Решение логарифмических уравнений и неравенств

Название	Решение логарифмических уравнений и неравенств
Дата	05.03.2016
Размер	193.32 Kb.
Тип	Урок

Тема: Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Класс: 11.

Предмет: Алгебра и начала анализа.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков по данной теме.

Цели:

обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме;
создать условия контроля, самоконтроля усвоенных знаний и умений;
создать условия для развития познавательного интереса учащихся;
воспитывать ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке, математическую активность, умение работать в группах, общую культуру.

Задачи:

Образовательная. Повторить теоретический материал. Обратить особое внимание на ОДЗ логарифмической функции.

Систематизировать методы решения логарифмических уравнений, неравенств.

Развивающая. Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся.

Воспитательная. Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Оборудование урока:

- карточки с индивидуальными заданиями для самостоятельной работы;

- карточки с заданиями для домашней работы;

- карточки с заданиями для групп;

- документ – камера

- мультимедийный проектор, компьютер.

- листы для самоконтроля

Формы работы:

- фронтальная;

- работа в группах;

- индивидуальная.

Ход урока.

1.Орг.момент.

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания. Сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы для подготовки к ЕГЭ.

2.Актуализация знаний.

Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.

вариант 2 вариант

Вычислите

1	2	3	4	5
6	3	2	486	17

1 вариант Ответы 2 вариант

1	2	3	4	5
4	2	2	45	14

-Какое уравнение называют простейшим логарифмическим уравнением? Сколько решений имеет уравнение

Какие методы решения логарифмических уравнений вам известны?

3. Работа в разноуровневых группах.

Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений.

1. Решите уравнение log ₂ 4 + 2 log ₂ х = log ₂ (6х + 18)

Учащиеся могут привести одно из представленных решений:

а) Используя переход к равносильной системе:

https://festival.1september.ru/articles/521586/img6.gif

Ответ:3

б) Выполняя проверку найденных корней уравнения: 4х² = 6х + 18, х = -1,5 или х = 3.

Проверка.

х = -1,5, log 24 + 2log 2(-1,5) = log 2(6(-1,5) + 18) - неверно;

х = 3, log 24 + 2log 23 = log 2(6· 3 + 18),

log 236 = log 236 - верно

Ответ:3

-Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания №1.

Группа № 1.

1. Решите уравнение (1-3).

1. log₃ (2х - 4) = log₃ (х + 3)

2. 2log₄ x = log₄ 169

3. lg(2х² - 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).

(1.7. 2 13. 3. 3; 4.)

2. Решите неравенство. log_0,2(3х - 5) > log_0,2(х + 1). (5/3< х< 3)

-В это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.

2. Решите уравнение lg(х + 4) + lg(2х + 3) = lg(1 - 2х).

Решение. 1. Найдём ОДЗ:

2. Преобразуем уравнение к виду:

lg((х + 4)(2х + 3)) = lg(1 - 2х), 2х² + 13х + 11 = 0, отсюда х₁ = -1, х₂ = -5,5.

Так как - 1,5< х< 0,5, то х = -5,5 является посторонним корнем. Ответ: -1.

Учащиеся второй группы приступают к самостоятельному выполнению заданий №1.

Группа № 2

1.Решите уравнение (1-2).

1. log₂(х + 1) + log₂(х + 3) = 3.

2. log₃ (x² - 1) = 1

(1. 1. 2. -2; 2.).

2. Решите неравенство. lg² x ≥ 9 (0; 0,001]U[1000;∞)

-С учащимися третьей группы учитель рассматривает следующее уравнение:

3. Решите уравнение log_1/3x log_1/3(3x-2)= log_1/3(3x-2)

Решение.

О. Д. З.:

;

Log_1/3x log_1/3(3x-2)= log_1/3(3x-2)

Log_1/3x log_1/3(3x-2) - log_1/3(3x-2)=0

Log_1/3(3x-2) ( log_1/3х-1)=0

Log_1/3(3x-2) =0 или log_1/3х-1=0

3х-2=1 log_1/3x=1

3x=3 x=

- посторонний корень

х=1

Ответ: х=1.

Далее учащиеся третьей группы выполняют своё задание № 1самостоятельно.

Группа № 3.

1.Решите уравнение log₂(3x+1) log₃x=2 log₂(3x+1)

2. Решите неравенство.

Решение заданий группы №3.1.Решение: О.Д.З.: 3x + 1>0 и х > 0 ↔ х > 0

log₂ (3x+1)log₃ x - 2log₂(3x+1)=0;

log₂ (3x+1) (log₃x -2) = 0;

log₂(3x+1)=0 или log₃x=2

3x+1=1; x=3²;

3x=0 x₂=9

x₁=0- посторонний корень.

Ответ: х=9.

2. Решение. Прологарифмируем обе части неравенства по основанию10. Поскольку у = lg x

функция монотонно возрастает, смысл неравенства при логарифмировании не меняется.

решим квадратное уравнение относительно

Ответ (0,1;1000).

Учитель проверяет правильность выполнения заданий № 1 у учащихся первой и второй групп и если появляется необходимость, корректирует решения.

По завершении проверки со всеми учащимися класса рассматривается следующее задание.

4. Решите неравенство log _0,5 (х + 1) > log _0,5 (2 - х).

Решение. Функция у = log _0,5 х убывает. Поэтому:

https://festival.1september.ru/articles/521586/img12.gif

Ответ: (-1; 0,5).

Учитель предлагает учащимся первой группы приступить к самостоятельному выполнению заданий № 2. С учащимися второй и третьей группы учитель рассматривает следующее задание.

5. Решите неравенство: 2 log₃_x_-6 9 - log₃ (x-2) ≥ 1

Решение. Перепишем неравенство в виде: 2log₃ 9 /log₃ 3(x-2) - log₃ (x-2)≥1 ↔

4/(1 + log₃ (x - 2)) – log₃ (x- 2) ≥ 1 Пусть log₃ (x- 2) = a, тогда 4/ (a +1) – a ≥ 1 ↔

(4 – (a + 1)²)/(1 + a) ≥ 0 ↔ (a + 3)(a - 1)/(1 + a) ≤ 0

Далее воспользуемся методом интервалов. Получим a ≤ -3 или -1 ˂a ≤ 1. Oсталось решить совокупность неравенств: log₃ ( x - 2) ≤ -3 или -1 ˂ log₃ ( x - 2) ≤ 1 ↔ 0 ˂x - 2≤ 1/27 или

1/3 ˂ x -2 ≤ 3 ↔ 2 ˂ x ≤ 55/27 или 7/3 ˂ x ≤ 5.

Ответ: (2; 55/27] U( 7/3; 5]

Далее вторая и третья группы учащихся самостоятельно выполняют задания № 2. Пока учащиеся второй и третьей группы выполняют задания, учитель проверяет решения учащихся первой группы, комментирует их при необходимости, после чего проверяются ответы у учащихся второй и третьей групп.

4. Физминутка.
Сцепили руки в “замок”, вытянули перед собой, подняли вверх и хорошо потянулись. Врачи утверждают, что в этот момент выделяется “фермент счастья”.

5. Разноуровневая самостоятельная работа

(Слайд на экране и карточки у каждого ученика). Учащимся предлагается оценить свои возможности и выбрать уровень заданий базовый А, повышенный В.
1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А. 1.Решите уравнение

log ₂ (x + 1) = 4 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log₅ (2х + 1) ≥ log ₅ (х - 1).

B. B.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log²_0,2 х - 5 log _0,2 х < -6 log² _0,1 х + 3 log _0,1 х > 4.

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу, выставив оценку за самостоятельную работу.

Ответы: 1 вариант. А. 1. 15; 2.(1; ∞) В. 1. 4, 2; 2. (0,008; 0,04)

2 вариант. А. 1. 20; 2. (- 5; 1,75) В. 1. 9, 1/3. 2. (0; 0,1)U(10000; ∞)

6. Домашнее задание. карточки с заданиями для домашней работы.

Вариант 1	Вариант 2.
Базовый уровень. 1.Решить уравнение 1. log₃ (x + 2) = 3 2. 3. lg (x - 1) – lg (2x - 11) = lg 2 2. Решите неравенство log₈(5х - 8) < log₈(2х + 7).	Базовый уровень. 1.Решить уравнение 1. log_1/6 (x + 0,5) = -1 2. 3.log ₂ (x - 5) + log₂ (x + 2) = 3 2. Решите неравенство log _0,5 (х + 1) > log _0,5 (2 - х).
Повышенный уровень. 1.Решить уравнение. 1. log₄(x + 12)log_x2 = 1 2. 3. 2. Решите неравенство	Повышенный уровень. 1.Решить уравнение. 1. (100х)^lgx = x³. 2. log²₂х - 3 log₂х = 4 3. log_1/3(2х-3)⁵=15 2. Решите неравенство

7. Итог урока. Рефлексия

Итак, мы сегодня с вами решали логарифмические уравнения и неравенства. А теперь давайте обобщим, какие методы решения мы применяли?

Выставление оценок по количеству «+» в тетради, за решение на доске и по карточкам. Определение результативности работы учащихся.

Наш урок подошел к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

Готовясь к экзамену, никогда не думай, что не справишься с заданием, а, напротив, мысленно рисуй себе картину успеха и тогда у тебя обязательно все получится!

Группа № 1.

1. Решите уравнение (1-3).

1. log₂(х + 1) + log₂(х + 3) = 3.

2. log₃ (x² – 1) = 1

3. lg(2х² - 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).

(1.1. 2.

. 3.3; 4.)

2. Решите неравенство. log_0,2(3х - 5) > log_0,2(х + 1). (5/3< х< 3)

Группа № 2

1.Решите уравнение (1-2).

1. log₄(х² - 1) - log₄(х -1)² = log₄│2 - х│.

2. log₂х⁴ + log₂х² = 6.

(1.2+

3. 2. -2; 2.)

2. Решите неравенство. lg² x ≥ 9 (0; 0,001]U[1000;∞)

Группа № 3.

1.Решите уравнение

2. Решите неравенство.

1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А. 1.Решите уравнение

log ₂ (x + 1) = 4 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log₅ (2х + 1)

log ₅ (х - 1).

B. B.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log²_0,2 х - 5 log _0,2 х < -6 log² _0,1 х + 3 log _0,1 х > 4.

C. C.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

log₃_x_{+ 7} (5x + 3) + log₅_x_{+ 3}(3x + 7) = 2

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х) < 1. 1/(lоg5(3 - 2х)) - 1/(4 - lоg5(3 - 2 х)) < 0.
1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А. 1.Решите уравнение

log ₂ (x + 1) = 4 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log₅ (2х + 1)

log ₅ (х - 1).

B. B.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х) < 1. 1/(lоg5(3 - 2х)) - 1/(4 - lоg5(3 - 2 х)) < 0.

1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А. 1.Решите уравнение

log ₂ (x + 1) = 4 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log₅ (2х + 1)

log ₅ (х - 1).

B. B.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х) < 1. 1/(lоg5(3 - 2х)) - 1/(4 - lоg5(3 - 2 х)) < 0.

Вариант 1	Вариант 2.
Базовый уровень. 1.Решить уравнение 1. log₃ (x + 2) = 3 2. 3. lg (x - 1) – lg (2x - 11) = lg 2 2. Решите неравенство log₈(5х - 8) < log₈(2х + 7).	Базовый уровень. 1.Решить уравнение 1. log_1/6 (x + 0,5) = -1 2. 3.log ₂ (x - 5) + log₂ (x + 2) = 3 2. Решите неравенство log _0,5 (х + 1) > log _0,5 (2 - х).
Повышенный уровень. 1.Решить уравнение. 1. log₄(x + 12)log_x2 = 1 2. 3. 2. Решите неравенство	Повышенный уровень. 1.Решить уравнение. 1. (100х)^lgx = x³. 2. log²₂х - 3 log₂х = 4 3. log_1/3(2х-3)⁵=15 2. Решите неравенство
Вариант 1	Вариант 2.
Базовый уровень. 1.Решить уравнение 1. log₃ (x + 2) = 3 2. 3. lg (x - 1) – lg (2x - 11) = lg 2 2. Решите неравенство log₈(5х - 8) < log₈(2х + 7).	Базовый уровень. 1.Решить уравнение 1. log_1/6 (x + 0,5) = -1 2. 3.log ₂ (x - 5) + log₂ (x + 2) = 3 2. Решите неравенство log _0,5 (х + 1) > log _0,5 (2 - х).
Повышенный уровень. 1.Решить уравнение. 1. log₄(x + 12)log_x2 = 1 2. 3. 2. Решите неравенство	Повышенный уровень. 1.Решить уравнение. 1. (100х)^lgx = x³. 2. log²₂х - 3 log₂х = 4 3. log_1/3(2х-3)⁵=15 2. Решите неравенство
Вариант 1	Вариант 2.
Базовый уровень. 1.Решить уравнение 1. log₃ (x + 2) = 3 2. 3. lg (x - 1) – lg (2x - 11) = lg 2 2. Решите неравенство log₈(5х - 8) < log₈(2х + 7).	Базовый уровень. 1.Решить уравнение 1. log_1/6 (x + 0,5) = -1 2. 3.log ₂ (x - 5) + log₂ (x + 2) = 3 2. Решите неравенство log _0,5 (х + 1) > log _0,5 (2 - х).
Повышенный уровень. 1.Решить уравнение. 1. log₄(x + 12)log_x2 = 1 2. 3. 2. Решите неравенство	Повышенный уровень. 1.Решить уравнение. 1. (100х)^lgx = x³. 2. log²₂х - 3 log₂х = 4 3. log_1/3(2х-3)⁵=15 2. Решите неравенство

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ КАРТА УЧАЩЕГОСЯ.

ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.

Выполнял:__________________________________________________

Устная работа.

1 задание

2 задание

3 задание

4 задание

5 задание

6 задание

7 задание

Решение уравнений и неравенств в группе № ___ .

1задание	2задание	3задание	4задание	1задание	2задание	3задание	4задание
+/–	+/–	+/–	+/-	+/–	+/–	+/–	+/ -

Самостоятельная работа.

1 задание

2 задание

3 задание

В.1.

В.2.

В.1.

В.2.

В.1.

В.2.
Индивидуальные задания.

1 задание	2 задание	1 задание	2 задание

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ КАРТА УЧАЩЕГОСЯ.

ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.

Выполнял:__________________________________________________

Устная работа.

1 задание

2 задание

3 задание

4 задание

5 задание

6 задание

7 задание

Решение уравнений и неравенств в группе № ___ .

1задание	2задание	3задание	4задание	1задание	2задание	3задание	4задание
+/–	+/–	+/–	+/-	+/–	+/–	+/–	+/ -

Самостоятельная работа.

1 задание

2 задание

3 задание

В.1.

В.2.

В.1.

В.2.

В.1.

В.2.
Индивидуальные задания.

1 задание	2 задание	1 задание	2 задание