Методы решения нестандартных уравнений Метод разложения на множители

Скачать 49.74 Kb. Название Методы решения нестандартных уравнений Метод разложения на множители Дата 05.04.2016 Размер 49.74 Kb. Тип Документы

Методы решения нестандартных уравнений 1 .Метод разложения на множители Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f(х)*g(х)*h(х)=0 можно заменить совокупностью уравнений f(х)=0; g(х)=0; h(х)=0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. Пример 1. Решить уравнение: = Δ Освободимся в уравнении от знаменателей дробей. При этом целесообразно суммы х²+х и 3х²+5х в левой и правой его частях считать за одно слагаемое : ((х²+х)+2)/((3х²+5х)-14)=((х²+х)+6)((3х²+5х)-10). Теперь получаем (х²+х)(3х²+5х)-10(х²+х)+2(3х²+5х)-20=(х²+х)(3х²+5х)-14(х²+х)+6(3х²+5х)-84, 4(х²+х)-4(3х²+5х)+64=0, х²+х-3х²-5х+16=0, 2х²+4х-16=0, х²+2х-8=0. Корни последнего уравнения х₁ = 2, х₂ = -4. Сделаем проверку по исходному уравнению: не обращается ли какой-либо из двух знаменателей дробей в этом уравнении в нуль? Оказывается, не обращается. Значит, это корни исходного уравнения. Ответ: 2, -4. Пример 2. Решите уравнение: Δ Представим уравнение в таком виде: Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям: (х-6)(-)=0. Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим х – 6 =0 или 8х= 66, учитывая при этом, что х, х Ответ: 6,-. Пример 3.Решите уравнение: +=1. Δ Возведем обе части уравнения в куб. Будем иметь: х-1+2х-1+3*(+)=1, *()=1-х. А теперь воспользуемся исходным уравнением, на основании которого сумма в скобках равна 1: Последнее уравнение также возведем в куб: (х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0, (х-1)х²=0. Отсюда х₁=1, х₂=х₃=0. Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет. Ответ: 1. 2.Метод введения новой переменной. Суть метода: если уравнение ƒ(х)=0 удалось преобразовать к виду р(q(х))=0, то нужно ввести новую переменную u=q(х), решить уравнение p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений q(х)=u₁; q(х)=u₂…; q(х)=un, где u1, u2 …un – корни уравнения p(u)=0. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда завуалирована и «проявляется» лишь в процессе преобразований. Пример 4. Решите уравнение: (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)=4х2. ΔВ левой части уравнения умножим первый множитель на четвёртый, второй на третий, получим: (х²-6х+8)(х²-6х+8)=4х². А дальше разделим обе части уравнения на х2, пользуясь тем, что значение х=0 не является корнем уравнения: (х-9+)(х-6+ )=4. Введем подстановку: х-9+=у. Будем иметь: y(у+3)=4, у2+3у-4=0; у1=1, у2=-4. В обоих случаях найдем х, решая совокупность уравнений х₁,₂=5. Ответ: 5. Пример 5.Решите уравнение: (х+3)⁴+(х+5)⁴=16. Δ Положим х+4=y ,т. к. =х+4. Имеем: (y-1)⁴+(y+1)⁴=16. Теперь нужно в левой части уравнения (y-1) и ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение: y⁴+6y²-7=0. Его корни y₁,₂ =. Отсюда х₁=-3, х₂=-5. Ответ: -3, -5. Пример 6. Решите уравнение: (х²+3х-4)³+(2х²-5х+3)³=(3х²-2х-1)³. ΔВведём две подстановки: х²+3х-4=y; 2х²-5х+3=. Получим: y³ +z³= (y + z)³ , 3yz (y + z)=0, (х²+3х-4)(2х²-5х+3)(3х²-2х-1)=0. Решая уравнения х²+3х-4=0, 2х²-5х+3=0 и 3х²-2х-1=0 найдём все корни 1, 1, 1, -4, , - . Ответ: 1, 1,1, -4, , - . Пример 7. Решите уравнение: =5. Δ Введем две новые переменные: =у, =z. Получаем систему уравнений: Вычтем третье из второго уравнения системы для того, чтобы исключить х: z3-у3=19. Для решения системы двух уравнений у+z=5, z3-у3=19 выразим z из первого уравнения и подставим это выражение во второе уравнение: z=5-у, (5-у)3-у3=19, 125-75у+15у2-2у3=19, 2у3-15у2+75у-106=0. Из делителей свободного члена последнему уравнению удовлетворяет у=2. Тогда уравнение приводится к виду: (у-2)(2у2-11у+51)=0. Так как дискриминант уравнения 2y² -11y+51=0 отрицателен, то других корней у уравнения нет. Следовательно, х=у3=23=8. Ответ: 8 3. Функционально-графический метод Идея графического метода решения уравнения ƒ(х)=q(х) проста и понятна: нужно построить графики функций y= ƒ(х), y = q(х) и найти точки их пересечения - корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые , а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие – либо свойства функций. Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ. Пример 8. Решите уравнение: + =х³-3х+2 . ΔНайдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств Решением первого неравенства является множество , второго отрезок . Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет. Ответ: 1. Пример 9. Решите уравнение: = Δ ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям 3-х0 и х-30, т. е. ОДЗ есть пустое множество. Следовательно , уравнение не имеет корней. Ответ: решений нет. При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определённую роль. Например, если для всех x из некоторого множества М справедливы неравенства ƒ(х)А и q(х)А, где А некоторое число, то на множестве М уравнение ƒ(х)=q(х) решений не имеет. Пример 10. Решите уравнение: =-х²+4х. ΔСправедливы неравенства : х²-2х+17 -х²+4х4. Тогда множество значений левой части уравнения есть промежуток), а правой – (.Следовательно, равенство этих частей возможно только тогда, когда каждая из частей уравнения равна 4. Но левая часть равна 4 прих=1, а правая – при х=2. Это значит, что уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет. Пример 11. Решите уравнение: 10х⁴+3х³+5х²+5х+8=0. ΔСделаем уравнение приведённым: х⁴+ х³+ х²+ х+=0. Дополним сумму х⁴ + х³ до квадрата суммы: (х² + х)² +( х²+ х + )=0. Дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего во вторых скобках , отрицателен, поэтому трёхчлен при х сохраняет постоянный знак, а именно положительный. Но тогда вся левая часть уравнения положительна; следовательно, уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет. Пример 12. Решите уравнение: ++х=7. Δ Очевидно один корень уравнения – х=2. Имеет ли оно другие корни? Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет Ответ: 2.