Главная страница
Анализ
Анкета
архив
Биография
Бюллетень
Викторина
Глава
Диплом
Доклад
Документация
Задача


Методическая разработка по теме: «Методика изучения темы: «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»



Скачать 495.27 Kb.
НазваниеМетодическая разработка по теме: «Методика изучения темы: «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»
страница3/4
Матвеенко В.Н
Дата09.03.2016
Размер495.27 Kb.
ТипМетодическая разработка
1   2   3   4

А

ерез точку А провести 2 пересекающиеся прямые параллельные данной плоскости

(
b
Прямая а ║ а1 и b║b1, a1, b1)





2
a1
) Эти две прямые задают плоскость α, которая будет параллельна данной.

3
b1
) Почему построенная плоскость  будет параллельна данной- ?
(От противного: если =с что или ac и  или bc и , а это противоречит тому, что а║ и b║ , значит  и  не пересекаются, т. е. параллельны.)

  • Как вы строили плоскость ║

Исходя из построения, сформулируйте признак параллельности плоскостей.

Учащиеся формулируют теорему: «Если две пересекающиеся прямые плоскости, параллельны другой плоскости, то данные плоскости параллельны».
К доске выходит один из учеников и записывает, дано и делает чертёж:

b
Дано: a, b, ab=M




a

M

c
а║, b║.

Доказать: ║


К

Д

оказательство (методом от противного) идет в виде беседы.

Вопрос: в чём суть этого метода?(Вспоминают метод

и по его алгоритму доказывают все вместе теорему)

1) Пусть =с, а  , b  , c  ,

ab  ca или сb.

2) Пусть сb=К. Тогда с, Кb=K, а это противоречит условию b║.

3) Предположение не верно т.е. ║.

Теорема доказана.

  • Какую теорему мы только что доказали?

  • Единственная ли построенная плоскость? (Да. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость)

  • Обоснуйте параллельность противолежащих граней куба, используя этот признак. Обоснуйте параллельность плоскостей в ваших примерах.

  • Когда прямая параллельна плоскости? (Если она параллельна любой прямой этой плоскости).

  • Сформулируйте еще один признак параллельности плоскостей, вспоминая практическую работу с планшетом.

(Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны)


  • Этот признак параллельности плоскостей докажем, посмотрев презентацию, которую подготовил ученик нашего класса..






  • Эту теорему можно доказать по-другому. Иной способ доказательства рассмотрите дома.


  • Итак, что нового узнали на уроке?

(Взаимное расположение различных плоскостей, определение и признаки параллельности плоскостей)


  • Скажите, как изменится классификация взаимного расположения плоскостей, если убрать слово «различных»?

( в имеющейся классификации добавится еще один вид плоскостей –совпадающие )
Показ слайда «Взаимное расположение плоскостей».



  • Какие плоскости называются пересекающимися?

  • Какие плоскости называются параллельными?

  • Какие плоскости являются параллельными?

  • Когда плоскости совпадают?




  • Где эти знания могут быть применены далее? (При решении задач на доказательство, при построении сечений, а также при определении взаимного расположения плоскостей).


Закрепим полученные знания при решении задач на определение вида взаимного расположения плоскостей.

  1. Закрепление нового материала


Работа в группах (звучит тихая музыка)

Класс разбит на 3 группы, каждая из которых получает по 2 задания для определения взаимного расположения плоскостей. Задания оформлены на отдельных листах для каждого члена группы. По выбору учащихся решение одного задания будет показано на доске, оно вытекает непосредственно из признаков. Для решения другого задания - одних признаков будет недостаточно, и поэтому при его решении могут возникнуть затруднения. Это задание будет рассмотрено немного позже.

Задания первой группе:

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – середина А1В1, N – середина В1С1, К – середина АD, Р – середина DC. Определить взаимное расположение плоскостей

а) MNK и MNP;

б) А1В1С1 и АDC.
Задания второй группе:

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – середина А1В1, N – середина В1С1, К – середина АD, Р – середина DC. Определить взаимное расположение плоскостей

а) MKP и BB1D;

б) D1KP и BMN.
Задания третьей группе:

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – середина А1В1, К – середина АD, Р – середина DC. Определить взаимное расположение плоскостей

а) A1DC1 и AB1C;

б) АС1С и МКР.
Пока идёт обоснование решений при работе в группе, один из членов группы делает чертеж на доске. Затем следующий ученик – лидер группы – защищает решение у доски, все остальные учащиеся класса следят за логикой рассуждений и записывают предложенное решение к себе в тетрадь.

Второй урок


    • Мы плодотворно потрудились на первом уроке. Чем же мы занимались и что нового для себя узнали? (рассмотрели виды взаимного расположения плоскостей; конкретно, при изучении параллельности - узнали определение, построение плоскости параллельной данной, признаки параллельности плоскостей, которые применили при решении простейших задач).

    • Что осталось рассмотреть по нашему плана изучения темы (свойства параллельности плоскостей).

    • Именно они помогут закончить решение оставшихся заданий рациональным способом.

    • Перед вами модели куба, грани которых параллельны. Попробуем угадать, какими свойствами они могут обладать, если проводить через них плоскость, прямую.



Ученики делают предположения о свойствах параллельных плоскостей, учитель их корректирует и постепенно открывается слайд «Свойства параллельных плоскостей».



другой

Заранее каждой из групп было дано задание доказать два каких то свойства. Каждая группа для доказательства одного свойства делала презентацию, а другое доказывали традиционно у доски. Доказательство у доски проводил лидер группы. Класс, при этом, задавал уточняющие вопросы или отвечал на вопросы учителя по ходу доказательства.
Ниже приведены примеры некоторых презентаций, изготовленных членами групп.


Первая группа :




Вторая группа:







Третья группа:



После того, как свойства уже доказаны, у нас есть необходимые знания для того, чтобы продолжить работу в группах для завершения решения задач ,начатых еще на прошлом занятии .

Идет работа в группах по решению оставшихся задач, решение которых проверяется у доски.



  1. Итог урока.

  • Какие пункты, записанного на доске плана мы выполнили?

  • Что осталось для изучения на следующих уроках? (как могут пересекаться плоскости)

  • Где эти знания нам пригодятся дальше?

  • Какой практический опыт вы приобрели?

Вернёмся к началу урока:

  • На какие «тёмные понятия» мы пытались сегодня «пролить свет»?

  • Какое из понятий по логике вроде бы не вписывается в этот ряд?

(Расстояние)

  • Почему Потаскуев Е. В. включил его все же в ряд «тёмных понятий»? Может быть подсказкой вам послужит перевод слова стереометрия с греческого языка на русский.

  • Значит, мы в стереометрии будем заниматься не только изучением взаимного расположения основных объектов, но и измерять все возможные расстояния т.е. решать вычислительные задачи, предварительно сделав чертеж, при построении которого необходимо обосновывать взаимное расположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости ,из которых этот чертеж состоит.

  • Вспоминая эпиграф урока, можно с уверенностью сказать, что любая наука, любые знания, опираясь на определенный фундамент, строятся в логической последовательности, постепенно дополняя предыдущие знания. Как из кирпичиков выстраивается дом, так из маленьких порций знаний полученных на каждом уроке, строится полная система знаний по этому предмету. Если в стенке здания один кирпичик вылетает, то стена рушится, так и в системе знаний при отсутствии одного факта, стройность и логика предмета нарушается. Я желаю вам иметь всегда полную систему знаний по любому предмету и стремиться ее пополнять как на уроке, так и во внеурочное время.

  • Работали все активно. Оценки получают не только те кто работал у доски, но и учащиеся, по мнению членов группы, кто был более активен при работе в группе.

      1. Задание на дом:

Выучить признаки и определение параллельности плоскостей.

Определить взаимное расположение плоскостей в номере 4.026 и решить вычислительную задачу 4.023.


3. «Перпендикулярность прямой и плоскости» (по учебнику Е. В. Потоскуева).

Цель:

  1. Дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости и научиться их применять при решении задач.

  2. Развить логическое мышление и пространственное воображение.

Ход урока.

Актуализация знаний.

  • Стереометрия – это…

  • Основные понятия стереометрии …

Мы изучили взаимное расположение прямых в пространстве: (пересекаются, параллельны, скрещиваются)

  • Как могут располагаться в пространстве прямая и плоскость?

Учащиеся дают варианты ответов, учитель корректирует, а потом идет показ презентации о взаимном расположении прямой и плоскости.



  • Прямая и плоскость называются параллельными?

Прямая и плоскость являются параллельными?

  • Какое расположение мы будем изучать сегодня? (пересечение прямой и плоскости)

  • Как вы думаете, какое пересечение прямой с плоскостью более всего нас будет интересовать? (перпендикулярность прямой и плоскости)

Итак, тема сегодняшнего урока ...(учащиеся формулируют сами, а учитель записывает ее на доске).

«Перпендикулярность прямой и плоскости»

  1. Изучение нового материала.

  • По какому плану мы изучали параллельность прямой и плоскости? (определение, признак, построение прямой параллельной плоскости, свойства).

  • По какому плану мы будем изучать перпендикулярность прямой и плоскости? (записываем на доске).

  1. Итак, начинаем с определения (идет практическая работа с планшетом)

На планшетах постройте прямую перпендикулярную плоскости планшета.

  • Почему вы считаете, что построенная прямая перпендикулярна плоскости? (пересекает плоскость под прямым углом)

  • Как измерить угол между прямой и плоскостью?

  • Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

а, если ab, b, b а – нормаль к .

Прочитайте это определение в учебнике.

  1. Построенную на планшете прямую наклоните немного к плоскости .

  • Она перпендикулярна плоскости? (нет).

  • Она параллельна какой – либо прямой, лежащей в плоскости? (да).

Тогда, определения маловато для утверждения того, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна какой – либо прямой лежащей в плоскости. Как быть на практике? Скоро новый год и надо будет в доме устанавливать ёлку перпендикулярно полу. Как вы это будете делать? (Сбивают так называемый «крест», просверливают отверстие внутри его и в это отверстие вставляют елку. Она будет в этом случае устойчива, т.к. перпендикулярна полу).

Ёлка – прямая, пол – плоскость, «крест» - 2 пересекающиеся прямые. Сформулируйте утверждение перпендикулярности ёлки полу.

Дайте общее утверждение о перпендикулярности прямой и плоскости, сформулируйте признак перпендикулярности.

Т. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то прямая перпендикулярна плоскости.

Дано: , а, а=0, аb, ас

b пересекает с, b, с.

Доказать: а (аm, m  )

Доказательство:

  • Вспомним некоторые

положения из планиметрии:

  1. Параллелограмм – это…

Свойства параллелограмма…

  1. Прямоугольный треугольник – это…

  2. Как доказать, что треугольник – прямоугольный?

  3. Теорема Пифагора.

  4. Медиана – это…

  5. Связь медианы со сторонами треугольника.

  • Какой план доказательство вы можете предложить или идею? (надо доказать, что треугольник, одна сторона которого лежит на а, а другая – на прямой в плоскости , образуют катеты прямоугольного треугольника; тогда для них выполняется т. Пифагора).

  1. От О проведём прямые b1||b, b1, Ob1

c1||c, c1, O c1

m1||m, m1, Om1

  1. Т.к. ab и ac, то ab1 и ac1.

Докажем а m1

  1. Вb1 и построим параллелограмм OBCD

OCBD=M

По свойствам параллелограмма DM=MB=>

ОМ – медиана ∆OBD и в ∆ADB AM – медиана.

  1.  (из ∆OBD)

 (из ∆ADB)

  1. Для доказательства того что ∆AМО – прямоугольный (т.е. что аm1) надо доказать, что для того треугольника выполняется теорема Пифагора.



Т.к. ас1, и аb1

Т.е. AM2-OM2=OA2, или AM2+OM2, т.е.

∆AМО прямоугольный => аm1=> a m.

Что и требовалось доказать.

Итак : 1) как читается признак перпендикулярности прямой и плоскости?

2) какие положения использовались для его доказательства?


  1. Закрепление признака №3.029

  2. Построение плоскости перпендикулярной данной прямой.

(работа в группах) Т.к. на ЕГЭ предлагают задачи, в которых надо уметь строить сечения (т.е. плоскость), перпендикулярную некоторой прямой или прямую, перпендикулярную некоторой плоскости ,то сейчас научимся это делать ,работая в группах. В учебнике на стр. 50 разобраны эти задачи. Варианты заданий для групп при работе над первой задачей:

1 Группа Ма

2 Группа единственность  Через данную точку провести плоскость, перпендикулярную данной прямой а.

3 Группа М а

У доски лидеры групп показывают образцы решения.

Аналогичная проводится работа со второй задачей: через данную точку М провести прямую а, перпендикулярную данной плоскости.

Закрепление.

Задачи № 3.031– 1 группа

№ 3.032 – 2 группа выводы

№ 3.030 – 3 группа

3.031

Доказать: AD=DB=DC

Доказательство:

  1. Т.к. а(ABC), то aAO, aBO, aOC =>

∆AOD, ∆BOD, ∆DOC – прямоугольные.

  1. AO=OB=OC – как радиусы

  2. описанной окружности, тогда

∆AOD = ∆BOD =∆DOC (по двум катетам)

=> AD=BD=DC

(по определению равных треугольников).

Вывод: если через центр окружности, описанной около треугольника проведена прямая, перпендикулярная плоскости этого треугольника, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника. Эта задача справедлива для каких треугольников?

3.032

MA=MB=MC, MH

Доказать: H – центр окружности описанной

около ∆AВС (т.е. AH=BH=CH)

Доказательство.

  1. Т.к. MH => MHAH, MHBH и CHMB.

Т.е. ∆AHM, ∆CHM, ∆BHM – прямоугольные.

  1. По условию MA=MB=MC, тогда

∆AHM = ∆CHM = ∆BHM

(по гипотенузе и катету) => AH=BH=CH

(по определению равных

треугольников) => H – центр описанной

окружности.

Вывод: если из точки не лежащей в плоскости проведены три равные наклонные, то основание перпендикуляра опущенного из этой точки есть радиус описанной около треугольника окружности, вершины которого являются основаниями наклонных, проведенных из данной точки.

Мы решили 2 взаимно обратные задачи для треугольника.

  • А как эти выводы будут звучать для четырёхугольника, шестиугольника?

№3.030 Дано: М, ba, ca

Доказать: b, c

Доказательство: т.к. bc=O, то (b, c)=

(по следствию из аксиомы плоскости).

Итог урока:

Что нового узнали на уроке?

Где это пригодится дальше?

Что вам больше всего понравилось на уроке?

Как бы вы хотели проводить следующие уроки по этой теме?

Задание на дом: выучить признак и определение перпендикулярности прямой и плоскости, Выполнить задачу 3. 033

№3.033

Дано: РМ=…=РМ

АВ=ВС=…АК=8

РО=8

Найти: РМ.

Решение:

  1. Т.к. РМ=…=РА, то О – центр описанной окружности.

  2. АВ=…=АК, то АО=R=8

  3. Из ∆АОР – прямоугольный (по определению перпендикулярности прямой и плоскости)

АР=

§2. Подборка задач по теме « Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве»

Параллельность прямых и плоскостей



№ 4

Постройте прямую, которая:

а) лежит в данной плоскости α и параллельна данной прямой а;

б) лежит в данной плоскости α и параллельна данной плоскости β;

в) проходит через данную точку А и параллельна данной плоскости β;

г) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей α и β;

д ) параллельна данной плоскости α и пересекает каждую из двух данных прямых а и b .

№ 5

В правильном тетраэдре DABC , все рёбра которого равны 6, точка K лежит на ребре BD так, что DK = 2; точка M лежит на ребре BC так, что BM = 4; точка P - середина ребра AB.

а) Докажите, что KM параллельна плоскости ADC .

б) Докажите, что PM не параллельна плоскости ADC .

в) Проведите через точку P прямую, параллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB в точке L . Найдите длину LK .

г) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки P и K параллельную прямой AC.

№ 6

Построить сечение тетраэдра РАВС плоскостью, проходящей через внутреннюю точку Н грани АВС параллельно прямым ВС и АР.

№ 7

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , P и Q – внутренние точки граней соответственно ABCD и A1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P и Q и параллельно грани CC1.

№ 8

Через вершину P правильного тетраэдра PMBH , с ребром, равным 8 , проведите сечение параллельно ребру MB. Сколько таких сечений тетраэдра можно провести? Какие фигуры при этом получаются в сечении? Найдите площадь сечения проходящего через середину K ребра АС.

№ 9

Дан правильный тетраэдр PABC с ребром равным 6. Через центр O основания ABC тетраэдра проведена плоскость α, параллельная BC и пересекающая рёбро AF в некоторой точке K. Постройте сечение тетраэдра плоскостью α. Укажите границы изменения периметра и площади этого сечения при всевозможных положениях точки K на ребре AP.

№ 10

Дан куб ABCDA1B1C1D1; точки P и Q – середины рёбер AB и BC соответственно. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки P и Q параллельно диагонали BD1.


Перпендикулярность прямых и плоскостей

№ 1

Точка P удалена от каждой стороны правильного треугольника на 30 см. Найдите расстояние от точки P до плоскости треугольника, если площадь вписанного в этот треугольник круга равна 576 см2.

№ 2

Точка M удалена от плоскости прямоугольного треугольника на расстояние, равное 53, и равноудалена от каждой его стороны. Найдите расстояние от точки M до каждой из сторон этого треугольника, если его гипотенуза и один из катетов равны соответственно 25 и 15.

№ 3

Точка O – центроид правильного треугольника ABC; OP – прямая, перпендикулярная плоскости ABC; M – произвольная точка прямой OP (M ≠ O).Докажите, что:

    1. расстояние от точки M до вершин треугольника ABC равны;

    2. расстояния от точки M до сторон треугольника ABC равны;

    3. угол MAO = углу MBO = углу MCO;

    4. угол MAO = углу BMO = углу CMO.

№ 4

В треугольнике АВС угол С прямой. Прямая АМ перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что отрезок ВС перпендикулярен плоскости АСМ. Будет ли отрезок ВС перпендикулярен плоскости АСМ, если: а) угол С ≠ 900; б) АМ не перпендикулярен (АВС)?

№5

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E, Fи M – середины ребёр соответственно A1B1, B1C1 и BB1. Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости EFM.

№ 6

В правильном тетраэдре PABC опустите перпендикуляр на плоскость PBC из точек: а) Н- середины ребра AP; б) М- середины ребра АВ; в) К- середины медианы РТ грани АВР; г) L-середины РМ.

№ 7
1   2   3   4