Главная страница
Анализ
Анкета
архив
Биография
Бюллетень
Викторина
Глава
Диплом
Доклад
Документация
Задача

«Решение тригонометрических уравнений»



Скачать 90.92 Kb.
Название«Решение тригонометрических уравнений»
Дата20.02.2016
Размер90.92 Kb.
ТипРешение


Открытый урок в 10 классе по теме: «Решение тригонометрических уравнений»
Тема: «Решение тригонометрических уравнений»
Цели урока:

  1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений; восполнить знание учащихся, которые пропустили материал.

  2. Развивающие – способствовать формированию умений, применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

  3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться, общей культуре, формировать общетрудовые умения.


Ход урока:

  1. Организационный момент

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.


  1. Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние зачетные работы по группам вместе с аннотацией.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группам (4 уровня сложности: минимальный уровень, легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили за 7 дней до урока и оцениваются самими учащимися по системе:

«5»- задание выполнено верно и самостоятельно

«4»- задание выполнено верно и полностью, но часть задания выполнена с помощью одноклассников

«3»-интересовался решением и все решил с помощью одноклассников.

Каждый ученик сам оценивает свои знания и знания оценивает группа. Оценку выставляет старший по группе.
Задания минимального уровня.

Решите уравнения:

  1. sin (x+ π/4)=1

  2. cos 2x/2- sin2 x/2=-1/2

  3. cos 2x+3 sin x cos x=0

  4. (tg x -2) (tg x +2)=1

  5. Сколько корней имеет уравнение 2sin x/2 cos x/2=√2/2 на отрезке [0; 2π]

  6. Покажите, что уравнение cos 3x+4 sin 5x=6 не имеет корней

  7. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у= 1-sin 2x и у= sin 2x


Задания легкого уровня.

Решите уравнения:

  1. cos (x/2-π/3)=1/2

  2. 2sin2 x-5sin x+2=0

  3. (2 tg x/2) / (1- tg 2x/2)=2 cos π/6

  4. cos 4x/4- sin4 x/4=-1

  5. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у= sin x и у= cos x

  6. Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]

  7. Покажите, что уравнение sin x/ sin 5x=0 не имеет корней


Задания среднего уровня.

Решите уравнения:

  1. √3cos (x-π/3)=3/2

  2. cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)

  3. 2sin2 x+ 3cos x=3

  4. 2sin x+ 3cos x=3

  5. Сколько корней имеет уравнение 2cos x*cos 2x=cos 3x на отрезке [-π/2; 5π/2]

  6. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= 2tg x и у= 1+сtg x

  7. Покажите, что уравнение 3cos 3x+5 cos 3x=9 не имеет корней


Задания усложненного уровня.

    1. Решите уравнение sin x+ cos x=1 шестью-семью способами

    2. Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения 4cos 2x+3 sin x cos x-2sin2 x =2

    3. Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16 на отрезке [π/6; 13π/6]

    4. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= sin 3x и у= 5sin x

    5. Покажите, что уравнение cos 2x- tg2 x/3= π/3 не имеет корней




  1. Повторение изученного материала устно

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ? [Нет решения]

2) при каком значении а уравнения sin x =a , cos x=a имеют решения? [Если |a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,

cos x=a ? при условии |a | ≤ 1

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,

cos x=a , если a = -1; 0; 1

5) чему равен arсcos(-a) ? [π- arсcos a]

6) в каком промежутке находится arctg a ? [-π/2; π/2]

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?

8) в каком промежутке находится arcсtg a ? (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? (x= arcctg a +πn, n Z)

10) чему равен arcctg(- a) ? ( π- arcctg a)
Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.


    1. cos x=1/2 , х = ± π/6 + 2πк, к Z

Верно : cos x=1/2 , х = ± π/3 + 2πк, к Z
Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

2) sin x =√ 3/2 , x = π/3 + πк, к Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1)к π/3 + πк, к Z
Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x =a

3) cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 2 πк/3, к Z

Верно : cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 6 πк, к Z


Ошибка в выполнении деления

4) sin 2x =1/3, x = (-1/2)narcsin1/3 + πn, n Z

Верно : sin 2x =1/3 , x = (-1)n/2 arcsin1/3 + πn/2, n Z
Вычислительная ошибка

5) cos x = -1/2, x = ±(-π/3) + 2πm, m Z

Верно : cos x = -1/2, x = ±2π/3 + 2πm, m Z
По определению arcсos(-π/3) [0;π]

6) cos x =√10/3, x = arcсos√10/3 + 2πn, n Z
x- не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию | cos x | ≤ 1

7) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, n Z

Верно : tg x =-1, x = -π/4 + πn, n Z
В периоде

8) ctg x =-√3/3, x= -π/3+πm, m Z

Верно : ctg x =-√3/3, x= 2π/3+πm, m Z
По определению arcсos(-π/3) [0;π]




  1. Самостоятельная работа программированного контроля через копировку (с самопроверкой)


Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данных уравнений.

Вариант 1
Вариант 2

а) cos x =1/2 (π/3; 5π/3)

б) sin 2x =0 (π/2; π; 3π/2; 2π)

в) tg x =√3 (π/3; 4π/3)
Ответы:

π/6; π/3; π/2; 2π/3; 5π/6; π; 7π/6; 4π/3; 3π/2; 5π/3; 11π/6; 2π
а) cos x =√2/2 (π/4; 7π/4)

б) sin 2x =1 (π/4; 5π/4)

в) сtg x =-1 (3π/4; 7π/4)
Ответы:

π/4; π/3; π/2; 3π/4; 2π/3; π; 3π/2; 4π/3; 5π/4; 7π/4; 5π/3; 2π

Работа проводится в 2 вариантах.

Ребята сами проверяют свои ответы при помощи переносной доски по готовым решениям. Один экземпляр сдают учителю.

Оценки выставляют сами себе в лист учета знаний.
Критерии оценок:

«5» - выполнил все задания

«4» - 7-6 верных ответов (5 верных ответов)

«3» - 4-5 верных ответов (4-3 верных ответа)

«2» - 1-3 верных ответа (1-2 верных ответа)

Учитель опрашивает учеников, кто как выполнил работу.


  1. Систематизация теоретического материала. Классификация тригонометрических уравнений.


На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.


sin x/2 =1/2

cos (x +π/3)=1

sin 2x =-√3/2 ,

tg (2x -π/4)= √3/3
Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f(x)=a, которые решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.

2sin2 x-7 cos x-5=0

2 cos 23x+ sin 3x-1=0

сtg x-√3tg x+1=√3

1/(1+ cos 2x)+1/( sin2 x)=16/11
Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.

sin2 x- sin x=0

cos 2x+ sin x cos x=1

5 sin x+3 sin2x=0
Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

2sin x-3 cos x=0

4 sin2 x+2 sin x cos x=3

3cos 2x-4 sin x cos x+ sin2 x=0

1/ cos x=4 sin x+6 cos x
Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x (sin x), cos 2x (sin2 x)

sin x+ sin 3x=4cos 3x

cos 2x+ cos x=0

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

2sin2 x+ cos 4x=0
Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

cos x- √3sin x=2

2 cos x+ 2sin x=√6

√3 cos x+ sin x=2
Уравнения вида a cosx+ b sinx = c, где a;b; c 0. Решаются методом введения вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

3 cos 3x+ cos x=4
Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей




  1. Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2, используя нужные методы

sin x=2 sin x/2 cos x/2

cos x= cos2 x/2- sin2 x/2

2=2*1=2 *(sin2 x/2+ cos 2x/2)

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2=2 sin2 x/2+2 cos 2x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2-2 sin2 x/2-2 cos 2x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos 2x/2-3 sin2 x/2=0

Если cos x/2=0 , то должно выполняться равенство sin2 x/2=0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos 2x/2 и получить уравнение, равносильное данному

3tg 2x/2-4 tg x/2+1=0

Пусть tg x/2=у, получим квадратное уравнение

3у2-4у+1=0

Д=16-12=4, Д>0, уравнение имеет два различных корня

у1=1; у2=1/3

Итак, tg x/2=1 или tg x/2=1/3

x/2= arctg1 +πn, n Z x/2= arctg1/3 +πк, к Z

x/2= π/4 +πn, n Z x= 2arctg1/3 +2πк, к Z

x= π/2 +2πn, n Z

Ответ: x= π/2 +2πn, n Z , x= 2arctg1/3 +2πк, к Z

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение, введение новой переменной)


  1. Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (взаимопроверка)




2 cos 2 x+ 7cos x+3=0
5 cos 2 x+21 sin x=13
2tg43 x-3 tg23 x+1=0

sin2 x- sin x=0
cos 2 x+sin x cos x=1
cos 2 x* cos x= cos 3x

(допол) 2sin x- 3 cos x=0

(допол) cos 5 x+ cos x=0
(допол)√3 cos x+ sin x=2



Критерии оценок:

«5» - решено все верно и полностью

«4» - допущены небольшие ошибки

«3» - решено одно уравнение


  1. Домашняя работа

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

  1. √3 cos 2 x+ sin 2x=2

  2. cos x/2- sin x/2=√6/2

  3. 2 cos x+5 sin x+2=0

  4. 2 cos x+3 sin x=3




  1. Итог работы

  1. Итак, сегодня у нас был обобщающий урок по теме: «Тригонометрические уравнения»

Вопросы:

- Что такое тригонометрические уравнения? (Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций)

- какие типы и методы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

2. Что понравилось и что не понравилось на уроке?

3. Дается оценка работы класса.