Ii. Опыт реализации темы «Проценты» в основной и средней школе
 Скачать 467.94 Kb.
|
1 2
| Глава II. Опыт реализации темы «Проценты» в основной и средней школе. §1. Изучение темы по учебным комплектам Виленкина Н.Я. и Макарычева А.Н. Общеобразовательная школа на сегодняшний день является основным типом учебного заведения, где учебно-воспитательный процесс должен быть организован с учетом социально – культурных особенностей региона, социальных запросов населения и требований государственного образовательного стандарта. Школьная программа стремится, с одной стороны, максимально адаптироваться к ученикам с их индивидуальными способностями, с другой стороны гибко реагировать на социокультурные изменения среды, т.е. к быстрому темпу меняющейся жизни. Поэтому данную тему я рассматриваю как дополнительный уровень, используемый для решения более сложных задач с практическим содержанием, т.е. применение изученного материала в новой ситуации для учащихся. Учебники «Математика 5,6» Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд рекомендованы Министерством Образования и науки Российской федерации от 09.12.2008г. № 349 «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования и имеющих государственную аккредитацию, на 2009/2010 учебный год». Методическое письмо о преподавании учебного предмета «математика» в общеобразовательных учреждениях Челябинской области в 2009/2010 учебном году.
Изучение данной темы я начинаю с истории возникновения процента, что помогает с первых уроков заинтересовать учащихся, показать значимость данной темы, истоки ее возникновения. Слово процент происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает "за сотню" или "со ста". Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не "со ста", а "с шестидесяти". Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только на проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В данном учебнике в рубрике "История математики" (с. 337) дается еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо сто напечатал %. Здесь же привожу примеры задач с историческими сюжетами (эти задачи воспринимаются пока на слух, без решения), но после исторического материала эти задачи вызывают интерес. 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернёшь мне в установленный срок 50 сестерциев и ещё 20 % от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг? Ответ: 60 сестерциев. 2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив ещё 80 % суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернёт ростовщику? Ответ: 140 рублей. Далее, опираясь на имеющиеся знания детей – сотая часть центнера, сотая часть метра, сотая часть гектара, ввожу понятие процента - сотая часть любой величины. Знакомлю учащихся с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации: Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения: а) 10 москвичей из каждых 100 нуждаются в улучшении жилья; б) 43 человека из каждых 100 доверяют гороскопам и постоянно читают их; в) из каждых 100 новорожденных 52 – мальчики; г) из каждых 100 жителей Брянска 25 имеют домашних животных. Далее в теме рассматриваются три основных типа задач на проценты: Задача 1вида. Бригада рабочих за день отремонтировала 40% дороги, имеющей длину 120 м. Сколько метров дороги было отремонтировано бригадой за день? Решение: 120 м составляет 100%
Ответ: За день бригада отремонтировала 48 м дороги. Задача 2 вида. Ученик прочитал 72 страницы, что составляет 30% числа всех страниц книги. Сколько страниц в книге? Решение: Неизвестное число – 100%. 1) 72:30=2,4(стр.) составляет 1%. 2) 2,4х100=240(стр.) составляет 100%. Ответ: В книге 240 страниц. Задача 3 вида. В классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов учащихся правильно решили задачу? Решение: 1). 32:40=0,8 - часть 2).0,8х100=80 (%) Ответ: 80% учащихся правильно решили задачу. Для более доступного усвоения материала решение данных задач сопровождаю графической иллюстрацией, что позволяет при решении определенного типа задач опираться на рассуждения, а не на запоминания правил. Итоги контрольной работы по теме «проценты», 5 класс см. в главе III-заключение. Помимо контрольной работы по теме «проценты» я провожу зачетную работу с элементами тестирования (на 2 варианта). См. приложение 1. Эта тема является одной из последних в курсе V класса. Далее авторы специально к теме не возвращается. Это не очень удачно, так как тема объективно трудная. В 6 классе тема «проценты» не рассматривается отдельно, но мы к ним возвращаемся в следующих темах 6-ого класса: 1) «нахождение дроби от числа» и «нахождение числа по его дроби». Задачи второго типа мы решаем с помощью составления линейных уравнений, это проходит «безболезненно», так как тема решение уравнений у Виленкина к этому времени отрабатывается хорошо (что в 5 классе вызывает у ребят трудности). Опыт преподавания математики в VI классе показывает, что учащиеся сталкиваются с определенными трудностями не в процессе решения задач на составление уравнений, а в задачах, в которых используется способ приведения к единице. №564 (стр.92) В магазин привезли 658 кг персиков. В первый день продали 2/7 персиков, а во второй день -0,3 оставшихся персиков. Сколько кг. персиков продали во второй день? №563 (стр.91) В первый день со склада вывезли 40% имевшегося там угля. Во второй день было вывезено 75% остатка. Сколько процентов всего имевшегося на складе угля вывезли во второй день? Сколько процентов всего имевшегося там угля осталось? Но в теме «нахождение числа по его дроби» подобные задачи я рекомендую решать уравнением. №657 (стр.106)Ученик сначала прочитал 75 страниц, а потом ещё несколько страниц. Их количество составило 40% от прочитанного в первый раз. Сколько страниц в книге, если всего прочитано ¾ книги? Решение: Пусть х страниц в книге, тогда, 1).75х0,4=30(стр.) - во второй раз 2).75+30=105(стр.) - за два раза 3). 3/4 х=105 Х=105: ¾ Х=140. Ответ:140 стр. всего в книге. Задачи такого типа предлагаются на итоговой аттестации : 1.ЕМЭ 2007г. (демонстрационный вариант, 2 часть). В двух школах в начале учебного года было 1500 учащихся. К концу года число учащихся увеличилось в первой школе на 10%, а во второй на 20%. В результате общее число стало равным 1720. Сколько учащихся стало в каждой школе к концу учебного года? 2. ЕМЭ 2007г. (демонстрационный вариант, 1 часть). Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9 классе представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 320 девятиклассников? 3.2008г. (демонстрационный вариант, 1 часть). Некоторый товар поступил в продажу по цене 500 руб. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена непроданного товар каждую неделю снижается на 20%. Сколько будет стоить товар на 16-ый день, если не будет куплен? 4.2008г. (демонстрационный вариант, 2 часть). Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором – 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота? 5. 2009г. (демонстрационный вариант, 1часть). Дневная норма потребления витамина С составляет 60 мг. Один мандарин в среднем содержит 35 мг. Витамина С. Сколько (приблизительно) процентов дневной нормы витамина С получил человек, съевший один мандарин? Большое значение имеют творческие задания и задания, выполняемые с родителями. Ребятам предлагается написать сочинение по данной теме и составить задачи по теме: «Проценты в моей жизни и жизни моих родителей». Это делается для развития познавательного интереса и носит пропедевтический характер. См. приложение 2. 2) «Отношения и пропорции». Здесь учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В этой теме появляются новые задачные ситуации. Пример: За определенное время с помощью принтера было распечатано 30 страниц. Сколько страниц распечатает принтер, производительность которого на 50% больше? («Прямая и обратная пропорциональность») 3) «Столбчатые диаграммы», где ребята применяют уже полученные ими знания. Составляют диаграммы качественной успеваемости по предмету, создают презентации, все это развивает познавательный интерес к предмету. /презентация на тему «проценты вокруг нас» /– см. диск А. На этом, можно сказать, изучение процентов заканчивается и учебник Виленкина Н.Я. сменяется учебником Макарычева 7-9.Опять оговорюсь, что тема «проценты » отдельно больше не изучается, но в 8 классе в главе «Решение задач с помощью рациональных уравнений» появляются задачи на концентрацию и сплавы: № 630, стр. 139. В водный раствор соли добавили 100 грамм воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нем содержалось 30 грамм воды. № 631, стр.140. Сплав золота и серебра содержал 40 грамм золота. После того, как к нему добавили 50 грамм золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве? И в это время целесообразно уделить больше времени решению задач данной группы, (данный аспект я хочу отразить в дальнейшем в рабочей программе). Начинают проявляться межпредметные связи; в 8 классе ребята начинают изучать химию, где и будут применяться полученные знания. В старших классах тема проценты рассматривается в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. Появляются задачи, связанные с расчетом (кредиты, процентная ставка, налоги) В это время с ребятами заводим терминологический словарь; понятия, записанные в него очень важны, так как они все чаще встречаются в повседневной жизни и в задачах, предлагаемых на итоговой аттестации. См. приложение 3. Кроме этого, операции с процентами становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты. Поэтому вопросы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения постепенно забываются учащимися. Оптимальный выход – решение задач на индивидуальных занятиях и элективном курсе (глава II, §2). Одной из методических находок является урок-проблема (урок-обсуждение) по теме «Решение задач на проценты». Проблема: «Жить или курить». Основное обучающее воздействие урока – проблемы принадлежит дидактическому материалу, вопросам-проблемам, которые, вовлекая учащихся в обсуждение, в решение конкретного вопроса на примерах решения задач, как бы автоматически ведут учебный процесс, направляя активность учащихся в нужное русло. Дидактическая цель ставится перед учащимися в форме решения проблемы; учебная деятельность подчиняется правилам беседы-обсуждения; учебный материал используется в качестве средства для решения проблемного вопроса; в учебную деятельность вводится элемент заинтересованности в здоровом образе жизни. Тема урока: «Решение задач на проценты». Проблема: «Жить или курить». Форма урока: решение проблемного вопроса «Жить или курить» при помощи решения задач, урок – беседа. Цели урока: Актуализировать личностный смысл учащихся в вычислении вопроса «Жить или курить?»;
Ход урока: 1). Организационный момент. Сообщение темы и целей урока: Повторить понятие « процент»; Закрепить умение находить проценты при решении практических задач; Развитие познавательного интереса. 2). Повторение ранее изученного; 3).Формирование новых знаний. Вводная беседа: Мы повторили понятие процент и нахождение процентов от числа. А где применяются проценты? При решении задач по физике, химии, биологии и т.д. Без вычислений процентов не может обойтись такая точная наука, как статистика. Очень часто проценты используются в исследовательской деятельности. Вот такой деятельностью мы и будем сегодня заниматься. Проблема курения существует в нашей школе, но в развитых странах мира. За последние 30 лет курящих стало меньше. Их количество сократилось в 2-3 раза. И это, хочется верить, не предел. Почему это происходит? И вообще откуда появилась эта привычка? Историческая справка (заранее дается детям задание). Распространение табака. Курение табака возникло еще в глубокой древности. В Европу табак попал из Америки, где побывал мореплаватель Христофор Колумб. Высадившись н а незнакомый берег, Колумб и его спутника увидели, что туземцы, взрослые и дети, держали в зубах дымящиеся пучки тлеющих листьев неизвестного европейцам растения. Выяснили, что дикари традиционно используют листья для частого вдыхания дыма. Туземцы предлагали путешественникам покурить и воспринимали отказ как проявление враждебности. Возвращаясь в Европу, Колумб захватил с собой несколько кип сушеных листьев «табакко» и … нескольких курильщиков. Он рассчитывал развлечь своих соотечественников невиданной экзотикой. Так и случилось: краснолицые «дикари», пускающие дым изо рта, поразили испанский королевский двор. Вскоре табак попал во Францию: Жан Нико, бывший послом в Испании, привез оттуда листья и семена табака в подарок своей королеве Екатерине Медичи. От фамилии Нико произошло слово «никотин» - так называют основной компонент табака, самый ядовитый. Постепенно курение стало путешествовать по Европе, дошло до России, но активного распространения не получило, пока царевич Петр Алексеевич, постоянно общавшийся с чужеземцами, не научился курить… А потом он стал царем и начал, как известно, вводить в России 2европейские» прядки, в том числе и пропагандировать курение. При Петре I в России появились первые табачные фабрики. Курение распространилось по всей стране. Тогда еще никто не знал, насколько опасна эта привычка. Борьба с курением. С табачным зельем издавна велась жестокая борьба. В конце XVI века в Англии за курение казнили, а головы с трубкой во рту выставляли на площади. Французский король Людовик XIII издал специальный указ о том, что лишь аптекарям разрешается продавать табак и только, как лечебное средство. В Турции курильщиков сажали на кол. В Италии, в назидание потомству, пятеро монахов, уличенных в курении, были заживо замурованы в монастырской стене. В Англии по указу Елизаветы курильщиков приравнивали к ворам и водили по улице с веревкой на шее. В России в царствование Михаила Федоровича уличенных в курении первый раз наказывали палочными ударами, а во второй раз – отрезанием носа и ушей. Когда же чаще всего начинают курить? Конечно же в подростковом возрасте (учащиеся предъявляют свою информацию, это и данные по школе и из средств массовой печати). 4). Решение задач. Задача №1. Статистика показывает, что курящих подростков мальчиков-60%, девочек -40%. Определите, сколько курящих детей в школе, если в ней 51 мальчик и 50 девочек? ( Один ученик у доски, остальные самостоятельно в тетрадях. Ответы сравнивают.) Задача №2. Определите, сколько процентов своего годового дохода тратит на сигареты человек в сутки, если пачка сигарет стоит 29 рублей, ежемесячная зарплата 10000 рублей ( в месяце 30 дней). Задача №3. Средний вес новорожденного ребенка 3кг 300г. Если у ребенка отец курит, то его вес будет меньше среднего на 125 г, если курит мать – меньше на 300г. Определите, сколько % теряет в весе новорожденный, если: А) курит папа; б) курит мама ( ответ округлите до единиц).У доски два учащихся, а и б решают отдельно. Информация к размышлению: дети, рожденные в семьях курильщиков, в 4-5 раз чаще болеют простудными заболеваниями. Такие дети более раздражительны. Согласимся с тем, что полностью здоровым малыш не будет, и всю жизнь ему придется расплачиваться за легкомыслие своих родителей. А какие последствия курения знаете вы? Последствия курения: ухудшается внешность, появляется раздражительность, неуравновешенность, из-за быстрой утомляемости резко ухудшается успеваемость. Так как в результате курения развиваются различные болезни, сокращается продолжительность жизни. Задача №4. Курящие дети сокращают жизнь на 15 %.Определите, какова продолжительность жизни (предположительно) нынешних курящих детей. Средняя продолжительность жизни в России 56 лет. Обсуждение информации. Во многих странах запрещено курение на рабочем месте. Серьезный работодатель может отказать в приеме на работу или уволить курящего. Причину этого может объяснить такой пример. Задача №5. Если секретарь – машинистка курит, то на странице печатного текста в 800 знаков у неё будет 4% ошибок. Определите количество ошибок на одной странице, (решают коллективно, у доски учащийся). Думаю, понятна причина увольнения курящего человека. И дело не только в снижении работоспособности. Существует еще такое понятие, как «пассивный» курильщик. Огромный вред наносит курильщик здоровью окружающих людей. Нахождение в течение 8 часов в накуренном помещении равносильно 5=ти выкуренным сигаретам. Табачный дым эффективен в радиусе 10 м. от дымящейся сигареты. Довольно громкий скандал произошел в конце 80-ых годов в Англии. Около 30 лет сотрудница одной компании проработала в комнате с 4 курящими мужчинами, результатом чего стало заболевание – рак легких. На основании решении суда, компанию принудили выплатить родственникам умершей денежную компенсацию. 5). Подведение итогов. На уроке мы ответили на поставленные вопросы и решили задачи на определение процента и процентного соотношения. Всемирная организация здравоохранения (ВОЗ) выдвинула тезис: «Право некурящих на чистый воздух выше права курящего на курение». Не пора ли нам задуматься серьезно над вопросом «Жить или курить» и выбрать тот верный ответ, что необходим каждому из нас. 6). Домашнее задание, оценки. Возрастающая потребность связи математики и различных жизненных ситуаций настоящего времени заставляет задуматься об организации разнообразных форм проведения уроков, позволяющих донести различные знания до учащихся как можно интереснее, доступнее, разнообразнее. Несмотря на важность и сложность данной темы, практика показывает, что многие выпускники не имеют прочных навыков в обращении с процентами в повседневной жизни, что и предлагаю компенсировать на уроках элективного курса. А на будущий учебный год, исходя из проведенного анализа, я планирую начать преподавание математики по учебному комплекту Дорофеева Г.В. Задачи на смеси и сплавы: Задача 1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра? Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + Х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в Х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение: 8 + 0,2х = 0,32 . (20 +Х); Х = 13 1/3. Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра. Задача 2. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили? Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли. Составим уравнение. 1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х); х = 10. Ответ: 10 литров 5%-ого раствора. Задача 3 Имеются два сплава раствора цемента, состоящие из воды, песка и цемента. Известно, что первый раствор содержит 10% воды, а второй 40% цемента. Процентное содержание песка в первом растворе в два раза больше, чем во втором. Смешав 300грамм первого раствора и 400 грамм второго раствора, получили новый раствор, в котором оказалось 30% песка. Сколько килограммов цемента содержится в получившемся растворе? Решение: Пусть во втором растворе х% песка, тогда в первом растворе 2х% песка. После того, как смешали 300кг. первого раствора и 400кг. второго раствора, в получившемся растворе стало содержаться (2х/100 ∙300+х/100 ∙400)кг песка, что составляет 30% от общей массы 700 грамм получившегося раствора. Значит, 2х/100 ∙300+х/100∙400=0,3∙700; 10х=200; х=21%. Поэтому в первом растворе содержалось 100-10-42=48(%) цемента. Таким образом, в 300кг первого раствора содержалось 0,48∙400=160 кг цемента. Значит, получившийся сплав содержит 144+160=304 кг цемента. Ответ:304. Задача 4. Сплавили 300 г. сплава олова и меди, содержащего 60 % олова, и 900 г. сплава олова и меди, содержащего 80 % олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве? Решение. Масса олова в первом сплаве равна 0, 6*300г=180г, во втором- 0,8* 900г=720г Тогда масса олова в новом сплаве 180г+ 720г =900г масса нового сплава равна 300г + 900г. = 1200г процентное содержание олова в нем равно 900г / 1200г *100%= 75% . Ответ: 75%. Задача 5. В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 л воды, получили смесь с содержанием спирта 12 %. Сколько воды было в смеси первоначально? Решение. Пусть в смеси было x л спирта, тогда объем воды в ней 4x л. В новой смеси количество спирта осталось прежним (x л.), объем воды в ней (4x + 20 ) л, объем смеси равен ( x + 4x +20 )л, процентное содержание спирта x / ( 5x + 20) * 100%, что по условию задачи составляет 12%. Получим и решим уравнение: 100x/ 5x +20 =12 100x = 12 ( 5 x + 20 )$ x = 6 Ответ: первоначально в смеси было 6 л спирта и 24 л воды. Задача 6. Имеются два куска сплава олова и свинца, содержащие 6% и 4% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45% олова? Решение. Пусть масса куска, взятого от первого сплава m1 г, тогда масса куска от второго сплава будет 600- m1, составим уравнение m1∙0,6+(600- m1 )0,4=600∙0,45 m1 =450 Ответ:450. Задания для самостоятельной работы: 1. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания? Решение. Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг. 2. Сплавили 2 кг. сплава цинка и меди, содержащего 20 % цинка и 6 кг. сплава цинка и меди, содержащего 40 % цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. 3. Смешали 300 г. 60 % - го раствора серной кислоты и 200 г. 80 % - го раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе? 4. Имеется два сплава. Один содержит 2,8 кг. золота и 1,2 кг. примесей, другой – 2,7 кг. золота и 0,3 кг. примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили 2 кг. сплава с содержанием золота 85 %. Сколько килограммов металла отрезали от второго сплава? 5.Найти процентное содержание олова в сплаве, полученном из двух кусков массой m1 и m2, если известно, что первый содержит р1%, а второй – р2% олова.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2