Гексамино авторы работы: Лощилов Роман, Бережинская Вероника
 Скачать 152.01 Kb.
|
Оглавление Введение………………………………………………………… 3 Глава 1. Что такое гексамино ……………..……………… 4 Глава 2. Гексамино и его свойства ………………………….. 5 Глава 3. Задачи из гексамино ……………….…………….… 7 Глава 4. Продукт - игра «Гексамино», её применение ..….. 9 Заключение …………………………………………………… 10 Список литературы …………………………………………… 11 Приложения …………………………………………………… 12 Введение Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому Д. Пойа Каждый из нас, хотя бы раз в жизни, собирал картинку, пазл, мозаику; кто-то пытался собрать из кусочков разбитую вазочку… Собирание из кусочков чего-то целого - очень увлекательный и захватывающий процесс. А если эти кусочки - геометрические фигуры, обладающие определенными свойствами? Тогда это уже не просто игра, а решение задач на распознавание и построение фигур, разбиение их на части, преобразование в новые фигуры. Игры-головоломки или геометрические конструкторы известны с древних времен: «Головоломка Пифагора», «Игра Архимеда», «Танграм», разновидности полимино. Но и сегодня они вызывают большой интерес. Ведь такие задания увлекают, заставляют думать, развивают фантазию, активизируют практические действия и, как итог, формируют желание реализовывать собственный замысел. Играя, фантазируя, исследуя простейшие фигуры, изучая их свойства, понимаешь, что наука - математика намного шире, того, что нам предлагается на уроках. Начинаешь понимать, как из математических фантазий, может появиться новая задача, головоломка или развивающая игра. Цель работы: исследовать гексамино, рассмотреть задачи, игры с гексамино. Задачи:
Методы исследования: Сбор информации, анализ периодической, научной и учебной литературы, точные геометрические расчеты при построении, создание фигур гексамино, выявление свойств этих фигур, конструирование своих моделей, фотосъемка, конкретизация имеющегося материала с использованием ИКТ. Объект исследования: гексамино. Предмет исследования: математические закономерности. Продукт проекта: игра «Гексамино» многопланового использования: игра, складывание различных фигур и картинок, использование фигур гексамино, как дидактический материал. ГЛАВА 1 Что такое гексамино Полимино использовались в занимательной математике с 1907 года, а известны были ещё в древности. Многие результаты с фигурами, содержащими от 1 до 6 квадратов, были впервые опубликованы в журнале «Fairy Chess Review» в период с 1937 по 1957 г., под названием «проблемы рассечения»  . Название «полимино» или «полиомино» было придумано Соломоном Голомбом1 в 1953 году. Голомб определил полимино, как «односвязную» фигуру, составленную из квадратов. «Односвязность» фигуры означает, что каждый входящий в нее квадрат имеет, по крайней мере, одну сторону, общую с другим входящим в нее же квадратом  . Полимино, или полиомино (англ. polyomino), плоские геометрические фигуры, образованные путём соединения нескольких равных квадратов по их сторонам . Полимино носят названия по числу квадратов, из которого они состоят:1 квадрат в мономино; 2 квадрата в домино; 3 квадрата в тримино; 4 квадрата в тетрамино; 5 квадратов в пентамино; 6 квадратов в гексамино; 7 квадратов в гептамино; 8 квадратов в октамино; 9 квадрата в нонамино или эннеомино; 10 квадратов в декамино и т.д.Гексамино - это полимино 6-го порядка, то есть фигура, состоящая из шести равных квадратов, соединённых сторонами  .Также гексамино было популяризировано Мартином Гарднером2. Число различных фигур полимино данного порядка зависит от того, из скольких квадратов составлены фигуры, но еще никому не удалось найти формулу, выражающую эту связь. Чтобы найти число различных «костей» n-мино высшего порядка, приходится пускаться в утомительные вычисления, и есть надежда, что кому-то в 21веке удастся найти эту закономерность... ГЛАВА 2 Гексамино и его свойства Итак, известно, что гексамино (гекса - шесть) - это фигура, состоящая из шести одинаковых квадратов соединенных, хотя бы одной стороной. Рассмотрим, какие секреты таят в себе данные фигуры: «Свободные» и «фиксированные» гексамино. Существует 35 различных форм гексамино (при этом фигуры, совпадающие при поворотах и зеркальных отражениях, не считаются различными). Их принято называть «свободными» гексамино. Если различными считать также повороты, зеркальные отражения, то существует 216 видов гексамино. И тогда речь идет о «фиксированных» формах гексамино  На рисунке 1 показано, как одно «свободное» гексамино может иметь различные виды «фиксированных» гексамино. рис.1 Четные и нечетные гексамино. Интересен факт разделения гексамино на две группы: четные и нечетные. Если раскрасим каждую фигуру гексамино по примеру шахматной доски, то количество квадратов каждого цвета будет иметь - 3 белых и 3 черных квадрата, в этом случае фигуру называют «нечетным гексамино» (рис.2), а если количество квадратов одного и другого цвета - четно (2 и 4), то «четное гексамино» (рис.3). Выделяют 11 фигур - «четных гексамино» (Приложение 1), 24 фигуры - «нечетных гексамино» (Приложение 2). рис. 2 рис. 3 Симметричные и асимметричные гексамино. Исследуем фигуры гексамино на симметричность. 35 свободных фигур гексамино по их свойствам симметрии можно разделить на категории:
А Б В Г Д рис.4 Подробное распределение фигур по категориям в Приложениях 3,4. Площадь фигур. Полный набор из 35 гексамино имеет общую площадь 210 квадратов (35×6), из них невозможно составить какой-либо прямоугольник с такой площадью (3×70, 5×42, 6×35, 7×30, 10×21, 14×15). Доказать это можно, раскрасив гексамино и прямоугольник в шахматном порядке. (Подробное решение приведено в главе 3). Тем не менее, есть другие фигуры из 210 квадратов, которые могут быть составлены из «свободных» гексамино. Например, квадрат 15×15 с прямоугольным отверстием 3×5 в центре, имеет 106 белых и 104 чёрных квадрата (или наоборот) и может быть составлен из полного набора в 35 гексамино. «Параллелограмм» 15×14 с зубчатыми боковыми сторонами. Прямоугольник 19×11 с одноклеточным выступом. Прямоугольник 13×16 с двумя выступами. «Треугольник» с зубчатой гипотенузой. Прямоугольник 17×15 с крестообразным отверстием (Приложение 5). ГЛАВА 3 Задачи из гексамино Задачи из гексамино можно разделить на три типа: Ι. Задачи нестандартные, часто используемые на олимпиадах, конкурсах, викторинах. Приведем примеры таких задач. № 1. Какие из фигур не могут быть развертками куба? a b c d Ответ: фигура c № 2. Мысленно сверните из фигур гексамино куб и определите, какая грань является верхней, если нижняя грань закрашена? 1 4 2 5 3 4 1 3 2 5 1 2 3 5 5 4 3 2 1 а б в г 4 Ответ: а) 1; б) 5; в) 4; г) 4 № 3. Можно ли сложить из элементов гексамино прямоугольник 3х70? Решение: Так как «нечетных» элементов гексамино 24 фигуры, то по правилам математики: четное умножая на нечетное равно четному. 3(белых) 24 фигуры = 72 (белых) квадрата. 3(черных) 24 фигуры = 72 (черных) квадрата. А «четных» элементов 11 фигур, следовательно: четное умножая на нечетное равно четному. 2(белых) *11фигур = 22(белых) квадрата. 4(черных) *11 фигур = 44(черных) квадрата. Итого: 72+22 = 94(белых) 72+44 = 116(черных) А в прямоугольнике 3*70=210(квадратов) белого и черного цвета поровну (по 105). Следовательно, нельзя сложить такой прямоугольник из элементов гексамино. Ответ: нельзя. № 4. Можно ли сложить прямоугольник 6˟7, из нарисованных фигурок? (Каждая фигурка должна быть использована ровно один раз)  .   Решение: Так как в прямоугольнике 6˟7 будет 21 черных и 21белых квадратов, а из предлагаемых фигур 6 - нечетных (18 белых, 18 черных квадратов) и одна четная (4 белых, 2 черных квадрата). Имеет 20 черных и 22 белых квадрата, следовательно нельзя сложить такой прямоугольник. Ответ: нельзя.  № 5. Фигура, изображенная на рисунке, составлена из 6 одинаковых квадратиков. Её периметр равен 6 см. Найдите её площадь  . Решение:  ˟ 6 =   Ответ: .ΙΙ. Задачи на составление фигур и картинок из набора «свободных» 35 форм гексамино или из «фиксированных» 216 форм гексамино. Приложение 7. ΙΙΙ. Задачи с использованием шахматной доски, играют два и более человек, игроки поочередно выставляют на доску гексамино, кто не сможет уместить свое гексамино на доске - проигрывает (размер доски может быть больше традиционной). Приложение 6. ГЛАВА 4 Продукт - игра «Гексамино», её применение Исследовав фигуры гексамино, их свойства, применение, захотелось поиграть в эту замечательную игру. Но, оказалось, что ни в магазинах нашего города, ни в интернет-магазинах такой игры нет. Можно в интернет-магазине заказать игру гексамино, но с математической точки зрения - это гексатрион (фигуры из шести правильных треугольников, их всего 12 фигур). Поэтому было решено, самим создать данную игру. Вначале были изготовлены фигуры гексамино по размеру обычной шахматной доски, но играть на обычной шахматной доске (размер 8˟8) было не интересно, т.к. доска быстро заканчивалась, а фигур оставалось еще много. Поэтому была разработана доска размером 14˟15, соответственно размер клетки-квадрата 2см˟2см. Площадь данной доски составила 210 квадратов, что равно площади всех 35 фигур гексамино (35˟6= 210). Но все фигуры нельзя установить на прямоугольнике 14˟15 (доказано в главе 3), поэтому нельзя сыграть вничью, всегда будет выигравший.  Игра состоит из доски 14˟15, 35 фигур гексамино и инструкции (Приложение 6). Фигуры гексамино имеют двустороннюю окраску, это очень удобно: один игрок может играть гексамино одного цвета, другой - другого. Доска также двусторонняя на одной стороне квадраты закрашены в шахматном порядке, а другая просто разбита на квадраты (на доске, разбитой на квадраты, оказалось легче собирать различные фигуры). Для инструкции были самостоятельно разработаны картинки, которые предлагаются для сборки из фигур гексамино (Приложение 7). Так же гексамино могут служить раздаточным материалом на уроках математики по темам: 1. «Площадь. Формула площади прямоугольника». Математика, 5 класс, Н.Я.Виленкин и другие, глава 1, §4, п.18; 2. «Площадь прямоугольника». Математика, 5 класс, Г.К.Муравин, О.В.Муравина, глава 2, п.8; 3. «Понятие площади многоугольника». Геометрия, 8 класс, Л.С.Атанасян и другие, Глава 6, §1, п.48; 4. «Осевая и центральная симметрии». Геометрия, 8 класс, Л.С.Атанасян и другие, Глава 5, §3, п.47; 5. «Центральная симметрия». Математика, 6 класс, Г.К.Муравин, О.В.Муравина, глава 3, п.12; «Осевая симметрия». Математика, 6 класс, Г.К.Муравин, О.В.Муравина, глава 4, п.21. Заключение Закончен проект, выполнены поставленные задачи, достигнуты намеченные цели. Пройден трудный, но интересный путь. Приятно осознавать, что сделанная работа принесла удовлетворение не только тем, кто работал над ней, но и многим ребятам, для которых знакомство с игрой «Гексамино» стало приятным открытием, а в кабинете появилась новая игра и дидактический материал. Есть ещё одна положительная сторона: занимаясь проектом, нам пришлось выполнять много измерений, чертежей, построений. Рассматривать задачи на распознание и построение фигур, разбиение их на части, преобразование в новые фигуры. Все это пригодится в седьмом классе, когда мы начнем изучать геометрию. Очень хочется, чтобы такая игра была доступна всем желающим, продавалась в магазинах нашего города. Ведь игра «Гексамино» - это очень полезное занятие для развития смекалки, фантазии, комбинаторских способностей, наглядно-образного мышления, воображения, внимания, творческих способностей. Из набора фигур можно построить разные осмысленные схематические фигурки. Дети знакомятся с пропорциями, учатся ассоциировать силуэты с реальными предметами. Из фигур гексамино также можно построить узоры или орнаменты. Кроме работы по инструкции, можно фантазировать самостоятельно, изобретая новые контуры знакомых предметов. Интересно, как бывает: заинтересовало слово «гексамино», а в результате появился целый проект! И всё благодаря такой замечательной науке - математике! Список литературы 1. Википедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гексамино 2. Википедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/Полимино 3. Википедия. https://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex13.html 4. Голомб С. В. Полимино. Пер. с англ. В.Фирсова - М.: Мир, 1975. - 207. 5. Гарднер М. Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. 6. Г.К.Муравин, О.В.Муравина «Математика» 6 класс. 7. Математический клуб «Кенгуру» выпуск № 8, 2009. 8. Все задачи «Кенгуру», С-П, 2008. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЧЕТНЫЕ ГЕКСАМИНО 11 фигур ПРИЛОЖЕНИЕ 2 НЕЧЕТНЫЕ ГЕКСАМИНО 24 фигуры ПРИЛОЖЕНИЕ 3 АСИММЕТРИЧНЫЕ ГЕКСАМИНО 20 фигур ПРИЛОЖЕНИЕ 4 СИММЕТРИЧНЫЕ ГЕКСАМИНО Осевая симметрия - 8 фигур Центральная симметрия - 5 фигур Осевая и центральные симметрии - 2 фигуры ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Фигуры, составленные из 35 «свободных» фигур гексамино       ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Продукт проекта - игра «Гексамино» 1 - доска 2 - набор гексамино (35 штук)  3 - инструкция по применению  ПРИЛОЖЕНИЕ 7 Самостоятельно разработанные фигуры из гексамино                           ПРИЛОЖЕНИЕ 8 Применение   1. Играем!  2. Собираем!   3. Учимся!     1 Соломон Вольф Голомб (род. 30 мая 1932) — математик, инженер, профессор электротехники в Университете Южной Калифорнии. 2 Ма́ртин Га́рднер (21.10 1914— 22.03 2010)— американский математик, писатель, популяризатор науки. Опубликовал более 70 книг. |
