Решение задач B14 с помощью производных

Название	Решение задач B14 с помощью производных
Дата	29.02.2016
Размер	50.61 Kb.
Тип	Решение

Решение задач B14 из ЕГЭ по математике

Задача B14 из ЕГЭ 2012 по математике соответствует задаче B11 из ЕГЭ 2011 по математике и представляет собой задание на исследование элементарных функций (дробно-рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических). Чаще всего это исследование сводится к нахождению наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке или же максимума (минимума) функции. Существует два различных подхода к решению этих задач: с использованием и без использования понятия производной функции.

Решение задач B14 с помощью производных

Что нужно знать для решения задач на исследование функций с помощью понятия производной из ЕГЭ по математике. Выделим здесь три основных пункта:

1. Безупречное знание производных элементарных функций, изучаемых в школьном курсе математики. Обязательно выучите из наизусть!

Таблица производных элементарных функций

Функция	Производная
Постоянная	$(c)\' = 0,\, c = const$
Степенная	$\left(x^{\alpha})\' = \alpha\cdot x^{\alpha-1}\right,\, \alpha\in r$
Показательная	$\left(a^x\right)\' = a^x\ln a,\, a>0,\, a\ne 1$
Экспоненциальная	$\left(e^x\right)\'=e^x$
Синус	$\left(\sin x\right)\' = \cos x$
Косинус	$\left(\cos x\right)\'=-\sin x$
Тангенс	$\left(\operatorname{tg} x\right)\'=\frac{1}{\cos^2 x},\, x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\, k\in z$
Котангенс	$\left(\operatorname{ctg} x\right)\'=-\frac{1}{\sin^2 x},\, x\ne\pi k,\, k\in z$
Логарифмическая	$\left(\log_a x\right)\' = \frac{1}{x\ln a},\, x>0,\, a>0,\, a\ne 1$
Натуральный логарифм	$\left(\ln x\right)\' = \frac{1}{x},\, x>0$
Арксинус	$\left(\operatorname{arcsin} x\right)\' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\, \|x\|<1$
Арккосинус	$\left(\operatorname{arccos} x\right)\' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\, \|x\|<1$
Арктангенс	$\left(\operatorname{arctg} x\right)\' = \frac{1}{1+x^2}$
Арккотангенс	$\left(\operatorname{arcctg} x\right)\' = -\frac{1}{1+x^2}$

2. Безупречное знание и умение применить на практике основные правила вычисления производных. Это одно из основополагающих обстоятельств, определяющих математическую грамотность человека.

Основные правила вычисления производных

Название правила	Математическое описание
Производная суммы функций	$(f+g)\'=f\'+g\'$
Производная разности функций	$(f-g)\'=f\'-g\'$
Производная произведения функций	$(f\cdot g)\'=f\'\cdot g+f\cdot g\'$
Производная частного функций	$\left(\frac{f}{g}\right)\'=\frac{f\'\cdot g-f\cdot g\'}{g^2},\,g\ne 0$

Правило вычисления производной произведения имеет полезное следствие, которое также требуется запомнить: если

то $(c\cdot g)\'=c\cdot g\'$ (постоянный множитель можно выносить за знак производной).

3. Знание и понимание алгоритмов нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции, а также максимума (минимума) функции с использованием понятия производной функции Когда дело доходит до алгоритмов, без конкретных примеров не обойтись, разбором которых мы сейчас и займемся.

Алгоритм нахождения наименьшего или наибольшего значения функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке

Задача для самостоятельного решения №1. Найдите наибольшее значение функции $y=x+\frac{9}{x}$ на отрезке

Алгоритм нахождения точки максимума или минимума функции

алгоритм нахождения максимума или минимума функции

Решение задач B14 без использования понятия производной

Возможно некоторым школьникам, привыкшим решать задачи по математике исключительно по отработанному алгоритму, изложенное далее покажется излишним, ведь все предлагаемые в B14 задания из ЕГЭ можно решить с помощью производной. Однако, это вовсе не означает, что данный способ во всех случаях оказывается простейшим из возможных. Чтобы в этом убедиться, предлагаю вам самостоятельно выполнить следующие несложные задания:

1) найдите наименьшее и наибольшее значения функции

на отрезке

Показать решение

Эта функция возрастает на данном отрезке (коэффициент при

положителен), поэтому наименьшего в нем значения она достигает на его левом конце $y_{\operatorname{min}} = y(1) = 5,$ а наибольшего — на правом $y_{\operatorname{max}} = y(4) = 23.$

2) для функции

найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Показать решение

Графиком данной квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при

положителен), а абсцисса ее вершины равна $x_0=-\frac{b}{2a}=2.$ Эта точка принадлежит отрезку

в ней функция достигает своего наименьшего значения на этом отрезке $y_{\operatorname{min}} = y(2) = 1.$ Наибольшее значение на рассматриваемом отрезке функция достигает в том из его концов, который наиболее удален от

то есть $y_{\operatorname{max}} = y(5) = 10.$

3) найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=4\cos x -1$ на отрезке

Показать решение

Длина рассматриваемого отрезка больше $2\pi$ (основного периода синусоиды). Следовательно, на отрезке

функция $f(x) = \cos x$ принимает свое наибольшее

и наименьшее

значения. Вместе с тем свои наибольшее $4\cdot 1-1 = 3$ и наименьшее $4\cdot (-1)-1 = -5$ значения принимает и исходная функция.

Замена переменной

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции $y=-\sin^22x-\cos 2x +1$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем функцию к виду: $y=\cos^2 2x-\cos 2x.$ Используем замену $t=\cos 2x.$ Так как $x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$ то $t\in[-1;1].$

Ищем тогда наименьшее значение функции

на отрезке

Оно достигается в вершине данной параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент при

положителен), то есть в точке $t_0=-\frac{b}{2a} = \frac{1}{2},$ исходная переменная принимает при этом значение $x_0 = \frac{\pi}{6}.$

Соответствующее значение функции равно $y_{\operatorname{min}} = y\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{4}.$

Ответ: $-\frac{1}{4}.$

Задача для самостоятельного решения №4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=6\sqrt{2x-3}-2x$ на отрезке

Показать ответ

Ответ: $y_{\operatorname{min}} = 2,$ $y_{\operatorname{max}} = 6.$