Решим уравнение. Преобразуем знаменатели в произведение

Скачать 67.68 Kb. Название Решим уравнение. Преобразуем знаменатели в произведение Дата 12.02.2016 Размер 67.68 Kb. Тип Документы

№1 Решим уравнение . Преобразуем знаменатели в произведение: . Наименьший общий знаменатель (НОЗ) - х(х-2)(х+2). Получим уравнение: . Уравнение равносильно системе: 2х+(х-2)(х-4) –(х+2)=0, 2х +х2-6х +8 –х - 2 =0, х ≠ 0, х ≠ 0, х-2 ≠ 0, х ≠ 2, х+2 ≠ 0. х ≠ -2. Решим квадратное уравнение: х2 - 5х +6 = 0, х1 = 2, х2 = 3. Так как х ≠ 2, то 2 – посторонний корень. Ответ: х =3 . №2 Решим уравнение | х - 5 | + | 2х + 5 | = 3х. Левая часть уравнения положительна, значит 3х >0, х > 0. Если х > 0, то 2х +5 >0. Используя определение модуля, получим уравнение: | х - 5 | + 2х + 5 = 3х. 1. При х-5 ≥ 0 х - 5 + 2х + 5 = 3х. После преобразований уравнения получится верное числовое равенство: 0 = 0. Это означает, что решением уравнения являются все числа, удовлетворяющие условию х-5 ≥ 0, х≥5. 2. При х-5 <0 -х + 5 + 2х + 5 = 3х, -2х = -10, х = 5, что не удовлетворяет условию х-5 <0. Ответ: х ≥ 5 № 3 Решим уравнение (х2 + 3х – 4 )3 + ( 2х2 -5х + 3 )3 = (3х2 – 2х -1 )3. Разложим квадратные трёхчлены: х2 + 3х – 4, 2х2 -5х + 3 и 3х2 – 2х -1 на множители, используя формулу ах2 +bx +c = a( x- x1)(x- x2). х2 + 3х – 4= (х-1)(х+4), 2х2 -5х + 3 = 2(х- )(х-1), 3х2 – 2х -1 = 3(х+)(х-1). Получим уравнение (х-1)3(х+4)3 + (2х -3)3(х-1)3 = (3х +1)3(х-1)3, (х-1)3(х+4)3 + (2х -3)3(х-1)3 − (3х +1)3(х-1)3=0, (х-1)3( (х+4)3 + (2х -3)3 − (3х +1)3 ) = 0, 1. (х-1)3 =0, х-1 = 0, х =1. 2. (х+4)3 + (2х -3)3 − (3х +1)3 = 0, ( (х+4)3 + (2х -3)3) − (3х +1)3 = 0, Применим в скобках сумму кубов: ( 3х +1) ( ( х+4)2 − (х+4)(2х+3) + (2х−3)2−(3х+1)3) = 0, ( 3х +1) ( (3х2 − 9х + 37) −( 3х +1)2) =0, 3х +1 =0, х = −. (3х2 − 9х + 37) −( 3х +1)2 = 0.(*) После преобразований уравнения (*) получим: 2х2 + 5х− 12 = 0, х1=−4, х2 = . Ответ: х=−4, х = −, х =1, х = . №4 Решим уравнение . 3х2 −2х +8 >0 при всех действительных значениях х, а значит, и 3х2 −2х +15>0. ОДЗ: все действительные числа. Пусть 3х2 −2х +8 = t, t > 0. Получим уравнение , (*) Возведём обе части уравнения (*) в квадрат: t + 7 + 2, =21−t. (**) Это уравнение будет иметь корни при условии 21−t≥ 0, t ≤ 21. Возведём обе части уравнения (**) в квадрат: t(t+7) = 441 − 42t + t2, 49t − 441 = 0, t = 9, 9 удовлетворяет условию 0< t ≤ 21. Вернёмся к переменной х: 3х2 −2х +8 =9, 3х2 −2х−1 =0, х1=1, х2 = − . Ответ: х = − , х=1. №5 Решим уравнение = 6−. Решим уравнение с применением функционального метода. Пусть f(x) =, z(x) = 6 - . Левая часть уравнения - функция f(x) непрерывна и возрастающая, правая часть уравнения- функция z(x) непрерывна и убывающая. Значит, графики этих функций пересекаются в единственной точке. Абсцисса этой точки - корень исходного уравнения. Находим подбором. х = − 2 Ответ: х = − 2 №6 х2 − 5ху + 4у2=0, Решим систему уравнений 2х2 −у2 = 31. Первое уравнение системы решим как квадратное относительно х: х2 − 5ху + 4у2=0, а = 1, b = -5y, c = 4y2, D = 25y2 − 16y2 =9y2, x1,2 = , x1,2 =. Если у≥0, то x1,2 , х1 =4у, х2 = у. (*) Подставим эти значения вместо х во второе уравнение системы, получим: При х =4у 32у2− у2 =31, у2 =1, у1,2 = ±1, −1 не удовлетворяет условию у≥0. Подставим в (*) вместо у единицу. Получим х1 =4, х2 =1. (4; 1), (1;1) - решения системы. При х = у 2у2 −у2 =31, у2 =31, у = . − не удовлетворяет условию у≥0. Подставим в (*) вместо у его значение , получим х1 =4, х2 =. (4;) , (;) – решения системы. Если у<0 , то x1,2 и: а) у1 = −1. Из (*) получим х1 = −4, х2 = −1. (−4; −1), (−1; −1) – решения системы. в) у2 = −. Из (*) получим х1 = −4, х2 = −, (−4;−) , (−;−) – решения системы. Ответ: (−4;−) , (−;−), (1;1), (4; 1), (;),(4;). №7 Решим систему уравнений (х+1)(у+1) =10, (ху+1)(х+у) =25. Преобразуем первое уравнение: (х+1)(у+1) =10, ху+х+у+1=10, (ху+1)+(х+у)=10. Введём новые переменные : ху+1 =а, х+у =с. Получим систему а+с =10, ас=25, откуда а=5 и с=5. Вернёмся к переменным х и у: ху+1=5, х+у =5, Выразим из второго уравнения х: х= 5−у. (*) Подставим это значение в первое уравнение вместо х, получим у(5−у) +1 =5, у2 −5х +4 =0, у1 =1, у2 =4. Из уравнения (*) найдём х: х1 =4, х2 =1. Решение исходной системы : (4 ; 1) , (1; 4). Ответ: (4 ; 1) , (1; 4). №8 Решим систему уравнений х2 +3ху2= 158, 3х2у +у2 = −185. Преобразуем уравнения системы: Сложим первое и второе уравнения системы, а затем вычтем из первого уравнения второе и применим для каждого получившегося уравнения соответственно сумму и разность кубов. Эти преобразования приводят к равносильной системе. Получим (х+у)3 =−27, ( х+у)3 =−33, х + у = −3, (х−у)3 = 343; ( х −у)3 = 73; х −у =7; 2х =4, х=2. Найдём у: у = −3 − х, у = − 5. Ответ: (− 5; 2). №9 Решим систему уравнений х +у +z =13, x2 +y2 +z2 = 91, y2 = xz. 1.Обе части первого уравнения возведём в квадрат: х2+у2+z2 +2xy + 2xz + 2yz =169, Сгруппируем слагаемые: (х2+у2+z2) +2( xy + xz + yz ) =169, вместо х2+у2+z2 подставим 91, получим 2(xy + xz + yz) =78, xy + xz + yz =39. Вместо xz подставим у2, xy + у2 + yz =39, у(х+у+z) =39, y∙13 =39, y=3. Подставим в исходную систему 3 вместо у: x+z =10, x=1, z=9 или z=1, x=9. xz =9 Проверка показала, что тройки (1; 3; 9) и (9; 3; 1) чисел удовлетворяют всем уравнениям исходной системы. Ответ: (1; 3; 9), (9; 3; 1). №10 Решим неравенство x >. х − > 0, > 0, После преобразований в числителе, получим > 0. Разложим числитель и знаменатель на множители: 1.х2+4х +3 = (х+1)(х+3). 2. х3 + 3х −4 =0, х=1 –корень этого уравнения, значит х3 + 3х −4 делится на х−1, (х3 + 3х −4) : (х−1) =х2 +4х+4 х3 + 3х −4 = (х2 +4х+4) (х−1) =(х+2)2 (х−1). Получим неравенство >0, Воспользуемся методом интервалов: − + + − + -3 -2 - 1 1 Ответ: (-3; -2) ( -2; -1) (1; +∞).