«Практическое применение дробей в работе различных профессий»
 Скачать 156.44 Kb.
|
| Муниципальный ЭТАП Российской научной конференции школьников «Открытие» Секция: Математика Тема: «Практическое применение дробей в работе различных профессий». Автор: Смирнова Валерия Ивановна- ученица 7 класса МОУ «Викторопольская СОШ» пос. Викторополь Научный руководитель: Новохатская Галина Кузьминична-учитель математики МОУ «Викторопольская СОШ» 2015 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 3 История возникновения дробей 4 Дроби в древних государствах 7 Дроби в работе различных профессий 9 Заключение 13 Литература 14 ВВЕДЕНИЕ. С древних времен людям приходилось не только считать предметы, но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары. Но полученные результаты не всегда удавалось выразить натуральным числом. Анализ УМК по математике под редакцией различных авторов показал, что дробям придается действительно большое значение. Дроби являются своего рода «кирпичиками», на которых «строятся» все числа. Ведь еще Цицерон говорил: «Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!». Именно это и определяет актуальность нашего исследования. Объектом данной работы являются дроби. Предметом - исследование применения дробей в практической деятельности человека. Цель данной работы – изучение истории возникновения и практического применения дробей в работе различных профессий. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Основными методами, используемыми в данной работе, являются:
Практическая ценность работы состоит в возможности использовать материал и результаты данного исследования на уроках математики, а также при дальнейшем исследовании дробей. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДРОБЕЙ. Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от латинского fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввел в оборот греческий математик Максим Плануд. Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). В древней Руси дроби называли долями или ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей. Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше. В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Первые упоминания о дробях встречаются в следующих древнейших математических текстах:
Рассмотрим более подробно некоторые из них. Московский математический папирус («математический папирус Голенищева») был составлен в 1850 году до нашей эры. Он на 200 лет старше другого знаменитого древнеегипетского текста – Папируса Ринда (или Папируса Ахмеса), написанного около 1650 года до нашей эры. Первым владельцем этого папируса был один из основателей русской египтологии Владимир Семёнович Голенищев. В настоящее время «папирус Голенищева» находится в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве. Длина Московского математического папируса составляет 5,40 м, а его ширина от 4 до 7 см. Большинство задач Московского математического папируса посвящены практическим проблемам, связанным с применением геометрии. Папирус Ринда представляет собой древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии, переписанное писцом по имени Ахмес. Свиток папируса имеет высоту в 32 см и ширину в 199,5 см. Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Московский математический папирус уступает папирусу Ахмеса по полноте (он состоит из 25 задач), но превосходит его по возрасту. Все задачи из папируса Ахмеса имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 году в Фивах и часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца. В 1887 году папирус был расшифрован, переведён и издан Г. Робинсоном и К. Шьютом. В настоящее время большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке. Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила. Вместе с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией (одна из задач папируса Ахмеса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии). Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «множество» (аналога латинского x, традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры. Папирус Райнда, как и Московский математический папирус, показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа  ≈ 3,16 ((16/9)²), тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон [(a+c)/2]×[(b+d)/2], что верно только в частных случаях (прямоугольнике, трапеции и др.). Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями (вида 1/n, где n — натуральное число). В других случаях дробь вида m/n заменялась произведением числа m и аликвотной дроби 1/n, что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их.Все задачи из папируса Ахмеса имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным. Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное. ДРОБИ В ДРЕВНИХ ГОСУДАРСТВАХ. В древнем Вавилоне предпочитали постоянный знаменатель, равный шестидесяти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего, здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Максим Плануд греческий монах, ученый, математик в 13 веке ввел название числителя и знаменателя. В Греции употреблялись наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, означало три пятых. Еще за 2-3 столетия до Евклида и Архимеда греки свободно владели арифметическими действиями с дробями. Дроби в Индии. Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. Зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c. Правила действий над дробями почти не отличались от современных. Дроби у арабов. Записывать дроби как сейчас стали арабы. Средневековые арабы пользовались тремя системами записи дробей. Во-первых, на индийский манер записывая знаменатель под числителем; дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры, торговцы пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали над усовершенствованием этого исчисления. В-третьих, арабские ученые унаследовали вавилонско-греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись, распространив ее и на целые части. Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. Зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Правила действий над дробями почти не отличались от современных. Записывать дроби как сейчас стали арабы. В древней Руси в первых учебниках дроби назывались "ломаные числа". В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси: – половина, полтина, – треть, – четь, – полтреть, – полчеть, – полполтреть, – полполчеть, – полполполтреть (малая треть), – полполполчеть (малая четь), – пятина, – седьмина, – десятина. Древние математики 100/11 не считали дробью. Остаток от деления 1 фунт предлагается поменять на яйца, которых можно было купить 91 штуки. Если 91:11 то получится по 8 яиц и 3 яйца в остатке. Автор рекомендует отдать их тому, кто делил, или же поменять на соль, чтобы посолить яйца. В Европе понятие дроби ввёл в 1585 году голландский математик и инженер Симон Стевин. Вот как он изображал дробь: 14,382, 14 0 3 1 8 2 2 3 Во Франции десятичные дроби ввёл Франсуа Виет в 1579 году; его запись дроби: 14,382, 14/382, А у нас учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году в учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная» ДРОБИ В РАБОТЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОФЕССИЙ. Для того чтобы исследовать употребление дробей в различных сферах человеческой деятельности мы провели анкетирование и социологический опрос родителей учащихся 6-7 классов. В исследовании приняли участие 30 человек, разных профессий. Среди профессий респондентов можно выделить следующие:
Анкетирование было направлено на выявление использования в работе представителей различных профессий действий с дробями. Анализ анкетирования показал, что 83,3% (25 человек) респондентов используют дроби и различные действия с ними в своей профессии и только 16,6% (5 человек) нет. Социологический опрос был направлен на выявление сфер жизнедеятельности человека, в которых невозможно обойтись без дробей и действий с ними. Социологический опрос позволил выделить следующие сферы жизнедеятельности человека, которым свойственно использовании е дробей:
Нам также удалось подобрать перечень задач, которые люди разных профессий решают на своих рабочих местах. 1. Фармацевт: Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 0, 18 активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,35мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребенку в возрасте 4 месяцев и весом 8кг в течение суток. 2. Биолог: На озере росли лилии. Каждый день их число удваивалось и на 20й день заросло все озеро. На какой день заросла половина озера? 3. Продавец: Костюм стоит 110 долларов. Сколько франков надо заплатить за этот костюм , если курс франка по отношению к доллару составляет 5,5? Т.е. 1 доллар =5,5 франков. 4. Банкир: Бизнесмен положил в банк 100000руб. Через год он забрал из банка 150000руб. Сколько процентов составила прибыль? 5. Фокусник: У Марины было целое яблоко, две половины и четыре четвертинки. Сколько было у нее яблок? 6. Овощевод: Неожиданное усыхание. В только что расколотом арбузе содержалось 0,99 воды. После его усыхания содержание воды стало составлять 0,98. Во сколько раз «усох» арбуз? 7. Водитель: Я отправился в рейс из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 369 км. В 13 ч 30 мин я проехал третью часть пути. С какой скоростью мне нужно ехать, чтобы прибыть в фирму до ее закрытия? (фирма закрывается в 17 ч). 8. Повар: Для приготовления борща из 500 г мяса необходимо: свекла -300 г, капуста – 200 г, картофель 200 г, корень и лук 200 г, томаты 100 г, фасоль 50 г. Рассчитайте расход продуктов на приготовление борща из 2 кг мяса. 9.Электрик: Длина провода 16 м. На ремонт стальной лампы израсходовал ¼ этого куска. Хватить ли мне оставшегося провода, чтобы заменить проводку в комнате размером 3х4? (Замену нужно произвести по двум смежным стенам). 10. Художник: Нарисовать фигуру взрослого человека. Что при этом нужно учесть? (Известно, что голова взрослого человека занимает 1/7 роста человека.) Данные задачи можно использовать на уроках математики. Существуют и другие способы применения дробей в повседневной жизни. Вот некоторые из них: 1) Дроби и музыка. Ноты отличаются по длительности их звучания. Знаком обозначают целую ноту, ноту вдвое короче – половинную - , четвертную - ,восьмую - , шестнадцатую - . 2) Золотое сечение. Золотым сечением называли математики древности и средневековья деление отрезка при кот ором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближённо равно 0,618  . Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплёты многих книг имеют отношение ширины и длины, близкое к значению 0,618. Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры – Парфенон – построено вV в. до н.э. отношение высоты здания к его длине равно 0,618(приложение 2) 3) География Участки земной поверхности изображаются на карте в уменьшенном виде, для этого используется понятие масштаба: отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Например: масштаб карты  означает, что 1см на карте соответствует 10000см на местности.4) В строительстве. Фасад здания Первой клинической больницы им. Н.И. Пирогова (Москва) построен так, что если разделить высоту здания по золотому сечению, то получим те или иные выступы, карнизы и т.д. 5) Игры. Начиная знакомство Ребенка с игрой, используйте те задания, которые учитывают возраст и уровень развития Ребенка. • Достаньте целый круг и задайте Ребенку вопрос: "На что это похоже?" (например: круг - на яблоко, пирог, мяч и т.д.). Затем покажите второй круг, который состоит из двух половинок. Чем отличаются круги? - Сколько частей во втором круге? - Одинаковые ли круги? (целый и из двух частей, методом наложения половинок на целый круг). • Игра "Магазин": Ребенок в роли продавца, взрослый - покупатель, круги - это фрукты. Взрослый просит: "Дай мне, пожалуйста, целое яблоко, половинку яблока, одну вторую яблока". Затем меняются ролями. Игра станет более интересной, если добавить круги, разделенные на 3,4,5 частей и т.д. • Предложите ребенку обвести целый круг и "превратить" его в солнышко, арбуз, колесо, используя бумагу и цветные карандаши. Половинку круга - в гриб, зонтик и т.д. • В игре можно использовать стихи-загадки. • Можно создать ситуацию, при которой возникает необходимость разделить предмет на две равные части ( помочь двум мышкам разделить сыр). • Разделить 1-2 круга на две и более части. Проверить наложением равные ли получились части, посчитать их и, соединив вместе, вновь получить целый круг. Обвести контуры целого круга и его части. Сравнить размеры целого круга и части, 1=2/2=3/3. Сколько частей в каждом круге? • Взять 3 круга. Один целый, второй разделить на две части, третий - на четыре части. Сравнить размер одной второй и одной четвертой части и их количество. Вопросы Ребенку: • что больше - половинка или целый круг? • что меньше - целый круг или половинка? • что больше - половинка или одна из четырех частей (одна четверть)? Почему? Вывод. Чем на большее количество частей делится предмет, тем меньше эти части. • Сколько раз надо сложить круг, чтобы разделить его на две (четыре) равные части? Если круг сложить один (два, три...) раза пополам, сколько частей получится? Здесь можно использовать также круги, предварительно вырезанные из бумаги. • Показать одну часть круга (одну треть, одну четвертую и др.). Пусть Ребенок попробует догадаться, сколько частей было в круге? ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенное нами исследование, как теоретическое, так и практическое, позволило прийти к выводу, что без знания математики, особенно знания дробей вся современная жизнь была бы невозможна, например, у нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать, сооружать. Наша одежда была бы очень грубой, так как ее нужно хорошо скроить, то есть точно все измерить, Не было бы ни железных дорог, ни какой большой промышленности, ни какой коммерции. И конечно, не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысяч других вещей, составляющих часть нашей цивилизации. Использование дробей, измерения «на сколько?», «как долго?» являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем. Нет практически ни одной сферы человеческой деятельности и жизни, где не использовались бы (или не стремились к использованию) дробей и законов их управлению. Людям разных профессий необходимо уметь решать задачи на дроби, знать правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей. В заключении можно сказать, что цель данной исследовательской работы достигнута, задачи, поставленные для ее реализации, решены. ЛИТЕРАТУРА
|