Методическая разработка по теме: Изучение элементов комбинаторики и математической статистики на уроках математики в 5-9 классах
 Скачать 256.68 Kb.
|
| Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики Методическая разработка по теме: Изучение элементов комбинаторики и математической статистики на уроках математики в 5-9 классах. Выполнила учитель математики МОУ «Кугесьская СОШ№1» Исакова Любовь Валентиновна. Чебоксары Содержание Введение………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………3 Тематическое планирование по классам…………….………………………………………………………………………………………………………………...4
Приложение (образец работы ученика) Введение Математика- предмет, который помогает человеку правильно ориентироваться в окружающей действительности. Комбинаторика, вероятность и математическая статистика - прикладные разделы математики, которые хорошо усваиваются почти всеми учениками. Начиная с 5 класса, на уроках во время устного счёта, самостоятельных работ я включаю задачи по комбинаторике, вероятности. При решении этих задач я добиваюсь развития математического языка, логического мышления и активной работы каждого ученика. Цели методической разработки:
Задачи данной методической разработки:
Задачи по комбинаторике и математической статистике конкретны, поэтому их решение привлекательно для учащихся. Они стараются их решить, так как эти задачи отражают жизненные ситуации. Из года в год по классам идёт углубление изучения математики и, начиная с 7 класса, можно больше задач решать, исследуя и анализируя конкретные ситуации. Тематическое планирование по классам.
На практике часто встречаются задачи, для решения которых необходимо составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач. Раздел математики, в котором они рассматриваются, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний. Некоторые комбинаторные задачи решали ещё в Древнем Китае, а позднее – в Римской империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в XVIII в. в связи с развитием теории вероятности.
Исторические комбинаторные задачи можно включать уже в 5 классе, в частности, при изучении темы «Натуральные числа», а также использовать и в 6-9 классах на устном счете и при разминках.
Квадрат, в котором размещены числа таким образом, что все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагоналям были одинаковы, называется магическим.
Квадрат размером n×n клеток, в котором записаны натуральные числа от 1 до n так, что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу, называется латинским.
Все составные числа древние математики представляли в виде прямоугольников m×n , где m≠1, n≠1. Простые числа представляли в виде линий 1×m.  Квадратные числа  (рис. 1) Рис. 1 Т  реугольные числа  (рис. 2) Рис. 2 Пятиугольные числа  (рис. 3) Рис. 3
Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов несложно, когда их число невелико. Однако при переборе большого количества элементов легко упустить какой-нибудь из них. Нередко подсчет вариантов облегчают графы. Задача. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на схеме, изображённой на рисунке 4.  Рис. 4 Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению  .
Задача. Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом цифры 0, 1, 2,3. Подсчитать их количество N. Для подсчёта образующихся чисел составим таблицу:
 Ответ. N=12. Для решения таких задач необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться следующим правилом, которое получило в комбинаторике название «Правило произведения»: Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то всего существует n. т различных пар с выбранными первым и вторым элементами.
Pn=n! Задача. Сколькими способами можно расставить 6 лошадей на шести беговых дорожках? Число способов равно числу перестановок из 6 элементов. По формуле числа перестановок находим, что  .Значит, существует 720 способов расстановки лошадей на шести беговых дорожках.
 Задача. Учащиеся 8 класса изучают 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 6 различных предметов? Любое расписание на один день, составленное из 6 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, речь идет о размещениях из 12 элементов по 6. Имеем  Итак, мы нашли, что расписание можно составить 665280 способами. e) Сочетаниями из n различных элементов по m называются наборы из m элементов , составленные из заданных n элементов, отличающиеся друг от друга по составу.  Задача. Из набора, состоящего из 15 цветов ниток мулине, надо выбрать 3 цвета для вышивки. Сколькими способами можно сделать это выбор? Каждый выбор трёх цветов ниток отличается от другого хотя бы одним цветом. Значит, здесь речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3.  Следовательно, 3 цвета ниток можно выбрать 455 способами.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдают те или иные явления, проводят определенные эксперименты. В процесс е наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями, т. е. такими событиями, которые могут произойти или не произойти. Например, выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, поражение мишени или промах при выстреле, выигрыш спортивной команды во встрече с соперником, проигрыш или ничейный результат - все это случайные события. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Методы теории вероятностей применяются в информатике, физике, астрономии, биологии, медицине и во многих других областях знаний. Вероятность равновозможных событий
В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний(опытов), наблюдений и измерений. Все события можно подразделить на невозможные, достоверные и случайные. Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может. Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт. Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.
Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - называют несовместными.
Когда нет оснований полагать, что в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество, то такие события называются равновозможными, а если есть, то неравновозможными Долю успеха того или иного события математики стали называть вероятностью этого события и обозначать буквой Р (по первой букве латинского слова probabilitas – вероятность) Если в некотором испытании существует n равновозможных попарно несовместных исхода, и m из них благоприятствуют событию A, то вероятностью наступления события A называют соотношение m/n и записывают P(A)=m/n. 
В   ероятность того, что стрелка остановится на интересующем нас секторе, естественно считать равной соотношению площади этого сектора Sсект к площади всего круга S: P=Sсект/S
Событие Ā ( читается «А с чертой» или «Не А») называется событием, противоположным событию А, если оно происходит, когда не происходит событие А. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: P(A)+P(Ā)=1
Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения. Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы, и результаты группировки сводят в таблицы. Таблица распределения – показывает, какие значения величина x принимает с одинаковыми вероятностями, какие с большой вероятностью и т.д. Эти таблицы называются распределения случайной величины по их вероятностям. Задача. Дана таблица распределения оценок за контрольную работу по математике. Составить таблицу распределения оценок по относительным частотам.
Решение: общее число учеников N=5+12+7+2=26. Зная, что относительная частота находится по формуле  ,вычислим относительную частоту для каждого значения величины Х:  ,  ,  ,  ,  .Ответ:
Полигон частот – это ломаная линия, которая показывает распределение случайных величин на графике. Задача. Дана таблица распределения оценок за контрольную работу по математике. Составить полигон частот.
Р  ешение: М  12 75  21  2 3 4 5 ХПолученная ломаная линия – искомый полигон частот. Генеральной совокупностью называют все элементы, которые изучают. Часть изучаемых элементов, выбранная случайным образом, называется выборкой. Размах – разница между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины. Центральная тенденция: Мода – наиболее часто встречающееся значение случайной величины. Медиана – серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины. Средним значением случайной величины называют среднее арифметическое всех её значений. Кривые нормального распределения (строятся после большого числа испытаний) симметричны относительно вертикальных прямых, проходящих через средние значения рассматриваемых совокупностей. Относительная частота и закон больших чисел Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в котором это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N, при этом число М называют частотой события А. Относительную частоту события A обозначают W(A), поэтому по определению: W(A)=M/N Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний. Закон больших чисел: Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота не отличается от его вероятности W(A)практически не отличается от его вероятности P(A), т.е. P(A)~W(A) при большом числе испытаний. Задача. Найти размах, моду, медиану, среднее значение и относительную частоту следующей совокупности -2, 3, 4, -3, 0, 1, 3, -2, -1, 2, -2, 1. Решение Размах R=4-(-3)=7 Мода М0=-2. Так как число элементов N=12 – число чётное, то медиана равна среднему арифметическому значений шестого и седьмого членов упорядоченного ряда чисел:  . Для вычисления среднего значения и относительной частоты составим таблицу: N=1+3+1+1+2+1+2+1=12 
Тактика игр. Справедливые и несправедливые игры Способ игры является справедливым, если вероятность появления любого из событий одна и та же. А несправедливым, когда вероятность появления любого из событий разная. Задача Бросаются две игральные кости. Игроки делают ставки на выпавшую сумму очков на двух костях. Есть ли сумма, на которую выгодно ставить? Решение Подсчитаем вероятность появления каждой суммы. Общее число исходов n - появление всевозможных сумм на двух костях согласно правилу произведения равно 36. Составим таблицу сумм очков:  Вероятность появления той или иной суммы представим в виде таблицы:  Наибольшая вероятность появления 6/36=1/6 имеет сумма очков, равная 7. Ответ. 7. По изученным темам учащиеся выполняют практическую работу, которую сдают в форме презентаций или рефератов. Авторские задачи 5 класс Задача 1
Например:
Если номер по списку в журнале 21. 26+21+28=27+25+23=22+29+24=26+27+22=21+25+29= 28+23+24=26+25+24=22+25+28. Задача 2 Составить латинский квадрат 4×4, составленный из двузначных чисел. Например
В каждой строке и каждом столбце встречаются 4 выбранных числа по одному разу. Задача 3 Подсчитать число однобуквенных слов русского языка. Например: местоимение я, предлоги в, к, с ,о, у; союзы а ,и. Всего 8. Задача 4 При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было 7? Решение: 7∙6÷2=21(рукопожатие) 6 класс Задача 1 Изобразить первые 20 чисел геометрически с помощью кружков (камушков). Задача 2 Докажите, что среди любых шести человек найдутся либо трое, друг с другом знакомые, либо трое, друг с другом незнакомые. Задача 3 Пользуясь таблицей вариантов, перечислить все двузначные числа, записанные с помощью цифр: 1) 1,3,4; 2)0,5,9 Задача 4 В школьном буфете продают три вида пирожков, чай, какао, сок и кисель. Сколько существует вариантов покупки 1 пирожка с напитком? 7 класс Задача 1 Каким по порядку квадратным числом является число: 25, 144,225? Задача 2 Записать первые 8 треугольных чисел; первые 6 пятиугольных чисел. Задача 3 Каким n-угольным числом является число: 22,70? Задача 4 Сколькими способами можно посадить на клумбе в ряд 5 сортов роз-белых, жёлтых, кремовых, красных и розовых, если цвета не должны повторяться? Задача 5 Разложить на простые множители числа 150 и 248. Запишите все способы записи этих чисел в виде произведения. Задача 6 Имеется 7 карандашей 7цветов. Сколькими способами эти карандаши могут быть распределены между двумя школьниками? 8 класс Задача 1 Доказать или опровергнуть гипотезу: Для любого натурального числа n число n²+n+41 простое. Задача 2 В ящике лежат 2 белых и 3 синих носка. Наугад вынимают два носка. Какова вероятность того, что вынуты:1) два белых носка; 2) два синих носка? Задача 3 Какова вероятность того, что при бросании кубика- игральной кости 2 раза подряд ни разу не выпадет 5? Задача 4 Из колоды карт наугад вынимают две карты. Какова вероятность того , что одна из них дама, а другая- трефовой масти? 9 класс Задача 1 На стол бросают две монеты. Исходу «орёл» ставим в соответствие число 0, а исходу «решка» число 1. Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины Х- суммы выпавших на монетах чисел. Задача 2. В каком общем виде запишутся делители числа и сколько их, если число равно: 1634 ;185 . Решение : 1634=(24)34=2136; от 20до 2136 всего 137 делителей вида 2к, к=0,…136. 185=(2∙32)5=25∙310, делители вида 2к∙3п, к=0,…,5;п=0,…,10,всего 6∙11=66. Задача 3. Практическая работа. Число страниц учебника математики разбить на 10 классов. Раскрывая книгу наугад 50 раз, провести подсчёт номеров левых открывшихся страниц с учётом их попадания в определённый класс. На основании составленной частотной таблицы построить полигон открывшихся страниц. Задача 4. Почему из 10 пар перчаток, если пропадёт одна перчатка, следующей пропавшей будет, скорее всего, парная? Темы практических работ выбираются в зависимости от интересов учащихся. Например, девочкам, которые занимаются вышивкой, я предложила ответить на вопрос, какой цвет чаще используется при вышивании, тем, кто занимается продажей косметики, какую туалетную воду, крем чаще заказывают, и т.п. Заключение При изучении теоретических вопросов и решении задач по комбинаторике, теории вероятности и математической статистики повторяются следующие темы математики: действия над натуральными и дробными числами, пропорции, простые и составные числа, геометрическая интерпретация чисел, формулы(запись формул и вычисление значений по ним), диаграммы(построение круговых диаграмм самостоятельно и с использованием компьютерных программ EXCEL и POWER POINT), построение графиков функций на координатной плоскости и в EXCEL и POWER POINT. Распределение тем по классам соответствует программам математики в основной школе по учебникам Н.Я.Виленкина и Ш.А.Алимова.(http://fsu.mto.ru) При изучении элементов математической статистики большинство заданий и работ имеют практическую направленность и связь с жизнью. Степень усвоения тем проверяется в виде самостоятельных работ, участия во всевозможных олимпиадах, конкурсах, и защите своих работ ( с применением ИКТ). Литература и цифровые образовательные ресурсы
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
еометрическая вероятность
