«Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла»

Скачать 74.58 Kb. Название «Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла» Дата 29.02.2016 Размер 74.58 Kb. Тип Документы

1. /урок/пирамиды.docx 2. /урок/призма.doc 3. /урок/урок объемы.docx «Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла» «Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла» Урока по геометрии в 11 классе по теме «Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла» Группа № 3 Объем пирамиды и усеченной пирамиды. В папке – кейс содержатся следующие материалы Немного из истории. Основной теоретический материал по теме «Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла». Задание № 1. Выведите формулу для нахождения объема пирамиды, используя метод интегрирования. Выведите формулу объема усеченной пирамиды. Задание № 2. Решите задачи на вычисление объема пирамиды и усеченной пирамиды. Задание № 3. Приготовьте защиту вывода формулы объема пирамиды и формулу усеченной пирамиды, решение стандартных задач. Задание № 4. Придумайте или найдите задачи на нахождения объема пирамиды, задачи с использованием формулы объема пирамиды для учащихся других групп (Из различных источников). Интересное о пирамидах. Задание № 5. Решите задачи по своей теме практического содержания. Задание № 6. Приготовьте защиту проекта: интересное о пирамидах и решение задач практического содержания. Задание № 1. Выведите формулу для нахождения объема пирамиды, используя метод интегрирования. Выведите формулу объема усеченной пирамиды. Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. План доказательства: Сначала докажите теорему для треугольной пирамиды. Проведите ось Ох и рассмотрите сечение А1В1С1. Докажите теорему для произвольной пирамиды. Следствие из теоремы. Формула для вычисления объема усеченной пирамиды Объем усеченной пирамиды рассматриваем как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию. Задание № 5 Задачи практического содержания Какой объем молока может войти в тетра пак в виде пирамиды, основание которой равносторонний треугольник со стороной 20см, высотой 24см. Египетские пирамиды – древнейшее и вместе с тем единственное сохранившееся до наших дней чудо света. Пирамида Хеопса - самая большая пирамида. Она была самым большим зданием мира, пока в 1889 года не уступила Эйфелевой башни. Сейчас высота пирамиды составляет 137 м, основание 230•230м, вес 6400000тонн. Вычислите объем пирамиды. Пирамида Лувра - большая пирамида, сделанная из стекла и металла, окруженная тремя меньшими, расположена во внутреннем дворе Музея Лувра в Париже, во Франции. Большая пирамида служит главным входом в музей. Законченная в 1989 году, она стала достопримечательностью города Париж. Для сооружения нового входа в музей был выбран проект, разработанный архитектором Йо Минг Пеем, выходцем из Азии, живущим в Нью-Йорке, и который был ответственен за проект Музея Михо в Японии. Структура, которая была построена полностью со стеклянными сегментами, достигает высоты 20.6 метров (приблизительно 70 футов); сторона основы пирамиды имеет длину в 35 метров (115 футов). Пирамида покрыта 603 стеклами в форме ромба и 70 в форме треугольников. Какой объем в пространстве она занимает? Интересное о пирамидах Термин “пирамида” заимствован из греческого “пирамис” или “пирамидос”. Греки в свою очередь позаимствовали это слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово “пирамус” в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции “пирос” - рожь). В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин происходит греческого слова “пир” - огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамида названа “огнеформное тело”. Полуостров Крым, помимо многочисленных здравниц и удивительных пейзажей, как оказалось, может заинтересовать туристов еще и своими тайнами и загадками, которые скрыты в его недрах. В 2001 году именно на территории этого полуострова были обнаружены пирамиды. Пирамиды в Крыму нашла группа исследователей-энтузиастов, которые занимались частными исследованиями почв в этой местности. Группа исследователей под руководством Виталия Гоха обнаружила целых 37 пирамид на территории четырехугольника Севастополь – мыс Сарыч – Ялта – Бахчисарай. Почему пирамиды в Крыму нашли только сейчас? Дело в том, что эти сооружения скрыты от человеческого глаза слоем земли – их вершины находятся прямо под ногами человека. Найденные пирамиды в Крыму не уступают в величии своим египетским собратьям. Пирамиды майя можно назвать еще одним чудом света. Даже не имея централизованной власти и находясь в постоянных конфликтах с соседними племенами, майя смогли оставить после себя такие великолепные памятники культуры, которыми мы можем любоваться и в наше время.  Большая часть пирамид майя расположена на полуострове Юкатан, где, по данным исследователей, в VІII веке проживало около 5-6 миллионов человек. Если египетские пирамиды имеют четкую пирамидальную форму, то пирамиды майя имеют некое подобие крепости на вершине и длинную лестницу к ней от самого подножья пирамиды. Кроме того, пирамиды майя имеют многоуровневую структуру, которая выглядит как ступени в небо. Некоторые пирамиды майя имеют внутренние вложения по типу матрешки, когда одна пирамида как бы стоит в другой. Такие пирамиды являются наследием не только майя, но и ацтеков, других индейских племен, проживающих в то время на территории Мезоамерики. Каким образом майя возводили подобные строения без соответствующей техники – остается загадкой, однако строились пирамиды таким образом, что смогли простоять не один десяток веков. "Хеопс, — пишет он, — оставил после себя грандиозное произведение: свою пирамиду. Дорога была длиной в 5 стадий (923,5 м), 10 оргий в ширину (18,47 м) и в самом высоком месте имела подъем в 8 оргий (14,78 м). Понадобилось 10 лет, чтобы завершить дорогу и построить подземные камеры, которые должны были служить могилами. Гробницы были сооружены на плато: там возвышаются Пирамиды на острове, образованном отводным каналом. Сама пирамида потребовала 20 лет работы. Она квадратная. Каждая ее сторона равна 8 метрам (246,26 м) и такого же размера ее высота. Камни отполированы и тщательно пригнаны; каждый из них не меньше 30 ступней (9,24 м)". " Таким образом, сначала заканчивали вершину, потом переходили по этажам вниз и завершали основание пирамиды. Сумма расходов доходила до 6 000 талантов серебра, что составляет 41 884 кг. Прибывшему в Гизу туристу открывается одна из прекраснейших картин, какую когда-либо создавала рука человека. Египетская поговорка "Всё боится времени, но время боится Пирамид" как нельзя лучше применима к этому месту. Пирамида Хеопса — самая большая из трех. Имевшая вначале 146 м высоты, сегодня она достигает лишь 137 м, а на месте вершины образовалась площадка шириной 10 м. Пирамида полностью лишилась наружной облицовки, так что гигантские каменные блоки обнажились и позволяют подняться по ним до самой вершины. Нужно сказать, что открывающаяся сверху панорама вполне вознаграждает потраченные на подъем силы. Задание № 2 Решите задачи Задача № 1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна . Задача № 2. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. Задача № 3. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? Задача № 4. Объем усеченной пирамиды равен 210 см3, площадь нижнего основания 36 см2, верхнего 9 см2. Найдите высоту пирамиды. Дополнительные задачи  Задача 1. Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Задача 2. Докажите, что если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Задание № 3 Защита вывода формулы объема пирамиды и формулу усеченной пирамиды, решение стандартных задач. Распределить между членами группы выполнение заданий для компактного представления материала. Город будущего. Задание № 4. Придумайте или найдите задачи на нахождения объема пирамиды, задачи с использованием формулы объема пирамиды для учащихся других групп (Из различных источников). Найдите задачи, решите их самостоятельно, оформите их для представления учащимся других групп и затем будьте экспертами при решении ими задач (каждой группе по 2 задачи)