«Решение текстовых задач на смеси и сплавы»

МОУ СОШ №9 с углублённым изучением отдельных предметов города Серпухова Московской области.

Учитель математики: Леднева Т.В.

Кроссворд:

1. Сотая часть числа называется …(процент)
Устная разминка:
Соотнести проценты и соответствующие им дроби: 5% - 0,05; 17% - 0,17; 123% - 1,23; 0,3% - 0,003; 25% - 0,25

5%		17%		123%		0,3%		25%
0,003		0,25		0,05		0,17		1,23

2. Частное двух чисел называют …(отношение)

3. Верное равенство двух отношений называют …(пропорция)

4. В химии определение этого понятия звучало бы так: гомогенная смесь, образованная не менее чем двумя компонентами … (раствор). Один из которых называется растворителем, а другой растворимым веществом.

5. Отношение массы растворимого вещества к массе раствора называют массовой долей вещества в растворе или …(концентрация)

Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. Эти задачи входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы и включаются в варианты ЕГЭ.
Долей (концентрацией, процентным содержанием) α основного вещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества m в смеси к общей массе смеси M:

_{ }

Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах. В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы. Современные психологи утверждают, что решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.

Поэтому мы с вами рассмотрим несколько способов решения задач на смеси и сплавы.

I. Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

Таблица для решения задач имеет вид.

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества

Задача №1 Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав	15%=0,15	хг	0,15*х
Второй раствор	65%=0,65	(200 – х)г	0,65*(200–х)=130–0,65х
Получившийся раствор	30%=0,3	200 г	200*0,3=60

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):



Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.

Ответ:140г. 60г.
II. Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:



Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:


медь

медь

медь


15%

30%

65%

+

=




200г

Решение.

Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:






Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):



Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.

Ответ:140г. 60г.




III. Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы. Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.

Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.
Теория метода.

(рассматривается только в профильном классе или в классе с достаточным уровнем подготовки)

М₁ – масса первого раствора

α₁ концентрация первого раствора

М₂ – масса второго раствора

α₂ концентрация второго раствора

М₁+ М₂ – масса конечного раствора

α₃ - концентрация конечного раствора

α₁ <α₃ <α₂

m₁ = α₁ М₁ – масса основного вещества в первом растворе

m₂ = α₂ М₂ – масса основного вещества во втором растворе

m₃ = α₃ (М₁+М₂) – масса основного вещества в конечном растворе

с другой стороны m₃ = m₁+ m_2, получаем

α₃ (М₁+М₂) = α₁ М₁ + α₂ М₂;

α₃ М₁ + α₃ М₂ = α₁ М₁ + α₂ М₂;

α₃ М₁ – α₁ М₁ = α₂ М₂ – α₃ М₂;

М₁( α₃ – α₁) = М₂( α₂ – α₃);



Задача №2 (смешивание двух веществ, предлагалась на экзамене в 2006 году). Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

Задача №3 (8.21 Сборник для подготовки к ГИА под ред. Л.В.Кузнецовой) Влажность свежих грибов 90%, а сухих 15%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих?
Задача №4. Имеется склянка 20%-го раствора кислоты и склянка 40%-го раствора кислоты. Смешали 200 г раствора из первой склянки и 300 г из второй. Определите массу кислоты и её концентрацию.
Задача №5. Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200 г второго, то получится 50% раствор. Если слить 300 г первого раствора и 200 г второго, то получится 42% раствор. Определить концентрации первого и второго растворов.


Задача №6 (для самостоятельного решения) (Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе, 8.22). Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?

Первый способ:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Сироп	25%=0,25	180 г.	0,25180=45 (г.)
Вода	0%	х г.	-
Новый сироп	20%=0,2	(180+х) г.	0,2(180+х)=36+0,2х (г.)

45 = 36 + 0,2х;

0,2х = 9;

х=45.

Ответ: 45 г.

Второй способ:


вода


сахар

вода

сахар

вода


180 г.


0,75180+х=0,8(180+х);

135+х=144+0,8х;

0,2х=9;

х=45.
Ответ: 45 г.

Третий способ.



Дополнительные задачи:

Задача №5. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты. Ответ: 16 %.

Задача №6. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%? Ответ:4кг.

Подведение итогов урока!
Дидактические материалы для тренировки:

1. 
   Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?
   
2. 
   Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
   
3. 
   Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?
   
4. 
   Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25% - го раствора нашатырного спирта?
   
5. 
   Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
   
6. 
   Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?
   
7. 
   Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
   
8. 
   В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.
   

Список использованной литературы:

1. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2010.

2. Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )