Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси

Название	Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси
Дата	27.02.2016
Размер	101.42 Kb.
Тип	Задача

Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси

Выступление

на городском МО учителей математики

учителя математики

МКОУ СОШ № 10

Х. Перевальный

Асановой Аминат Аргуновны

Ноябрь 2013 г.

Тема: «Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси»

Рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. У многих учащихся эти задачи вызывают затруднения. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется совсем мало времени. Вместе с тем эти задачи встречаются в диагностических и тренировочных работах СТАТГРАД МИОО и на ЕГЭ. Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» не зависимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяем отдельно.

Формула для нахождения концентрации

С_А=

· 100, где

А – вещество в сплаве

М – масса сплава

М_А– масса вещества А в сплаве

С_А – концентрация вещества А в сплаве (в %)

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы.

Задача №1
В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганат калия). В нее долили 60г 30 %-го раствора марганцовки. Определить процентное содержание марганцовки в полученном растворе.
Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

	С_А	М	М_А
1-й раствор	10% или 0,1	140	0,1·140
2-й раствор	30% или 0,3	60	0,3·60
3-й раствор		200	0,1·140 +0,3·60

Концентрация раствора равна : С_А=

·100 = 16 (%)

Ответ: 16%
Задача №2

I способ

Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го раствора марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки?

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

	С_А	М	М_А
1-й раствор	10% или 0,1	х	0,1х
2-й раствор	30% или 0,3	у	0,3у
3-й раствор	16% или 0,16	200	0,16· 200

Составим и решим систему уравнений:

Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.
Намного проще, на мой взгляд, решить задачу по правилу «прямоугольника» или «креста», применяемому химиками:

Смешали два раствора: первый - массой m₁г и концентрацией с₁и второй – массой m₂г и концентрацией с_2,получили раствор массой (m₁ + m₂)г и концентрацией с₃, причем с_1< с_3<с_2.

Найдем зависимость масс исходных растворов от их концентраций.

Масса основного вещества в первом растворе равна с₁ m₁г, во втором растворе - с₂ m₂, а в смеси с₃(m₁ + m₂)г.

Составим равенство с₁ m₁ + с₂ m₂= с₃(m₁ + m₂), откуда следует пропорция

с₁ с₂- с₃
с₃
с₂ с₃ –с₁

II способ

10 14
16
30 6

х

200- х

х= 140(г)- 10% р-р

200 -140 = 60(г) 30% р-р

Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

15 19-х
х
19 х- 15

1ч

1ч

Пусть концентрация раствора равна х%.

= 1; х= 17
Ответ: 17%.

Задача №3 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Какова концентрация кислоты в первом сосуде?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора кислоты – с₁,а концентрация второго – с₂ .

	С_А	М	М_А
1-й раствор	с₁	30	30с₁
2-й раствор	с₂	20	20с₂
3-й раствор	0,68	50	50· 0,68= 34
4-й раствор	70% или 0,7	mс₁+mс₂	2m·0,7

Решим полученную систему уравнений:

Поэтому m₁= 0,6·30=18
Ответ: 18%
Задача №4 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)
Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение.

Пусть масса первого сплава х кг, а масса второго – (х+3)кг

10 10
30
40 20

х кг

(х+3)

; х= 3(кг)- масса первого сплава

3+(3+3)= 9(кг) масса второго сплава
Ответ: 9кг.
Задача №5 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение аналогично решению задачи № 4

10 5
25
30 15

х кг

(200-х)

; х= 50(кг)- масса первого сплава

200- 50= 150(кг)- масса второго сплава

150-50 = 100(кг)
Ответ: 100кг.
Задача №6 (Тренировочная работа № 1 от 22 ноября 2012г)
Смешав 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 22-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32 -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение.

Пусть масса 14-процентного раствора кислоты – х кг, а масса 50-процентного – у кг . Если смешать 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты и добавить кг чистой воды, получится 22-процентный раствор кислоты:0,14х+0,5у= 0,22(х + у +10). Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32% раствор кислоты:0,14х+0,5у+0,5·10=0,32(х +у+10) . Решим полученную

систему уравнений:

Ответ: 25кг.
Задача №6 (Диагностическая работа №3 от 13 марта 2013г)
Имеется два сосуда. Первый содержит 100кг, а второй- 20кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78 % кислоты. Каково процентное содержание кислоты в первом сосуде?

Решение.
Пусть концентрация первого раствора х%, а второго у%.

1)

х у- 72
72
у 72-х

100 кг

20 кг

=5;

2)

х у- 78
78
у 78-х

1ч

1ч

=1;

3) решим систему уравнений

Ответ: 69%.

Задача №7

Сплав из золота и серебра весом 13кг 410г при полном погружении в воду стал весить 12 кг 510г. определите массы золота и серебра в сплаве, если плотность золота 19.3 г/см³,а серебра 10,5 г/см³.

Решение.

По закону Архимеда, сплав при погружении в воду теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им вода, то есть 13.41- 12,51= 0,9(кг).

Плотность воды равна 1г/см³, поэтому объем сплава равен 900 см³, а его плотность равна

= 14.9 (г/см³).

Составим схему, где в левой колонке и в центре стоят массы 1см³ серебра, золота и сплава:

10,5 4,4
14,9
19,3 4,4

Рассматривая правую колонку, видим, что золота и серебра в сплаве одинаковое число частей. Значит, массы золота и серебра в сплаве равны.

13, 41 :2 = 6, 705 (кг)

Ответ: по 6.705 кг

Задача №8

Концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию. Если смещать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если смешать эти растворы в отношении3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Какова доля спирта в каждом растворе?

Решение:

Пусть первый раствор содержит х%, второй –у%, а третий z% спирта. При первом перемешивании смешали 2ч первого раствора, 3ч второго раствора и 4ч третьего и получили раствор, содержащий 32% спирта. Получим первое уравнение: 0,02х + 0,03у +0,04z =0,32·9,

2х +3у+ 4z = 288.

При повторном перемешивании смешали 3ч первого раствора, 2 ч второго и 1ч третьего и получили раствор, содержащий 22% спирта. Получим второе уравнение: 0,03х + 0,02у+ 0,01 z = 0,22·6,

3х+ 2у+ z =132.

Учитывая, что концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию: х, у, z, получим третье уравнение: у²= хz.

Составим и решим систему уравнений:

Из первых двух уравнений выразим у и z через х.

у = 48- 2х, z = х+36, подставляя в третье уравнение получим:

(48-2х)²= х(х+ 36)

48² – 192х +4х² =х²+ 36х

3х²- 228х+ 2304= 0

х²- 76х+ 768= 0

х₁=12

х₂= 64 не является решением так как если х= 64, у<0.

Ответ: в первом 12%, во втором 24%, в третьем 48%.
Задачи на переливание
При решении этих задач еще раз следует напомнить учащимся, что выполняются следующие допущения: «закон сохранения масс» и «закон сохранения объемов», как для всей смеси, так и для каждого из ее компонентов. При этом следует считать, что плотности растворов изменяются незначительно и примерно равны плотности воды, то есть растворы сильно разбавлены, или наоборот, мы имеем дело с сильно концентрированными растворами и разбавляем их незначительно, но тогда плотность раствора близка к плотности основного вещества.

Задача № 9

В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй- 1л молока. Из второй кастрюли в первую перелили 0,13л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

Решение.

В первой кастрюле стало 1,13л смеси, в которой молоко составило

, а кофе – 1-

Во второй кастрюле осталось0,87л молока и добавили 0,13л смеси, в которой кофе было 0,13 · = .

Ответ: одинаково.
Задача №9

Баллон емкостью 8л наполнен кислородно-азотной смесью, причем кислород составляет 16% смеси. Из баллона выпускают некоторый объем смеси, после чего дополняют баллон азотом и вновь выпускают такой же объем смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате в баллоне остается 9% кислорода. Сколько литров смеси выпустили из баллона в первый раз?

Решение.

Предположим, что в первый раз выпустили х литров смеси и дополнили баллон х литрами азота. После первого выпуска смеси в баллоне осталось (8-х) · 0,16 л кислорода, а его концентрация стала равна

= (8 – х)· 0,02. После второго выпуска х л смеси в баллоне осталось (8 – х) л смеси с концентрацией кислорода, равной (8 – х)· 0,02. Концентрация кислорода на этом этапе равна

= 0,09, откуда (8 – х)² = 36, то есть х₁ = 2, х₂ = 14.

х₂ не удовлетворяет условию задачи, так как х< 8.

Ответ: 2 л.