателем (для установления уровня заданий). Жирным шрифтом выделены те пункты, которые, на взгляд составителя, являются более сложными (например, требуют построения сечения полностью или определения, в каком отношении заданный отрезок разбивается плоскостью).

Задания из блоков 1-5, не разобранные на занятии, составляют домашнюю работу.

Блок 6 – задания для тех, кто успешно выполнил блоки 1-5.

Задания с ответами и комментариями:

Задание

Комментарии

Ответ

Угол между прямыми.

1. Дан куб

- середина

. Найдите угол между прямыми:

а)

; б)

; в); г)

;

д) ; е).

Во всех заданиях этого блока надо уметь применить параллельный перенос для замены пары скрещивающих-

ся прямых парой пересекающихся. Учимся видеть, что куда можно пере-

нести. Используем параллельные грани. Кое-где надо будет увидеть среднюю линию треугольника.

а)	б)	в)
	или
г)	д)	е)

- правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны.

- середина

. Найдите угол между прямыми:

а)

; б)

;

в)

; г)

;

д)

; е)

; ж) ; з)

;

и) ; к)

;

л) ; м) .

При работе

с правильной шестиугольной призмой полезно уметь достроить ее до правильной треугольной (хотя бы достроить нужный угол), а также иногда удобно разбить основание призмы – правильный шестиугольник – на шесть правильных треугольников, что облегчает нахождение параллельных прямых в основании, а также вычисление длин отрезков. Не нужно бояться при проведении дополнительных построений выходить за пределы фигуры.

а)	б)	в)	г)
или	или
д)	е)	ж)	з)

и)	к)	л)	м)
		или

- правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны. Точки

- середины ребер

соответственно. Найдите угол между прямыми: а)

; б)

; в)

Для вычисления углов между прямыми придется применять теорему косинусов, а находить длины сторон треугольника надо будет либо по теореме Пифагора в соответствующей грани, либо с помощью проектирования на основание и с применением теоремы о трех перпендикулярах, опять же сводящей вопрос к теореме Пифагора. Иногда можно вспомнить формулу для вычисления длины медианы треугольника.