Задание
|
Комментарии
|
Ответ
|
Блок 1. (обязательный минимум-подготовка к задачам ЕГЭ)
|
При каждом значении а решите неравенство  .
|
Проще всего построить график неравенства в осях переменная-параметр. Не забывайте про пунктирные границы!
|
|
Найдите все значения параметра  , при каждом из которых график функции  пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.
|
В уравнении  выразим параметр и построим график  , после чего можно давать ответ.
|
|
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство  выполняется для любого  .
|
Один из эффективных способов решения – рассмотреть разность левой и правой части, убедиться, что наименьшее значение кусочно-линейной функции (график – ломаная) с убывающим левым и возрастающим правым звеном может достигаться только в точках «стыка». На значения в них и ставим условия.
Другой хороший способ – оставить слагаемое с модулем, содержащим параметр, в одной части, а остальное перенести в другую. После строим графики обеих частей. Придется подвигать «галочку».
Полезно решить задачу двумя способами.
|
|
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений  имеет два решения.
|
Не забываем ограничение на переменную! Для этого дана такая первая строка в системе. Потом строим график в осях переменная-параметр. Списываем с чертежа ответ!
|
|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  имеет ровно два решения.
|
Одно из уравнений системы заменяем на разность уравнений, после чего параметр остается лишь в одной строке. Работаем с «пульсирующей окружностью».
|
|
Блок 2. (задания уровня ЕГЭ)
|
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение  имеет ровно 8 решений.
|
Наиболее разумным представляется решение простейшего тригонометрического уравнения и построение графиков обеих частей полученной серии уравнений в системе координат хОу, далее ставим условие на количество горизонтальных прямых, которые должны пересекаться «пульсирующей» полуокружностью радиуса  . Какую по счету прямую надо пересечь, а до какой полуокружность «не дотягивается».
Возможно и алгебраическое решение, но оно дольше.
|
|
Найдите все значения параметра b , при каждом из которых корни уравнения  существуют и принадлежат отрезку |2;17].
|
Первым действием заменяем переменную. Важно, что одно решение по переменной  исходного уравнения соответствует одному решению нового уравнения с модулями относительно новой переменной  . Далее строим график в осях  , и мы готовы дать ответ на любой вопрос о количестве и качестве решений исходного уравнения.
|
|
Найдите все значения а, при каждом из которых система 
имеет решения.
|
Работаем в осях переменная-параметр. Разложив левую часть верхней строки на множители, видим два вертикальных кгла без границ, которые высекают на окружности две дуги (тоже без границ). Найдя соответствующие концам дуг значения параметра, пишем ответ.
|
|
Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции  лежит в интервале  .
|
Обращаем внимание на то, что знаменатель положителен при всех , то есть на него можно домножать. Получаем систему двух неравенств, каждое из которых (!) должно выполняться при всех значениях переменной. Работа только с дискриминантами. Дело техники.
|
|
При каких значениях параметра С уравнение  имеет решения ?
|
Очень хорошая задача на множество значений сложной(!) функции. Попутно надо увидеть возможность введения вспомогательного аргумента, а далее придется найти все значения внутренней (показательной с квадратичным аргументом) функции и определить взаимное расположение чисел на тригонометрической окружности.
|
|
Найдите все значения а, при которых система  имеет решения.
|
Проанализировав связь количества решений исходной системы и уравнения относительно  с параметром , изображаем график в осях  . Учитывая все нужные ограничения, получаем ответ.
|
|
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система  имеет единственное решение.
|
Задача сводится к исследованию отрезка квадратичной функции. Некоторое количество вычислений…
|
|
Найдите все значения а и b такие, что система  имеет ровно 2 различных решения.
|
Анализ геометрической ситуации. Приходим к выводу, что окружности (модуль!) не должны сливаться, а прямая должна касаться обеих окружностей. Геометрия помогает получить ответ.
|
|
Найдите все значения a, при каждом из которых функция  имеет более двух точек экстремума.
|
Конструируем кусочно- квадратичную функцию так, чтобы выполнялось условие задачи. Смотрим, где должны быть вершины частей.
|
|
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции  меньше 1.
|
Красивое логическое действие: наименьшее значение функции (если оно есть) меньше числа тогда и только тогда, когда хоть какое-нибудь значение меньше этого числа. Наибольшее значение меньше числа, когда все значения меньше. Наименьшее больше – когда все больше. Наибольшее больше- когда хоть какое-нибудь больше.
Далее строим неподвижный график, и. вращая прямую вокруг фиксированной точки, добиваемся выполнения поставленного условия.
|
|
Найдите все значения a, при каждом из которых все решения неравенства  удовлетворяют неравенству  .
|
Разложение на множители, построение графиков неравенств методом областей и анализ взаимного расположения графиков. Найдя соответствующие границам значения параметра, пишем ответ.
|
|
Найдите наибольшее значение параметра a, при котором функция  является неубывающей на всей числовой прямой.
|
Во-первых, ищем положительное значение параметра. Если положительные есть, то наибольшее – среди них! Далее удобно взять не переменную , а переменную  . Монотонность от этого не меняется. График – ломаная. Найдя пределы на бесконечности, определяем взаимное расположение экстремумов.
|
|
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы один корень.
|
Нужно понимать, что график функции в левой части представляет собой ломаную, то есть функция непрерывна; пределы на бесконечности равны  . Проверьте коэффициенты при  и при  и сделайте вывод об экстремуме, дающем наименьшее значение. Далее решение задачи даст техника решения неравенств с модулями.
Возможно другое решение – бесхитростное построение графика в осях переменная-параметр, но оно требует значительно большего времени. Довольно трудоемко, но надежно. Можно даже… сам график не строить, а указать на его особенности и просчитать значения в точках «стыка».
|
|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 4 решения.
|
Элементарные навыки построения графиков с модулями, плюс исследование «пульсирующей окружности». Да, еще умение вычислять высоту прямоугольного треугольника.
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых система  имеет единственное решение.
|
Придется аккуратно решить классический вопрос о единственности решения уравнения с помощью исследования графика функции, связанной с логарифмами. Применяем математический анализ.
|
|
Для каждого значения  найдите уравнения всех прямых, проходящих через начало координат и имеющих ровно две общие точки с графиком функции  .
|
График, зависящий от параметра, правда, его форма определена четко. Далее вращаем прямую вокруг начала координат. Попутно придется найти касательную. Аккуратнее с количеством пересечений прямой с ветвью параболы! Здесь могут быть ошибки.
|
|
Известно, что значение параметра a таково, что система уравнений  имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.
|
Используется симметрия множества решений, связанная с четностью функций по . С помощью этой симметрии получаем необходимое (но не достаточное) условие единственности решения. Далее придется проверить каждое из найденных значений параметра.
|
 решение 
|
Определить, при каких значениях параметра b для любых значений параметра a система уравнений  имеет ровно два различных решения ( x ; y ) .
|
Задача содержит два параметра, но очевидным образом проглядывается основной мотив: гарантировать два пересечения прямой с окружностью может только нахождение фиксированной точки прямой внутри окружности. Далее немного геометрии.
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых общие решения неравенств  и  образуют на числовой оси отрезок длины единица.
|
Пересечение внутренних областей двух парабол с различным направлением ветвей может заключать горизонтальный отрезок длины 1 в трех разных случаях…. Вот их-то и надо внимательно рассмотреть. Придется порешать неболшие иррациональные уравнения и посравнивать числа, содержащие иррациональности.
|
|
Найдите все значения а, при каждом из которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет нечетное число общих точек с графиком функции  .
|
Анализ монотонности кусочно-квадратичной функции сводится к локализации вершин парабол.
|
|
Найдите все значения а , при каждом из которых существует прямая, перпендикулярная оси ординат и имеющая четное число общих точек с графиком функции  .
|
Задача аналогична предыдущей, но немного поменяли вопрос и поставили ограничение, связанное с параметром. Решается так же. Нужен хотя бы один экстремум.
|
|
Найти все значения а, для которых при каждом х из промежутка [−2;−1) значение выражения  не равно значению выражения  .
|
Замена переменной и расположение корней квадратного трехчлена. Четыре случая расположения параболы. Внимательно! Реализуются два.
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых система  имеет ровно два решения.
|
Сравнение расположения графиков степенной и логарифмической функции. Потребуется применить математический анализ. Например, чтобы найти касание. Не забудьте случай убывающего логарифма!
|
|
Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение  имеет ровно р корней.
|
Уравнение – хорошего типа: с различной монотонностью частей; следовательно, решений либо нет, либо одно. Рассмотрим две задачи уже без параметров, и найдем, нужное ли количество решений в каждом случае!
|
1
|
Найдите все значения параметра а, при которых система  имеет единственное решение.
|
Пересечение полосы и окружности, центр которой «бегает» по фиксированной прямой ( к счастью, прямая перпендикулярна границам полосы), а радиус зависит от параметра. Возможны два случая: либо окружность «стянулась» в точку, либо имеет место касание полосы внешним образом. Дальше дело техники….
|
|
Пусть А - множество тех значений параметра а, для которых выполнено условие  , где  - действительные, различные корни уравнения  . Найдите множество значений, которое при этих условиях принимает величина  .
|
Теорема Виета. Только надо учесть, что она работает только при наличии корней! График может помочь при решении, но он не является необходимостью.
|
|
При каких значениях параметра множество решений неравенства  содержит не менее двух решений уравнения  ?
|
Переходим к равносильной системе, строим график в осях переменная-параметр. Чем точнее он построен, тем легче увидеть отрезки вертикальных прямых по полуцелым точкам, получаемых из второго уравнения.
|
|
Найдите все значения параметра , при каждом из которых множеством решений неравенства  является отрезок.
|
Задачу удобно решать как в осях  , двигая вдоль оси абсцисс «галочку», с нахождением касания и учетом области определения, так и построением в осях переменная-параметр ( с предварительной заменой корня на новую переменную). Конечно, и в том, и в другом варианте надо учитывать ограничения.
|
|
Блок 3. (домашнее задание)
|
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно 6 решений.
|
|
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение  имеет ровно 10 решений.
|
|
Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет решения.
|
|
Найдите все значения а, при каждом из которых система  имеет решения.
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых функция  имеет хотя бы одну точку максимума.
|
|
Найдите все значения а, при которых система  имеет решения.
|
|
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система  имеет единственное решение.
|
|
Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений  имеет два решения.
|
|
Найдите все значения a, при каждом из которых функция  имеет более двух точек экстремума.
|
|
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции  меньше 1.
|
|
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции  меньше 4.
|
|
Найдите все значения а, при каждом из которых ровно одно решение неравенства  удовлетворяет неравенству  .
|
|
Найдите наименьшее значение параметра a, при котором функция  является неубывающей на всей числовой прямой.
|
|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 8 решения.
|
|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 4 решения.
|
|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 6 решений.
|
|
Найдите все значения а, при каждом из которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет нечетное число общих точек с графиком функции  .
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых система  имеет ровно два решения.
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых система  имеет ровно два решения.
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств  имеет единственное решение.
|
|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет единственное решение.
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых система  имеет единственное решение.
|
|
При каких значениях параметра множество решений неравенства  содержит не более четырех целых значений ?
|
|
Найдите все значения параметра , при каждом из которых множеством решений неравенства  является отрезок.
|
|
Найдите все значения параметра а, при которых система  имеет ровно два решения.
|
|
Скачать 160.56 Kb.