Учебник для студентов образовательных учреждений спо/С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина; под редакцией В. А. Гусева 10-е изд., стер. М.: Издательский центр «Академия». 2014. 416 с

Название	Учебник для студентов образовательных учреждений спо/С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина; под редакцией В. А. Гусева 10-е изд., стер. М.: Издательский центр «Академия». 2014. 416 с
Дата	29.02.2016
Размер	166.46 Kb.
Тип	Учебник

Методические указания по проведению

практической работы № 8

Решение систем линейных алгебраических уравнений различными способами

Цель работы:
Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений различными способами»
Перечень справочной литературы :

Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.
Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.
Шипачев В.С. Основы высшей математика: учебник для вузов. -М. Высш.шк., 2010 г.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. -М. Высш.шк., 2010 г.

Краткие теоретические сведения

1.Пусть дана система линейных уравнений

(1)
Коэффициенты a₁₁,₁₂,..., a_1n, ... , a_n1, b₂ , ... , b_n считаются заданными.

Вектор -строка íx₁ , x₂ , ... , x_n ý - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D=çAê=ça _ij ç, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи:

a) Если D¹0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера : x₁=

, где

определитель n-го порядка D_i ( i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b₁, b₂,..., b_n.

б) Если D=0 , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет.
2. Рекомендации по выполнению заданий
1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.

(2).
1. В данной системе составим определитель

и вычислим.

2. Составить и вычислить следующие определители:

.
3. Воспользоваться формулами Крамера.

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: D, D_x₁,D_x₂, …,Dx_n. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пример 1

.
Проверка:

Ответ: ( 3 ; -1 ).

Пример 2

Проверка:

Ответ: x=0,5; y=2; z=1,5 .

Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂+ …+ а₁_nх_n= b₁;

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+ …+ а₂_nх_n= b₂;

_. ……………………………………

а_m1х₁ + а_m2х₂+ …+ а_m_nх_n= b_m
Метод Гаусса решения системы заключается в последовательном исключении переменных.

Схема единственного деления. Рассмотрим простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

Прямой ход состоит из n - 1 шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₁ из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n. Предположим, что коэффициент a₁₁ ¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага.

Найдем величины

q_i₁ = a_i₁/a₁₁ (i = 2, 3, …, n),

называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q₂₁, q₃₁, …, q_n₁. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x₁ во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a₁_nx_n= b₁,

a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a₂_n⁽¹⁾x_n= b₂⁽¹⁾,

a₃₂⁽¹⁾x₂ + a₃₃⁽¹⁾x₃ + … + a₃_n⁽¹⁾x_n= b₃⁽¹⁾ ,

. . . . . . . . . . . . . . .

a_n₂⁽¹⁾x₂ + a_n₃⁽¹⁾x₃ + … + a_nn⁽¹⁾x_n= b_n⁽¹⁾ .

в которой a_ij⁽¹⁾ и b_ij⁽¹⁾ вычисляются по формулам

a_ij⁽¹⁾ = a_ij− q_i₁a₁_j , b_i⁽¹⁾ = b_i − q_i₁b₁.

2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₂ из уравнений с номерами i = 3, 4, …, n. Пусть a₂₂⁽¹⁾ ≠ 0, где a₂₂⁽¹⁾ – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага

q_i₂ = a_i₂⁽¹⁾ / a₂₂⁽¹⁾ (i = 3, 4, …, n)

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n-ого уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q₃₂, q₄₂, …, q_m₂. В результате получим систему

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a₁_nx_n = b₁,

a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a₂_n⁽¹⁾ = b₂⁽¹⁾,

a₃₃⁽²⁾x₃+ … + a₃_n⁽²⁾x_n = b₃⁽²⁾,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_n₃⁽²⁾x₃ + … + a_nn⁽²⁾x_n= b_n⁽²⁾.

Здесь коэффициенты a_ij⁽²⁾ и b_ij⁽²⁾ вычисляются по формулам

a_ij⁽²⁾ = a_ij⁽¹⁾ – q_i₂a₂_j⁽¹⁾ , b_i⁽²⁾ = b_i⁽¹⁾ – q_i₂b₂⁽¹⁾.

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг.

k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-ого шага a_kk⁽^k^–1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага

q_ik = a_ik⁽^k^–1) / a_kk⁽^k^–1) (i = k + 1, …, n)

и вычтем последовательно из (k + 1)-го, …, n-го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на q_k_+1,_k, q_k_+2,_k, …, q_nk.

После (n - 1)-го шага исключения получим систему уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a₁_nx_n = b₁,

a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a₂_n⁽¹⁾x_n = b₂⁽¹⁾,

a₃₃⁽²⁾x₃ + … + a₃_n⁽²⁾x_n = b₃⁽²⁾,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_nn⁽ⁿ^–1)x_n = b_n⁽ⁿ^–1).

матрица A⁽ⁿ^-1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Алгоритм для решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и подставляем его в остальные уравнения.

Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на 1 меньше.
С новой системой поступаем таким же образом и так продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко решается.
Когда получено значение последнего неизвестного x_n, подставляем его в уравнение, которое позволяет найти x_n – 1 по x_n.
По найденным x_n – 1 и x_n находим x_n – 2 и таким образом находим последовательно все неизвестные.

Для систем нелинейных уравнений этот метод не всегда применим уже в силу того, что из уравнений системы совсем не обязательно можно будет выразить одну неизвестную через остальные.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Гаусса
Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений

x₁ – 2x₂ + x₃ + x₄ = –1;

3x₁ + 2x₂ – 3x₃ – 4x₄ = 2;

2x₁ – x₂ + 2x₃ – 3x₄ = 9;

x₁ + 3x₂ – 3x₃ – x₄ = –1.
Решение: Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:

1 –2 1 1 –1

B = 3 2 –3 –4 2

2 –1 2 –3 9

1 3 –3 –1 –1
Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:
1 –2 1 1 –1

0 8 –6 –7 5

0 3 0 –5 11

0 5 –4 –2 0
Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:
1 –2 1 1 –1

0 –1 –6 8 –28

0 0 –1 0 –3

0 0 0 19 –19
Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

x₁ – 2x₂ + x₃ + x₄ = –1;

X₂ – 6x₃ + 8x₄ = –28;

– x₃ = –3;

19x₄ = –19.

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x₄ = –1, из третьего х₃ = 3. Подставив значения х₃ и x₄ во второе уравнение, найдем x₂ = 2. Подставив значения x₂, x₃, x₄ в первое уравнение, найдем x₁ = 1.

Ответ. (1; 2; 3;-1).

Пример 2

Решить систему уравнений

Решение:

Выразим из первого уравнения переменную x: описание: https://college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261514441152-5.gif

и подставим её во второе и третье уравнения:

описание: https://college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261514441168-6.gif

Выразим теперь из второго уравнения переменную

и подставим её в третье уравнение системы:

описание: https://college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261514441293-8.gif

Теперь третье уравнение зависит только от y и мы можем его решить:

Итак, переменная y найдена. По уже полученным формулам для x и z мы можем последовательно их найти:

Ответ. (2; –1; 1).

Этот метод иногда можно применить и для решения нелинейных систем.

Пример 3

Решить систему уравнений

описание: https://college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261514441590-12.gif

Решение:

Выразим z из второго уравнения: z = 1 + 2x – y и подставим его в первое и третье уравнения. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Опять из первого уравнения выражаем y (её легче выразить, чем x):

Подставляем y во второе уравнение и получаем:

Теперь по найденному x находим y и z:

Ответ. (1; 0; 3), (–1; –2; 1).

Контрольные вопросы:

понятие определителя n-ого порядка;
методы решения систем линейных уравнений;
решение систем линейных уравнений методом Крамера;
формулы Крамера;
решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Порядок выполнения работы:

Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание
Соответствующим образом оформить работу

Лист 1.

Практическая работа № 8 по теме

« Решение систем линейных алгебраических уравнений различными способами»

Выполнил:__________

(ФИО)

группа:_____________
Проверил:__________

Оценка:____________

Лист 2.
№ примера
Решение:
Ответ:

Оформление работы:

Примеры по теме:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

ВАРИАНТ 1
Решить системы:

ВАРИАНТ 2
Решить системы:

ВАРИАНТ 3
Решить системы:

ВАРИАНТ 4
Решить системы:

ВАРИАНТ 5
Решить системы:

ВАРИАНТ 6
Решить системы:

ВАРИАНТ 7
Решить системы:

ВАРИАНТ 8
Решить системы:

Примеры по теме:

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

ВАРИАНТ 1
Решить системы:

ВАРИАНТ 2
Решить системы:

ВАРИАНТ 3
Решить системы:

ВАРИАНТ 4
Решить системы:

ВАРИАНТ 5
Решить системы:

ВАРИАНТ 6
Решить системы:

ВАРИАНТ 7
Решить системы:

ВАРИАНТ 8
Решить системы:

Методические указания по проведению

практической работы № 9

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Цель работы:
Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме»
Перечень справочной литературы :

Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.
Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.
Шипачев В.С. Основы высшей математика: учебник для вузов. -М. Высш.шк., 2010 г.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. -М. Высш.шк., 2010 г.

Краткие теоретические сведения:

Основные понятия

Квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Комплексным числом - называется выражение вида z = a+b i , где a и b действительные числа, число а называется действительной частью комплексного числа z = a+b·i, а число b – его мнимой частью, а i – мнимая единица, определяемая равенством i ² = -1.

Например, действительная часть комплексного числа z = 2+3·i равна a =2, а мнимая равна b = 3.

Действительные числа: z=a+0i=a, z=Re z.

Мнимые числа: z=0+bi=bi, z=Im z.

Равные комплексные числа: z₁=a+bi, z₂=c+di, z₁=z₂, если a=c, b=d.

Противоположные комплексные числа: z=a+bi, z=-a-bi.

Сопряженные комплексные числа: z=a+bi, z=a-bi.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел: z =a + bi

Сложение и умножение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁=a+b·i и z₂= c+d·i называется комплексное число: z = z₁+ z₂ = (a+b·i ) + ( c+d·i ) = (a+c) + (b+d)·i,

Произведением двух комплексных чисел z₁=a+b·i и z₂= c+d·i называется комплексное число : z = z₁· z₂ =( a+b·i )·( c+d·i )=(a·c – b·d) + (a·d + b·c)·i

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i²= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z₁+Z₂=Z₂+Z₁, Z₁·Z₂=Z₂·Z₁

Сочетательное свойство:

(Z₁+Z₂)+Z₃=Z₁+(Z₂+Z₃), (Z₁·Z₂)·Z₃=Z₁·(Z₂·Z₃)

Распределительное свойство:

Z₁·(Z₂+Z₃)=Z₁·Z₂+Z₁·Z₃

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Рисунок 1.

Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов (Рис.1).

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z₁ и Z₂ существует, и притом только одно, число Z, такое, что: Z + Z₂=Z₁Z = Z₁– Z₂

Число Z=Z₁+(-Z₂ )называют разностью чисел Z₁ и Z₂.

Z= (a+b·i ) - ( c+d·i ) = (a-c) + (b-d)·i,

Деление вводится как операция, обратная умножению: Z×Z₂=Z₁

Разделив обе части на Z₂ получим: Z=

Из этого уравнения видно, что Z₂

0

Производится умножение делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Z=

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Рисунок 2

Разности Z₂– Z₁ комплексных чисел Z₁ и Z₂, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z₁ и Z₂. Модуль

разности двух комплексных чисел Z₂ и Z₁ по определению модуля есть длина вектора Z₂– Z₁. Построим этот вектор, как сумму векторов Z₂ и (–Z₁) (рисунок 2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Примеры вычислений

Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z₁=2 – 3×i и

Z₂= –7 + 8×i.

Z₁ + Z₂ = 2 – 7 + (–3 + 8)×i = –5 + 5×i

Z₁×Z₂= (2 – 3×i)×(–7 + 8×i) = –14 + 16×i + 21×i + 24 = 10 + 37×i

Пример 2: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z₁=1 + 2×i и Z₂= 2 - i.

Имеем

Пример 3:

Даны комплексные числа Z₁= 4 + 5·i и Z₂= 3 + 4·i. Найти разность Z₂ – Z₁ и частное

Z₂ – Z₁= (3 + 4·i) – (4 + 5·i) = –1 – i

Контрольные вопросы:

понятие комплексного числа (К.Ч.);
алгебраическая форма записи К.Ч;

- арифметические операции над К.Ч.

Порядок проведения работы:

Используя теоретические сведения выполнить предложенный преподавателем вариант задания.
Соответствующим образом оформить работу

Лист 1.

Самостоятельная работа по теме

«Действия над комплексными числами»

Выполнил:__________

(ФИО)

группа:_____________
Проверил:__________

Оценка:____________

Лист 2.
№ примера
Решение:
Ответ:

Задания
Вариант № 1

Дано комплексное число

Z = 21 – 4 i

Записать число равное, противоположное, сопряженное исходному.

Выполнить действие

Z = ( 3 - 2 i + ( - 6 - 2 i )

Выполнить умножение

Z = ( 3 + 4 i ) ( 1 + 3 i )

Выполнить деление

Z = ( - 6 + 2 i )) : ( 3 - 4 i )

Выполнить действия

Z = ( 5 + 2 i ) : ( 2 - 5 i ) + (7 + 3 i ) : ( 1 - 2 i )

Вариант № 2

Дано комплексное число

Z = 3 + 9 i

Записать число равное, противоположное, сопряженное исходному.

Выполнить действие

Z = ( 5 + 3 i ) + ( - 2 - 5 i )

Выполнить умножение

Z = ( -2 + 3 i ) ( -1 - 6 i )

Выполнить деление

Z = ( 4 +- 3 i ) : ( -2 - 5 i )

Выполнить действия

Z = ( -1 + 3 i ) : ( 5 + i ) - ( 3 - 4 i ) : ( 4 + 3 i )

Методические указания по проведению

практической работы № 8

Решение систем линейных алгебраических уравнений различными способами

Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. -М. Высш.шк., 2010 г.

Краткие теоретические сведения

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Методические указания по проведению

практической работы № 9

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. -М. Высш.шк., 2010 г.

Основные понятия

Алгебраическая форма записи комплексных чисел: z =a + bi

Сложение и умножение комплексных чисел

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел

Примеры вычислений