Урок по геометрии в 8 классе с элементами исследовательской деятельности по теме «Четырёхугольники»
 Скачать 0.59 Mb.
|
Самостоятельная работа учащихся по контрольным заданиям ЭУМ по теме «Теорема Пифагора и следствия из нее. К2» (G08_031.K02.oms, приложение №5).Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для контроля умений и навыков учащихся применения теоремы Пифагора и ее следствий при решении различных задач. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося. (слайд №13) 7. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания. Рефлексия. Подведите итоги вашей работы по листу контроля и выставите себе итоговую отметку. Итак, наши исследования на сегодня закончились. Давайте вернёмся в начало нашего урока (слайд презентации с эпиграфом) и ответим на вопрос: на самом ли деле решить задачу – это пережить приключение? Что нового вы сегодня узнали? В ходе нашего урока вы смогли убедиться, что геометрия очень важная наука, имеющая огромное практическое применение. Она может понадобиться вам при выборе будущей профессии. И в качестве домашнего задания я хочу предложить вам выступить в роли строителей: из равнобедренных прямоугольных треугольников, боковая сторона которых равна 4 см, составить квадрат площадью 16 см2 и ромб площадью 32 см2. Сколько таких треугольников потребуется для каждого случая? В качестве дополнительного задания, по желанию, я предлагаю вам составить какой – нибудь орнамент, если возьмёте цветные треугольники. Спасибо за урок! 6. Урок с применением ИКТ с использованием элементов исследовательской деятельности учащихся по теме «Применение арифметической и геометрической прогрессий», алгебра, 9 класс. Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний. Форма урока: историческое исследование. Цели:
Ход урока: 1. Устная работа на повторение (Слайд №2) 1) Последовательность (an) задана первым членом и рекуррентной формулой. Заполните таблицу. Вопрос на повторение: что означает рекуррентный способ задания последовательности? (Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают способ получения каждого члена последовательности с помощью предыдущих. При этом указываются начальные члены последовательности.)
2) Последовательность задана несколькими первыми членами. Предложите рекуррентную формулу, по которой вычисляются ее члены.
3) Что можно сказать о рассмотренных последовательностях? А) Последовательность, составленная из чисел 1, 5, 9 – это арифметическая прогрессия с разностью, равной 4. Б) Последовательность, составленная из чисел 1, 3, 9 – это геометрическая прогрессия со знаменателем, равным 3. В) Последовательность, составленная из чисел 10, 7, 4, … - это арифметическая прогрессия с разностью, равной -3. Г) Последовательность, составленная из чисел 2, 6, 18, … - это геометрическая прогрессия со знаменателем, равным 3. 2. Устная работа на повторение (Слайд №3) Повторим определения арифметической и геометрической прогрессий: 1) Числовая последовательность, каждый член которой, начиная (со второго), равен предшествующему члену, (сложенному с одним и тем же числом), называется (арифметической прогрессией). 2) Числовая последовательность, каждый член которой, начиная (со второго), равен предшествующему члену, (умноженному на одно и то же число), называется (геометрической прогрессией). Посмотрите, насколько похожи определения (то чем они различаются подчеркнуто). Надо только заменить сложение умножением, или наоборот и из одной прогрессии получим другую. Родство прогрессий становится еще более заметным, если вспомнить их характеристические свойства: 3) Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов. 4) Любой член геометрической прогрессией, начиная со второго, является средним геометрическим предшествующего и последующего членов. Формула  -го члена прогрессий: и  Характеристическое свойство прогрессий:  и  В режиме интерактивной доски на слайде презентации заполняется таблица и проговариваются определения, затем проверяется правильность написания формул: (Слайд №4)
5) Проверка домашнего задания и устное решение задач. Домашнее задание: Определить сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии a1, a2, a3, ..., если a4 + a8 + a12 + a16 = 224. Решение: Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: Если (an) - арифметическая прогрессия и k + n = m + p (k,n,m,p N), то ak + an = am + ap. Заметим, что 4 + 16 = 8 + 12 и, следовательно, по свойству, a4 + a16 = a8 + a12. Учитывая, что 2(a4 + a16) = 224, найдем сумму a4 + a16 = 112. Т.к. 1 + 19 = 4 + 16 и a1 + a19 = a4 + a16 = 112, то  S19 =  = 1054Устное решение задач: а) (Слайд №5) В режиме интерактивной доски заполняется таблица и значение d Между числами –1 и 24 поместите еще четыре числа так, чтобы все 6 чисел составляли арифметическую прогрессию.
d = 5 б) (Слайд №6) В режиме интерактивной доски решается задача и выполняется проверка. Фигура составлена из правильных шестиугольников так, что в верхнем ряду находится один шестиугольник, а в каждом следующем ряду на один шестиугольник больше, чем в предыдущем. Известно, что для составления фигуры понадобилось 45 шестиугольников. В скольких рядах размещены шестиугольники? Решение: Из условия задачи известно, что a1 = 1, d = 1. Мы знаем, что сумма n – членов арифметической прогрессии находится по формуле  .Подставим известные значения a1, d и n:  , 90 = (1 + n) * n, n2 + n – 90 = 0, т.к. по т. Виета n1 * n2 = -90 и n1 + n2 = -1, то n1 = 9 и n2 = -10. Ответ: n = 9. 3. Тестовая работа с самопроверкой. (Слайд №7) В режиме интерактивной доски учащимися выполняется самопроверка теста (КТ-1002 Геометрическая прогрессия, Единая коллекция ЦОР, Инновационные учебные материалы, «Алгебра в основной школе», 7-9 классы, цифровая коллекция, 9 класс, глава 10, Последовательности) 1. Какая из последовательностей составляет геометрическую прогрессию? А) 1, 2, 4, 16, … В) 4, 8, 24, … Б)  Г) геометрической прогрессии нет2. Найдите формулу общего члена геометрической прогрессии:  А)  В)  Б)  Г) верного ответа нет3. Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена an = (–5)1-n. Знаменатель этой прогрессии равен: А) –5 Б)  В)  Г) верного ответа нет4. В геометрической прогрессии a1 = 72, q = 0,5. Шестой член этой прогрессии равен: А)  Б)  В)  Г) верного ответа нетНесколько учащихся работают за ПК – индивидуально решают задачи из набора цифровых ресурсов к учебнику «Алгебра», 9 класс, Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., и др. (Единая коллекция ЦОР, Формула суммы арифметической прогрессии; Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии). 4. Прогрессии в задачах (проектная работа учеников) (Слайд №8, 9) а) Задачи древнего Египта Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Это и понятно – ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Слово прогрессия в переводе с латинского означает «движение вперед»( как и слово «прогресс»), встречается впервые у римского автора Боэция. Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. В древнеегипетском папирусе Ахмеса ( около 2000 лет до н.э) приводится такая задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялось 1/8 меры» Об этом свидетельствует так же задача из папируса Райнда. «Имеется семь домов; в каждом доме по семь кошек; каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Найти сумму мер зерна». Решение: Домов всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колос, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607мер. б) (Слайд №9) Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов. в) Старинные русские задачи. (Слайд №10) 1) “Шли 7 старцев. У каждого старца по 7 костылей. На каждом костыле по 7 сучков. На каждом сучке по 7 кошелей. В каждом кошеле по 7 пирогов. В каждом пироге по 7 воробьев. Сколько всего?” Решение. В данном случае речь идет о нахождении 6-ого члена геометрической прогрессии с первым членом, равным 7 и знаменателем, равным 7. Воспользуемся формулой bn = b1* qn-1. b6= b1* q5=7*75=76=117649 воробьев. Ответ. 117649 воробьев. 2) Проторговался ли купец? Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше,чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько? Решение: Полушка – это  часть копейки. За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить  копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.г) (Слайд №11) Примеры арифметической и геометрической прогрессий встречаются повсюду, даже в литературе. Вспомним строки из романа А.С. Пушкина «Евгений Онегин», о его герое: «…Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный размер с ударениями на четных слогах стиха (Мой дя`дя са`мых че`стных пра`вил), т.е. ударными являются второй, четвертый, шестой, восьмой, и т.д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной 2. Хорей - стихотворный размер с ударениями на нечетных слогах стиха (Бу`ря мгло`ю не`бо кро`ет). Номера ударных слогов так же образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен 1, а разность 2. (Слайд №12) В природе если дать видам размножаться свободно без ограничений, то численность любого из них росла бы в геометрической прогрессии. Например, при каждом делении амёбы получаются две новые особи. Задача : Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество особей получится через 4 деления? Решение: (bn) – геометрическая прогрессия, b1 = 1, q = 5, n = 4, S4-?  ,  .Ответ.156. 5. Исследовательская работа. В 1544 г. вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу:
(В верхней строчке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней строчке – геометрическая прогрессия со знаменателем 2.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
