Научно-исследовательская работа по математике
 Скачать 125.17 Kb.
|
| Муниципальное образовательное учреждение «Гимназия имени А.М. Горького» Москаленского муниципального района Омской области  (научно-исследовательская работа по математике) Выполнил: Окунев Дмитрий Олегович, ученик 9 «Б» класса гимназии имени Горького А.М. Руководитель работы: Фабер Г. Н., учитель математики гимназии имени Горького А.М. Москаленки 2010 Введение В прошлом году на научно-практической конференции я выступал с исследовательской работой на тему: «Этот удивительный лист Мёбиуса». Я узнал, что лист Мёбиуса поверхность односторонняя, поэтому должен обладать определёнными свойствами, которые я впоследствии выявил и доказал. Изучая все аспекты данной темы, я узнал, что существует множество односторонних поверхностей, исследовать которые тоже можно. Из всего перечня поверхностей я выбрал так называемую бутылку Клейна, так как она напрямую связана с листом Мёбиуса и, действительно, является загадочной. Я докажу это и познакомлю вас с удивительным чудом современной науки. Актуализация Я считаю, что моя работа актуальна, так как в науке математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо. У многих учащихся сейчас недостаточно развито пространственное воображение. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность. Я выбрал тему бутылка Клейна, потому что считаю, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение. Гипотеза Я счёл важным показать, что данная поверхность полна неожиданностей. Я предполагаю, что бутылка Клейна, как топологическая фигура, обладает сходными с листом Мёбиуса свойствами и может быть сконструирована разными способами. Объект исследования Бутылка Клейна как модель односторонней поверхности. Предмет исследования Свойства односторонней поверхности на примере бутылки Клейна. Цели и задачи Цель работы: сконструировать модель бутылки Клейна, определить и проверить удивительные свойства бутылки Клейна. В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи: 1. изучение литературы; 2. изучение истории изобретения бутылки Клейна; 3. описание бутылки Клейна и процессов её изготовления; 4. показ использования бутылки Клейна на практике; 5. сравнение бутылку Клейна с листом Мёбиуса; 6. разработка и проведение практического занятия для учащихся; 7. разработка рекомендаций для учащихся, учителей. Методы исследования 1. Библиографический метод исследования 2. Практический эксперимент. Теоретическая значимость моей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии. Глава 1. Ф. Х. Клейн и его открытие.
Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). (См. Приложение 1 - «Бутылка Клейна»).
Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. (См. Приложение 2 – Ф. Х. Клейн).1.3. Сравнительная характеристика бутылки Клейна и листа Мёбиуса С целью подтверждения гипотезы я решил сравнить бутылку Клейна с объектом исследования моей прошлогодней работы – с листом Мёбиуса. И результат был удивителен – все свойства двух фигур абсолютно идентичны. (См. Приложение 3 – Сравнительная характеристика). Следовательно, бутылка Клейна, подобно листу Мёбиуса является топологическим объектом. Значит, бутылка Клейна обладает топологическими свойствами. 1.4. Топологические свойства бутылки КлейнаТопологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании. К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся: 1.хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6. Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по воду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересекались. Сделать это не умудрился никто, но лишь сравнительно недавно математики строго доказали, что задача неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными словами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку. (См. Приложение 4 – Свойства бутылки Клейна). 2.непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. 3.ориентированность. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней. Выводы:Изучив литературу, рассмотрев историю изобретения бутылки Клейна и, проведя сравнительную характеристику, выяснил, что бутылка Клейна является односторонней поверхностью, топологическим объектом и обладает топологическими свойствами.Глава 2. Эта загадочная бутылка Клейна 2.1. Конструирование бутылки Клейна Я выяснил, что бутылка Клейна – это одностороння неориентируемая поверхность. Она не может быть вложена в R3, а значит, в идеальном виде не может быть получена. Поэтому, я предположил, что в R3 можно сконструировать только модель бутылки Клейна, да ещё и из разных материалов и разным способом.Способ № 1. Получение бутылки Клейна из бумаги. Прежде всего, нужно взять бумажный квадрат, перегнуть его пополам и соединить клейкой лентой его стороны. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки. Правда, там, где поверхность самопересекается, в нашей модели прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так, чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края. (См. Приложение 5а – Конструирование бутылки Клейна). Способ № 2. Получение бутылки Клейна из стандартной пластмассовой бутылки. Необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки. (См. Приложение 5б – Конструирование бутылки Клейна).Способ № 3. Получение бутылки Клейна из одного цилиндра. Один из краёв цилиндра изгибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. (См. Приложение 5в – Конструирование бутылки Клейна).Способ № 4. Получение бутылки Клейна из ткани. Целесообразно взять кусок носка или колготок и проделать с ними то же, что и с цилиндром. (См. Приложение 5г – Конструирование бутылки Клейна).Способ № 5. Получение бутылки Клейна склеиванием двух листов Мёбиуса. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве R3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно. Поэтому Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство R3, но вкладывается в R4. (См. Приложение 5д – Свойства бутылки Клейна). Способ № 6. Получение бутылки Клейна из пластилина. Относясь к своей работе с творчеством, я придумал способ, принцип которого не наблюдается у вышеперечисленных. Чтобы получить бутылку Клейна из пластилина, нужно взять пластилин и «строить» бутылку, начиная снизу. (См. Приложение 5е – Конструирование бутылки Клейна).2.2. Применение бутылки Клейна Бутылка Клейна в литературе Бутылка Клейна вдохновила многих поэтов и писателей на создание литературных шедевров на основе её свойств. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора: Великий Феликс, Славный Клейн, Мудрец из Геттингена, Считал, что Мебиуса лист— Дар свыше несравненный. Гуляя как-то раз в саду. Воскликнул Клейн наш пылко: "Задача проста — Возьмем два листа И склеим из них бутылку." Но не один неизвестный автор знаком со свойствами бутылки Клейна. Так в рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения. А. Дейч написал юмореску «Бутылка Клейна». Ее идея в двух словах: в некоем городе метрополитен развился до такой степени, что топологическая сложность всех ее пересекающихся линий перешла некую допустимую границу — и в результате один за другим целые поезда вдруг исчезали из трехмерного пространства, возвращаясь назад лишь через месяц-другой. Бутылка Клейна в искусстве Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна. Бутылка Клейна как начало для новой профессии Если мы пустим муравья ползать по бутылке Клейна и увидим, что, не переползая ни разу через край, путешественник побывает и вовне и внутри своего топологического муравейника. Американские небоскребы породили новую профессию — высотные мойщики стекол. Эти бесстрашные люди очищают грязь только с одной стороны — снаружи, а их менее квалифицированные собратья по цеху — только внутри. Представьте себе ужас «комнатного» мойщика, если, двигаясь вдоль стекла, он вдруг окажется над Нью-Йорком на высоте тридцатого этажа! Хорошо, что человеческие муравейники пока еще не используют фантазию топологов.Бутылка Клейна и изготовление стёкол Как уже было сказано, бутылку Клейна могут изготовить только высококвалифицированные стеклодувы. Но и они не смогут её изготовить в подлинном виде, так как место самопересечения будет запаяно. Но, не смотря на это, они отливают бутылки в качестве сувениров и даже соревнуются, у кого лучше и больше получилась бутылка. (См. Приложение 6 – Бутылка Клейна и изготовление стёкол). 2.3. Практическое занятие для учащихся Мною была проведена практическая работа по ознакомлению учащихся с загадочной бутылкой Клейна. Мы вместе с учащимися решили, что тема «Бутылка Клейна» должна быть включена в программу по математике в качестве дополнительного материала (См. Приложение 7 - Практическое занятие, тема: «Бутылка Клейна»). В конце моей практической работы каждый ученик получил буклет с информацией о бутылке Клейна (См. Приложение 8 - Буклет). Вывод: проведя ряд опытов по получению бутылки Клейна, я сформулировал несколько способов получения моделей бутылки, которые с удовольствием представлю публике. Я показал практическое применение бутылки Клейна и понял, что без неё в некоторых профессиях, в частности, в искусстве было бы трудно. Самые элементарные сувенир в виде бутылки Клейна удивительны, а в соответствии с менталитетом людей, все бы их покупали. Таким образом, бутылка Клейна приобрела бы популярность, и появилось бы много энтузиастов, желающих разгадать её секрет! Продолжая своё исследование, я разработал практическое занятие для учащихся и провёл его. Я считаю, что такие занятия необходимы, т.к. они расширяют кругозор знаний и помогают научиться чему-то новому, что возможно пригодится в будущем. 3. Заключение На основании полученных результатов, сделал следующие выводы: изучив всю литературу, касающуюся данной темы, подтвердил выдвинутую гипотезу путём сравнения двух топологических объектов; определил и проверил удивительные свойства бутылки Клейна. Также сконструировал бутылку Клейна разными способами. В течение исследования узнал о профессиях, в которых применяется бутылка Клейна. Закончив, исследование, провёл урок для учащихся, которые с энтузиазмом и со всем интересом меня слушали. А буклеты с информацией о бутылке Клейна и моими рекомендациями помогут им углубиться и попытаться самим разобраться в данной теме. Для учителей у меня тоже есть рекомендации: я советую учителям черчения научиться чертить бутылку Клейна такой, какой она должна быть; учителям технического творчества я рекомендую научиться конструировать бутылку Клейна из металла, дерева и других материалов; а математикам – больше изучать дополнительного материала, касающегося топологических фигур (См. Приложение 9 – Дополнительная литература), в частности, бутылки Клейна, чтобы также расширять кругозор учеников, учить их понимать стереометрию. Бутылка Клейна – это одна из односторонних поверхностей, открытых после изобретения листа Мёбиуса. Она приобрела известность за счёт своей необыкновенной формы и поистине неожиданных свойств. Открытие Ф. Х. Клейна дополнило уже развивающуюся ветвь геометрии – топологию, которая появилась после открытия того же самого листа Мёбиуса. Бутылка Клейна – это одна из неразгаданных тайн современной геометрии, нам только предстоит её разгадать и изобрести подлинную бутылку. Кстати, тот, кому это удастся, будет удостоен большой денежной премии. Бутылка Клейна может послужить примером для детей, чтобы они больше погружались в мир неразгаданного и неизвестного. Да, и учителям полезно изучать такие темы. Сам я хочу научиться строить «идеальную» бутылку Клейна и получить за это премию. Но и это не предел для моих исследований! Далее планирую углубиться в изучение опытов с разрезанием бутылки Клейна, потому что они довольны своеобразны и интересны. 4. Литература 1.М.Гарднер «Математические чудеса и тайны» «Наука» 1978 г., стр. 43 - 48. 2.Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс. «Просвещение» 2002 г.т стр. 63 - 67. 3.Современный словарь иностранных слов. «Русский язык» 1993гг, стр. 146, 468: 579, 612, 4.И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс. «Дрофа» 2000г.; стр. 69 - 72. 5.Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112. Интернет-ресурсы: 1.https://pictoris.ru/ 2. https://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_2.htm 3. https://whatisit.com.ua/index.php/other/288-2009-03-21-00-23-15 |