Применение технологии модульного обучения на уроках математики
 Скачать 154.89 Kb.
|
Применение технологии модульного обучения на уроках математики.Вариативность учебных школьных планов, альтернативные учебники и программы по математике, достижение максимальных результатов при ограниченном учебном времени на изучение большого объёма учебного материала – всё это создаёт определённые трудности в преподавании предмета. Рано или поздно встаёт проблема поиска технологии обучения, позволяющей практически решить эти трудности. В настоящее время существует множество технологий, значительно влияющих на результативность образовательного процесса. Мое внимание привлекает модульная технология, обеспечивающая высокий уровень индивидуализации обучения и формирование общеучебных умений и навыков учащихся. Отличие модульного обучения от других педагогических технологий заключается в том, что учащиеся на уроке работают самостоятельно, руководствуясь технологической картой, состоящей из разноуровневых элементов. Задания учебных элементов модуля направлены на активное чтение изучаемого текста учебника, дополнительной литературы. Учащиеся из пассивных исполнителей и наблюдателей превращаются в активных участников процесса самообразования. Теория модульного обучения подробно изложена в работах Шамовой Т.И., Юцявичене П.А., И.Б.Сенновского, П.И.Третьякова и др. Система работы: Модульные уроки удобно использовать в 10–11-х классах как обобщение после изучения основного материала по теме. Работа по модульной системе начинается с планирования и определения целей и конечных результатов обучения. Учебный материал разбивается на отдельные логически завершенные учебные элементы (блоки) и определяются цели и рекомендации для каждого из них. После чего составляются модульная программа и технологические карты, содержащие разноуровневые обучающие модули и определяются способы учебной деятельности учащихся. По количеству учащихся делается распечатка технологических карт. В начале изучения блока проводится рекомендательная беседа, поясняющая содержание каждого модуля данного блока. По результатам работы учащийся может получить комплексную оценку за все модули блока или за каждый из модулей в отдельности. Учащийся имеет право пересдать тот или иной модуль из блоков, если более глубоко изучил его, чем на момент контроля. По итогам работы над блоком проводятся консультации и зачёт. Опыт показывает, что учащимся эта система обучения нравится, растёт познавательный интерес к предмету, вырос уровень самостоятельности учащихся по освоению содержания учебного материала, учащиеся учатся осуществлять самоконтроль, сопоставлять результаты самостоятельной работы и её цели. Ниже представлены модули по темам: «Показательные уравнения» и «Тригонометрические уравнения» Вариант №1. Уровень 1. Модуль 1. 1. Вспомните основные свойства степеней. Уверенное владение необходимым набором формул и свойств избавит Вас от множества непростительных ошибок и сэкономит время для решения более сложных заданий. Решение большинства показательных уравнений сводится к решению простейших уравнений вида  ,  , а 1. Из монотонности показательной функции следует   . Решите самостоятельно: 1.1. 25х + 1 = 23х + 7, (1балл); 1.2. 4х – 3 = 16, (1балл); 1.3. 56х + 4 = 1, (1балл); 1.4.  , (2 балла); 1.5. 110,3х = 0, (1балл); 1.6.  , (2 балла). Модуль 2. 2. Метод уравнивания оснований. Решите уравнения,  Пример: Решить уравнение  . Решение: Используя формулу и свойства степеней, приведём уравнение к виду  .Это уравнение равносильно уравнению 2х2 – 4х = - 6. Решая квадратное уравнение х2 – 2х + 3 = 0, получаем корни уравнения х1 = - 1, х2 = 3. Ответ: х1 = - 1, х2 = 3. Решите самостоятельно: 2.1.  , (1 балл); 2.2.  , (2 балла);
Модуль 3. 3. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения. Пример: Решить уравнение 2 . 3х +1 – 6 . 3х – 1 – 3х = 9 Решение: Выносим за скобки степень с наименьшим показателем (так как а > 1), то есть, совершаем операцию деления. При делении основание степени остаётся прежним, а показатели вычитаются. 3х – 1(2 . 32 – 6 – 3) = 9; 3х – 1 . 9 = 9; 3х – 1 = 1; х – 1 = 0; х = 1. Ответ: х = 1. Решите самостоятельно: 3.1. 7 . 5х – 5х + 1 = 2 . 5-3 , (2 балла); 3.2.  , (4 балла). Модуль 4. 4. Метод введения новой переменной (способ подстановки). Приняв  , t >0, сводим показательное уравнение к алгебраическому.Пример: Решить уравнение  Решение: Положив  , t >0, переходим к квадратному уравнению t2 – 10t + 9 = 0, корни которого t1 = 1 > 0, t2 = 9 > 0. Значит,  и  , откуда х1 = 0, х2 = 2. Ответ: х1 = 0, х2 = 2. Решите самостоятельно: 4.1 32х – 2 . 3х – 3 = 0; (2 балла) 4.2.  , (3 балла). Модуль 5. 5. Метод решения однородных уравнений. Решение однородных уравнений первой степени вида  сводится к делению обеих частей уравнения на  , а однородных уравнений второй степени вида  соответственно на  .Пример: Решить уравнение  Решение: Запишем уравнение в виде  . Относительно переменных 5х и 4х уравнение однородное второй степени. Поделим обе части уравнения на 42х  . Получаем  ; Положив  , t >0, переходим к квадратному уравнению 4t2 – 9t + 5 = 0, корни которого t1 = 1 > 0, t2 =  > 0. Значит,  и  , откуда х1 = 0, х2 = 1. Ответ: х1 = 0, х2 = 1 Решите самостоятельно: 5.1.  , (2 балла); 5.2. , (3 балла). Уровень 2. Модуль 6. Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно: 6.1.  (1 балл); 6.2. 2х -1 + 2х + 1 = 20 (1 балл); 6.3. 4 х -2 = 0,51 - х (2 балла);6.4. 3 х+2 + 3х + 1 + 3х = 39, (2 балла). Уровень 3. Модуль 7. Молодец! Вы освоили решение уравнений II уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях. 7.1. 9х + 6х = 22х + 1 , (2 балла); 7.2.  , (3 балла);7.3.  , (3 балла); 7.4.  , (3 балла).Вариант №2. Уровень 1. Модуль 1. 1. Вспомните основные свойства степеней. Уверенное владение необходимым набором формул и свойств избавит Вас от множества непростительных ошибок и сэкономит время для решения более сложных заданий. Решение большинства показательных уравнений сводится к решению простейших уравнений вида , , а1. Из монотонности показательной функции следует . Решите самостоятельно: 1.1. 37х + 2 = 93х , (1балл); 1.2. 5х – 4 = 125, (1балл); 1.3. 123х + 1 = 1, (1балл); 1.4.  , (2 балла); 1.5. 80,4х = 0, (1балл); 1.6.  , (2 балла). Модуль 2. 2. Метод уравнивания оснований. Решите уравнения, Пример: Решить уравнение . Решение: Используя формулу и свойства степеней, приведём уравнение к виду .Это уравнение равносильно уравнению 2х2 – 4х = - 6. Решая квадратное уравнение х2 – 2х + 3 = 0, получаем корни уравнения х1 = - 1, х2 = 3. Ответ: х1 = - 1, х2 = 3. Решите самостоятельно: 2.1.  , (1 балл); 2.2.  , (2 балла);
Модуль 3. 3. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения. Пример: Решить уравнение 2 . 3х +1 – 6 . 3х – 1 – 3х = 9 Решение: Выносим за скобки степень с наименьшим показателем (так как а > 1), то есть, совершаем операцию деления. При делении основание степени остаётся прежним, а показатели вычитаются. 3х – 1(2 . 32 – 6 – 3) = 9; 3х – 1 . 9 = 9; 3х – 1 = 1; х – 1 = 0; х = 1. Ответ: х = 1. Решите самостоятельно: 3.1. 2х - 1 + 2х - 2 + 2 х - 3 = 448, (2 балла); 3.2.  , (4 балла). Модуль 4. 4. Метод введения новой переменной (способ подстановки). Приняв , t >0, сводим показательное уравнение к алгебраическому.Пример: Решить уравнение Решение: Положив , t >0, переходим к квадратному уравнению t2 – 10t + 9 = 0, корни которого t1 = 1 > 0, t2 = 9 > 0. Значит, и , откуда х1 = 0, х2 = 2. Ответ: х1 = 0, х2 = 2. Решите самостоятельно: 4.1. 4х – 10 . 2х - 1 – 24 = 0; (2 балла) 4.2.  , (3 балла). Модуль 5. 5. Метод решения однородных уравнений. Решение однородных уравнений первой степени вида сводится к делению обеих частей уравнения на , а однородных уравнений второй степени вида соответственно на .Пример: Решить уравнение Решение: Запишем уравнение в виде . Относительно переменных 5х и 4х уравнение однородное второй степени. Поделим обе части уравнения на 42х . Получаем ; Положив , t >0, переходим к квадратному уравнению 4t2 – 9t + 5 = 0, корни которого t1 = 1 > 0, t2 = > 0. Значит, и , откуда х1 = 0, х2 = 1. Ответ: х1 = 0, х2 = 1 Решите самостоятельно: 5.1.  , (2 балла); 5.2. , (3 балла). Уровень 2. Модуль 6. Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно: 6.1.  (1 балл); 6.2. 3х +1 + 3х = 108 (1 балл); 6.3. 2 х + 5 + 23 . 2х - 1 – 22 = 0, (2 балла);6.4. 2 . 3 х+1 – 6 . 3х - 1 = 12, (2 балла). Уровень 3. Модуль 7. Молодец! Вы освоили решение уравнений II уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях. 7.1. 22х+ 1 + 2х + 2 - 16 = 0, (2 балла); 7.2.  , (3 балла);7.3.  , (3 балла); 7.4.  , (3 балла).Тема «Тригонометрические уравнения» Вариант №1. Уровень 1. 1. Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Решите самостоятельно: 1.1. cosx =  , (1балл); 1.2. sinx = , (1балл); 1.3. tgx = 1, (1балл); 1.4. cos = 0, (2 балла); 1.5. 2cosx = 1, (1балл); 1.6. 3tgx = 0, (1балл); 1.7. sin 4x = 1, (2 балла). Уровень 2. 2. Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (sinx, cosx, tgx) или их комбинацию обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t. Пример: Решить уравнение 4 – cos2x = 4sinx. Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x. Тогда исходное уравнение примет вид: 4 – (1 - sin2x) = 4sinx, 3 + sin2x = 4sinx, sin2x - 4sinx + 3 = 0. Обозначив sinx = t, получим квадратное уравнение t2 – 4t + 3 = 0, которое имеет корни t1 = 1; t2 = 3. Значит исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx = 1, тогда х =  или sinx = 3, которое не имеет решений.Ответ: х = Решите самостоятельно: 2.1. tg2x – 3tgx + 2 = 0, (2 балла); 2.2. 2cos2x + 5sinx – 4 = 0, (3 балла); 2.3.  + 2sinx = 3, (3 балла).Уровень 3. 3. Метод решения однородных уравнений. Однородными называются уравнения вида a sinx + b cosx = 0, a sin2 x + b sinx cosx + c cos2 x = 0, где a, b, c – числа. Решение однородных уравнений сводится к делению обеих частей уравнения на cosx или cos2x соответственно. Пример: Решить уравнение 5 sinx – 2cosx = 0. Решение: Поделим обе части уравнения на cosx, предварительно доказав, что cosx не равно 0. Если cosx = 0, то 5 sinx – 2 . 0 = 0. Т.е. sinx = 0. Но sinx и cosx одновременно быть равными 0 не могут, т.к. в этом случае не выполняется тождество sin2 x + cos2 x = 1. Значит, можно поделить уравнение на cosx.  , получим 5 tgx – 1 + 0. Т. е. tgx = 2/5, отсюда x = arctg(2/5) +  Ответ: x = arctg(2/5) + Решите самостоятельно: 3.1. sinx – cosx = 0, (2 балла); 3.2. sin2x – sin 2x = 3 cos2x, (3 балла). Уровень 4. 4. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения. Пример: Решите уравнение 2 sin3x – cos2x - sinx = 0. Решение: Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а cos2x представим в виде 1 – 2sin2x. Получим (2 sin3x – sinx) – (1 – 2sin2x) = 0, из выражения, стоящего в первых скобках вынесем sinx, а из вторых скобок – (-1). Уравнение примет вид sinx(2 sin2x – 1) + (2sin2x - 1) = 0, (2 sin2x – 1)(sinx + 1) = 0, это уравнение равносильно совокупности уравнений 2 sin2x – 1 = 0 или sinx + 1 = 0, sin2x = 1/2, sinx = -1, sinx =  , x = -x =  Ответ: x = x = -Решите самостоятельно: 4.1 sin2x – sinx = 0, (2 балла), 4.2. 3cosx + 2sin2x = 0, (3 балла). Уровень 5. Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно: 5.1. cos2x – 5sinx – 3 = 0, (1 балл); 5.2. sin2x + cos2x = 0, (1 балл); 5.3. cos2x – cos2x = sinx, (2 балла); 5.4. sin4x – cos2x = 0, (2 балла); 5.5. 5 – 5cos  , (2 балла). Уровень 6. Молодец! Вы освоили решение уравнений I уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях. 6.1. sin6x + cos6x = 1 – 2sin3x, (2 балла); 6.2. 29 – 36sin2(x – 2) – 36cos(x – 2) = 0, (3 балла); 6.3. 2sinx cosx +  - 2cosx - sinx = 0, (2 балла); 6.4. sin4x = 2cos2x -1, (2 балла);6.5. sinx (sinx + cosx) = 1, (3 балла); 6.6.  , (3 балла).Вариант №2. Уровень 1. 1. Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Решите самостоятельно: 1.1. sinx = - , (1балл); 1.2. cosx = , (1балл); 1.3. ctgx = -1, (1балл); 1.4. sin = 0, (2 балла); 1.5. 4sinx = 2, (1балл); 1.6. cos4x = 0, (2 балла); 1.7. 5tgx = 0, (1 балл). Уровень 2. 2. Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (sinx, cosx, tgx) или их комбинацию обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t. Пример: Решить уравнение 4 – cos2x = 4sinx. Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x. Тогда исходное уравнение примет вид: 4 – (1 - sin2x) = 4sinx, 3 + sin2x = 4sinx, sin2x - 4sinx + 3 = 0. Обозначив sinx = t, получим квадратное уравнение t2 – 4t + 3 = 0, которое имеет корни t1 = 1; t2 = 3. Значит исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx = 1, тогда х = или sinx = 3, которое не имеет решений.Ответ: х = Решите самостоятельно: 2.1. 2 + cos2x – 3cosx = 0, (2 балла); 2.2. 4 – 5cosx – 2 sin2x = 0, (3 балла); 2.3. + 2sinx = 3, (3 балла).Уровень 3. 3. Метод решения однородных уравнений. Однородными называются уравнения вида a sinx + b cosx = 0, a sin2 x + b sinx cosx + c cos2 x = 0, где a, b, c – числа. Решение однородных уравнений сводится к делению обеих частей уравнения на cosx или cos2x соответственно. Пример: Решить уравнение 5 sinx – 2cosx = 0. Решение: Поделим обе части уравнения на cosx, предварительно доказав, что cosx не равно 0. Если cosx = 0, то 5 sinx – 2 . 0 = 0. Т.е. sinx = 0. Но sinx и cosx одновременно быть равными 0 не могут, т.к. в этом случае не выполняется тождество sin2 x + cos2 x = 1. Значит, можно поделить уравнение на cosx. , получим 5 tgx – 1 + 0. Т. е. tgx = 2/5, отсюда x = arctg(2/5) + Ответ: x = arctg(2/5) + Решите самостоятельно: 3.1. 5sinx + 6cosx = 0, (2 балла); 3.2. 3sin2x – 2sin 2x + 5 cos2x = 2, (3 балла). Уровень 4. 4. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения. Пример: Решите уравнение 2 sin3x – cos2x - sinx = 0. Решение: Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а cos2x представим в виде 1 – 2sin2x. Получим (2 sin3x – sinx) – (1 – 2sin2x) = 0, из выражения, стоящего в первых скобках вынесем sinx, а из вторых скобок – (-1). Уравнение примет вид sinx(2 sin2x – 1) + (2sin2x - 1) = 0, (2 sin2x – 1)(sinx + 1) = 0, это уравнение равносильно совокупности уравнений 2 sin2x – 1 = 0 или sinx + 1 = 0, sin2x = 1/2, sinx = -1, sinx = , x = -x = Ответ: x = x = -Решите самостоятельно: 4.1 tg2x – 4tgx = 0, (2 балла), 4.2. 5sin2x - 2sinx = 0, (3 балла). Уровень 5. Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно: 5.1. cos2x + 3sinx = 2, (1 балл); 5.2. sin2x - cos2x = 0, (1 балл); 5.3. 6 - 10cos2x + 4cos2x = sin2x, (2 балла); 5.4. cosx cos2x = 1, (2 балла); 5.5. cos2  , (2 балла). Уровень 6. Молодец! Вы освоили решение уравнений I уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях. 6.1. sin6x + cos6x = 1 – 2sin3x, (2 балла); 6.2. 29 – 36sin2(x – 2) – 36cos(x – 2) = 0, (3 балла); 6.3. 2sinx cosx + - 2cosx - sinx = 0, (2 балла); 6.4. sin4x = 2cos2x -1, (2 балла);6.5. sinx (sinx + cosx) = 1, (3 балла); 6.6. , (3 балла).Каждому учащемуся выдается технологическая карта с перечнем заданий. Самостоятельной работе учащихся предшествует краткий инструктаж, занимающий не более 1 минуты, так как необходимая информация содержится в раздаточном материале. Учитель по ходу урока, наблюдая и направляя деятельность учащихся, управляет процессом обучения. Литература:
|
, (3 балла).