Учитель математики калитвянская нина викторовна

Название	Учитель математики калитвянская нина викторовна
Дата	13.02.2016
Размер	257.19 Kb.
Тип	Документы

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

КАЛИТВЯНСКАЯ НИНА ВИКТОРОВНА

Задание В1

Задачи на проценты

Число b составляет р % от а: b = а ∙ .

Например: Стоимость билета школьника составляет 30% стоимости взрослого. Который стоит 460 руб.

460 ∙ = 138 руб.

Число а увеличивается на р % : b = а ∙(1 + ).

Например: Миксер стоил 520 руб.Сколько стал он стоить после повышения цен на 35%.

520 ∙(1 + ) = 702руб.

Число а уменьшается на р % : b = а ∙(1 - ).

Например: Набор стаканов стоит 250 руб. Сколько стал он стоить после скидки 30%.

250 ∙(1 - ) =175 руб.

На сколько процентов b больше а (b > a): ∙ 100%.

На сколько процентов а меньше b (а < b): ∙ 100%.

Число а увеличилось сначала на р₁ % (р₁= ), а затем на р₂ % (р₂= ): b = а ∙(1 + р₁) ∙(1 + р₂) = а ∙(1 + р₁ + р₂+ р₁ ∙ р₂).

Число а уменьшилось сначала на р₁ % (р₁= ), а затем на р₂ % (р₂= ): b = а ∙ (1 - р₁) ∙(1 - р₂) = а ∙ (1 - р₁ - р₂+ р₁ ∙ р₂).

Сложные проценты, если р % это ежегодное начисление:

а_n = а ∙(1 + )ⁿ. Например: Клиент взял в банке кредит 24000 руб. на 2 года под 28%. Какую сумму денег он должен отдать в банк за 2 год, учитывая проценты.

24000 ∙ (1 + )²= 24000 ∙ (1,28) ²= 39321,6 руб.

Задание В3

Иррациональные уравнения

В левой части оставляем только корень, все слагаемые переносим в правую часть.
Возводим левую и правую части уравнения в квадрат.
Решаем полученное уравнение.
Делаем проверку (корень и подкоренное выражение должны быть неотрицательными), т.е. полученные корни подставляем в первоначальный вид уравнения.

Например: + х = 0

= - х

()² =( - х)²

- 54 – 15 х = х²

х² + 15х +54 = 0

х_1,2= =

х₁= -6 х₂ = - 9

Проверка: х₁= -6 + (-6) = 0 верно, значит х₁= -6 является корнем

Х₂= -9 + (-9) = 0 верно, значит х₂= -9 является корнем

Ответ: х₁= -6, х₂ = - 9

Показательные уравнения

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней, чтобы в левой и правой части уравнения были степени с одинаковыми основаниями.

a^b = a^c

Опускаем основания и приравниваем показатели степеней.

b = c

Решаем полученное уравнение.

Например: (0,5)^{4х +2}= 64^х

(2^-1)^{4х + 2} =(2⁶)^х

2^{-4х – 2}= 2^6х

- 4х – 2 = 6х

- 10х = 2

х = - 0,2

Ответ: х = - 0,2

Свойства степеней:

a^b∙ a^c= a^{b + c} =

= a^b^{- c} =

(a^b)^c = a^{b ∙ c} = a^{- n}

(a ∙ b)ⁿ= aⁿ∙ bⁿ a⁰ = 1

Логарифмические уравнения

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов, чтобы в левой и правой части уравнения были логарифмы с одинаковыми основаниями.

Опускаем логарифмы и приравниваем выражения, стоящие под логарифмами.

b = c

Решаем полеченное уравнение.
Делаем проверку (выражение, стоящее под логарифмом, должно быть положительным), т.е. полученные корни подставляем в первоначальный вид уравнения.

Например: = 2 +

= +

=

=

9 – 3х = 75

- 3х = 66

х = - 22

Проверка: = 2 + верно, значит х = - 22 является корнем.

Ответ: х = - 22

Свойства логарифмов:

у = а^у= х = х

+ = =

- = =

= р =

=

Тригонометрические уравнения

Преобразуем уравнение так, чтобы в левой части была тригонометрическая функция, а в правой части число, т.е.

= a

= a

tg b = a

ctg b = a, где b зависит от х

Для уравнений = a и = a проверяем, чтобы -1 а 1.
Если а , то уравнение не имеет корней.
Если -1 а 1, то решаем уравнение.

= a b = (-1)ⁿ arc + , n Z

= - a b = (-1)ⁿ⁺¹ arc + , n Z

= a b = arc + , n Z

= - a b = arc + , n Z

Частные случаи:

= 0 b = , n Z

= 1 b = + , n Z

= - 1 b = - + , n Z

= 0 b = + , n Z

= 1 b = 2 , n Z

= - 1 b = + 2 , n Z

Для уравнений tg b = a и ctg b = a число a – любое.

tg b = a b = arc + , n Z

tg b =- a b = - arc + , n Z

ctg b = a b = arc + , n Z

tg b =- a b = - arc + , n Z

Так как b зависит от х, то выражаем х.

Например: Решите уравнение и в ответе запишите наибольший отрицательный корень =

= + 2, n Z

= + 2, n Z

2x + 4 = 1 + 8, n Z

2x = 1 – 4 + 8, n Z

x = – 2 + 4, n Z

n = 0, x₁= - 1,5; х₂= - 2,5

n = 1, x₁= 2,5; х₂= 1,5

n = - 1, x₁= - 5,5; х₂= - 6,5

Ответ: х = - 1,5

Рациональные уравнения

Чтобы избавиться от знаменателей, нужно умножить каждое слагаемое левой и правой части на общий знаменатель.
Решаем полученное уравнение.

Например: = 2(2х – 1)

2(25х – 3) = 5(2х – 1)

50х – 6 = 10х – 5

40х = 1

х = 0,025

Ответ: х = 0,025

Задание В4

Прямоугольный треугольник

А

1) =

=

С В

=

=

tg =

tg =

2) Теорема Пифагора: АВ² = АС² + ВС²

АВ =

АС =

ВС =

3) Против угла равного 30лежит катет равный половине гипотенузы.

4) Высота, проведенная к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике.

А СН²= АН ∙ ВН

Н АС² = АН ∙ АВ

ВС²= ВН ∙ АВ

С В СН =

5) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.

R = - радиус описанной окружности

6) Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

r =

Равнобедренный треугольник

А

К

В Н С

Высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Углы при основании равны.
Чтобы найти высоту, проведенную к боковой стороне, нужно использовать формулы площадей треугольника.

ВК = , где = или = , где р -полупериметр

Трапеция

Равнобедренная трапеция: проводим две высоты

А В

ADH = BKC DH = KC

ABHK – прямоугольник АВ = НК

DC = DH + HK + KC = AB + 2DH

D H K C

Прямоугольная трапеция: проводим высоту

А В

AB = DK

D K C

Параллелограмм

В С

Проводим высоту и используем приемы решения прямоугольного треугольника.

А Н D

Задание В6

Площадь треугольника

В

=

=

c h a =

= r p , где r - радиус вписанной окружности

р = - полупериметр

A b H C = , где R – радиус описанной окружности

Площадь параллелограмма

В С

d₁ S = h AD

h S = AB ∙ AD ∙

d₂ S = ∙ d₁∙ d₂∙

A H D

Для ромба S = ∙ d₁∙ d₂

Площадь трапеции

а

h S = ∙ h , где а и b - основания трапеции

b

Площадь круга

r S =

Площадь кругового сектора

S = R² где угол выражен в радианах

r

S = , где угол α выражен в градусах

Задание В7

Логарифмические выражения

= b
= a^c = a^c
= = b^c
= =
= ()ⁿ= b
= p
=
= = c
= = c
= 1
=

Степенные выражения

Свойства степеней:

a^b∙ a^c= a^{b + c} =

= a^b^{- c} =

(a^b)^c = a^{b ∙ c} = a^{- n}

(a ∙ b)ⁿ= aⁿ∙ bⁿ a⁰ = 1

Например:

7⁴∙ 3⁷ : 21³= = = 7¹∙ 3⁴ = 7 ∙ 81 = 567

Тригонометрические выражения

Основные тригонометрические тождества

+ = 1; = 1;

1 + = ; 1 + = .

Формулы суммы и разности аргументов

=

=

=

Формулы двойного аргумента

= -

= – 1

= 1 -

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы приведения

представляем угол в виде суммы или разности, используя: = 90°, °, = 270°, 2 = 360°.
определяем, меняется или нет функция

(90°) – меняется

°) – не меняется

(270°) – меняется

2 (360°) – не меняется

определяем угол, для этого смотрим в какой четверти находится первоначальный угол первоначальной функции

Значение тригонометрических функций некоторых углов

0
0		1	0	-1
1		0	-1	0
0	1	-	0	-
-	1	0	-	0

Радианное измерение углов

Углы в градусах	°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Углы в радианах	°

Задание В8

Касательная к графику функции в точке с абсциссой х₀

Значение производной функции в точке с абсциссой х₀

(х₀) = k = tg

k – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀

y = kx + b – уравнение касательной

α – угол между касательной и положительным направлением оси Ох

у у = kx +b y

α x α x

y = kx + b

k > 0 (х₀) > 0 k < 0 (х₀) < 0

(х₀) = tg = =

т. е. ищем прямоугольный треугольник, к котором целое число клеток в катетах.

Касательная параллельная прямой y = kx + b

Дана функция f(x) и прямая y = kx + b параллельная касательной. Найти (х₀).

(х₀) = k

Находим производную функции. Если она есть.
Приравниваем её к k.
Решаем уравнение и находим х₀.

В. Дан график производной. Найти абсциссы х₀в которых касательные параллельны прямой y = kx + b. У у = (х)

Проводим прямую у = k. у = k
Точки пересечения прямой у = k с 0 графиком производной и есть х₁ х₂ х₃ х искомые х₀.

Возрастание и убывание функции.

Если (х₀) > 0, то функция убывает.

Если (х₀) < 0, то функция возрастает.

Точки экстремума (min и max)

В точках экстремума производная равна нулю, т.е. (х₀) = 0.
На графике это точка пересечения графика (х₀) с осью Ох.
Точка min – производная при переходе через эту точку меняет знак с на знак .
Точка max – производная при переходе через эту точку меняет знак с на знак .

Задание В9

Объёмы и площади поверхностей.

Параллелепипед.

В₁С₁ V = а ∙ b ∙ c

S_бок= 2с ∙ (а + b)

А₁D₁S_полн= S_бок+ 2S_осн= 2с ∙ (a + b) + 2ab

d

Диагональ параллелепипеда

c B C

а d² = a² + b² + c²

A b D

2. Прямая призма.

В основании правильный треугольник.

V = h ∙ S_осн= h ∙ a²

S_бок= 3a∙h

h S_полн= S_бок+ 2S_осн= 3a∙h + a²

если цилиндр вписан в призму, то

a r =

a a если цилиндр описан около призмы, то

R =

В основании правильный четырехугольник (квадрат).

V = h ∙ S_осн= h∙a²

S_бок= 4a∙h

h S_полн= S_бок+ 2S_осн= 4a∙h + 2 a²

а если цилиндр вписан, то r =

а если цилиндр описан, то R =

В основании правильный шестиугольник.

V = h ∙ S_осн= h ∙ a²

S_бок= 3a∙h

h S_полн= S_бок+ 2S_осн= 6a∙h + 3 a²

если цилиндр вписан, то r =

a если цилиндр описан, то R = а

В основании прямоугольный треугольник.

a V = h ∙ S_осн= h∙a∙b

b C S_бок= h∙(a + b + c)

S_полн= S_бок+ 2S_осн= h∙(a + b + c) + h∙a∙b

если цилиндр вписан, то r =

если цилиндр описан, то R = , где с = - гипотенуза

C. В основании ромб.

a d₁ V = h ∙ S_осн= h∙d₁∙d₂

d₂ S_бок= 4a∙h

S_полн= S_бок+ 2S_осн= 4a∙h + d₁∙d₂

3. Цилиндр.

V = h ∙ S_осн= h∙π∙r²

S_бок= 2π∙r ∙h

S_полн= S_бок+ 2S_осн=2π∙r ∙h + 2 π∙r²= 2π∙r∙(r + h)

H h

4. Конус.

V = ∙h ∙ S_осн= ∙h∙π∙r²

S_бок= π∙r ∙l

h S_полн= S_бок+ S_осн= π∙r ∙l + π∙r²= π∙r∙(r + l)

5. Усеченный конус.

V = ∙h∙(S₁+ + S₂)

S_бок= π∙(r + R)∙l

S_полн= S_бок+ S_осн₁+ S_осн₂= π∙(r + R)∙l + π∙r²+ π∙R²

6. Куб.

V = а³

S_бок= 4a²

S_полн= 6 a²

7. Пирамида.

Правильная треугольная пирамида.

V = ∙h ∙ S_осн= ∙h∙а²

h h_a S_бок= h_a∙a =

a S_полн= S_бок+ S_осн= + a²

Правильная четырехугольная пирамида.

V = ∙h ∙ S_осн= ∙h∙а²

h h_a S_бок=4 ∙ h_a∙a =

a S_полн= S_бок+ S_осн= + a²

Правильная шестиугольная пирамида.

V = ∙h ∙ S_осн= ∙h∙а²

h h_a S_бок=6 ∙ h_a∙a =

a S_полн= S_бок+ S_осн= + a²

8. Правильный тетраэдр с ребром а

V = ; S_бок= h_a∙a = a²

a h h_a S_полн= S_бок+ S_осн= a²+ a²=

R = a – радиус описанной сферы

a R = a - радиус вписанной сферы

9. Сфера. Шар.

V = πR³

R S = 4 πR²

а) Шар, вписанный в параллелепипед (с измерениями: a, b, c).

а = 2R, b = 2R, c = 2R V_парал = 8R³

b) Шар, описанный около параллелепипеда (с измерениями: a, b, c).

R = =

c) Шар, вписанный в цилиндр .

r = R – радиус основания цилиндра

h = 2R – высота цилиндра

V_цил = 2πR³

10. Объём многогранника.

V = V₁ + V₂

V₁

V₂

11. Равносторонний треугольник.

S = a²

r = - радиус вписанной окружности

R = - радиус описанной окружности

h_a= a - медиана, высота и биссектриса

Задание В11

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Находим производную функции (х).
Приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение: (х₀) = 0.
Из полученных корней выбираем те, которые принадлежат отрезку.
Находим значение функции в выбранных корнях и на концах отрезка.
Из полученных значений выбираем наибольшее или наименьшее.

Нахождение точек экстремума (min или max).

Находим производную функции (х).
Приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение: (х₀) = 0.
Если производная функции меняет знак с «+» на «-» при переходе через полученный корень, то эта точка - max.
Если производная функции меняет знак с «-» на «+» при переходе через полученный корень, то эта точка – min.

Производная произведения.

(uv)^, = u^,v + uv^,

Производная дроби.

Производные основных функций.

()^’= - ; ( )^’ = ;

(х^р)^’= p x^{p – 1}; (sin x)^’ = cos x;

(е^х)^’ = е^х; (cos x)^’ = - sin x;

()^’= ; (tg x)^’ = ;

()^’= ; (сtg x)^’ = - ;

(а^х)’ = а^х∙ln a.

Производные сложных функций.

()^’= - ∙ u^’; ( )^’ = ∙ u^’;

(е^u)^’ = е^u∙u^’; (sin u)^’ = cos u ∙ u^’;

(u^р)^’= p u^{p – 1}∙ u^’; (cos u)^’ = - sin u ∙ u^’;

()^’= ∙ u^’; (tg u)^’ = ∙ u^’;

()^’= ∙ u^’; (сtg u)^’ = - ∙ u^’;

(а^u)’ = а^u∙ln a ∙ u^’.

Задание В12

Задачи на движение.

S = v ∙ t , v = , t = , где S – путь, v – скорость, t – время

	v	S	t
1 тело
2 тело

Тела движутся навстречу друг другу.

Время встречи t = ,

где S₀ – расстояние между первым и вторым в начальный момент,

v₁ – скорость первого,

v₂ – скорость второго.

t = + = ,

где - время движения первого до встречи,

- время движения второго до встречи.

Одно тело догоняет другое.

Время, за которое второй догоняет первого t = ,

где S₀ – расстояние между первым и вторым в начальный момент,

v₁ – скорость первого,

v₂ – скорость второго.

t = - = ,

где - время движения первого,

- время движения второго.

Движение по течению и против течения реки.

v_{по теч.}= v_{собств.}+ v_теч.

v_{пр теч.}= v_{собств.}- v_теч.

v_{собств.}=

v_теч.=

	v	S	t
по течению
против течения

Задачи на работу.

А = Р ∙ t, P = , t = .

где А – работа,

Р – производительность (т.е. часть работы, выполненной за единицу времени),

t – время за которое была выполнена работа.

Время выполнения работы при совместной работе t = ,

где t₁ – время выполнения работы первым,

t₁- время выполнения работы вторым.

t = + =

	А	Р	t
1
2

Задачи на сплавы, смеси и растворы.

c_m = ∙ 100%, m_k = ∙ , m_o = ∙ 100%

m₀– общая масса,

с_m– процентное отношение массы компонентов,

m_k - масса компонентов.

	m₀	m_k	c_m
1
2