|
|
Математика в музыке
 Скачать 309.63 Kb.
|
Кемерово 2013
Оглавление Введение ………………………………………………………. 3 Глава 1. Исторические сведения …………………………….. 4 Глава 2. Связь между звуками и числами .………………….. 6 Глава 3. Золотое сечение в музыке ………………………….. 9 Глава 4. Исследование музыкальных произведений ...…….. 12 Глава 5. Применение математики в музыке ..………………. 15 Заключение ……………………………………………………. 16 Список литературы …………………………………………… 17 Приложения …………………………………………………… 18 Введение Музыка – математика чувств, а математика – музыка разума Джеймс Джозеф Сильвестр (английский математик 19 век) Каждый из нас слушает музыку: кто-то отдаёт предпочтение классике, кому-то нравится рок-музыка, реп, джаз, популярная музыка и т.д. Всем известен факт, что музыкальное произведение записывается нотами. Люди, имеющие музыкальное образование, знакомы с нотной грамотой и знают, что любое музыкальное произведение имеет свой размер, тональность; свои музыкальные законы, формулы и правила. Давно известно, что многие величайшие памятники архитектуры, полотна известных живописцев, композиции лучших скульпторов в своей основе содержат математические законы, но мало кто задумывался о применении математики в музыке! Какова роль математики в музыке? Как тесно они связаны? Возможно, законы математики добавляют красоту в те звуки, что мы слышим? Человек, увлеченный музыкой, имеющий точный слух, способности к занятиям музыкой и разбирающийся в математике, имеет больше шансов сочинить красивое музыкальное произведение, или математические закономерности появляются в музыке благодаря внутренней интуиции гениального автора?! Из таких размышлений появилась идея исследовать «глубину» проникновения математики в музыку, попытаться отыскать математические закономерности в музыке. Цель исследования: проверить наличие математики в музыке, выявить математические закономерности в известных произведениях. Задачи:
Методы исследования: Сбор информации, анализ специальной и научной литературы, создание математических моделей музыкальных произведений, конкретизация имеющегося материала. Объект исследования: нотная грамота, музыкальные произведения. Предмет исследования: математическая закономерность. ГЛАВА 1 Исторические сведения ...музыкальная форма математична хотя бы потому, что она идеальна… Игорь Стравинский Рассматривать музыку, как один из объектов математики, пытались многие величайшие математики. Исследованию музыки посвятил свой первый труд Рене Декарт («Трактат о музыке»), Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д’Аламбер, Даниил Бернулли и другие. В своих трудах они хотели представить музыку как некую математическую модель. Леонард Эйлер («Диссертация о звуке», 1727 г.) пишет: «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований всё, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков». Об отношении к математике и музыке ученые высказывались в своих личных переписках. Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". На что Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики". Почему же скрытой? Ведь в Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел. Одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в её основу два предмета - музыку и математику. Где музыка, как одно из семи искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не практическое занятие искусством. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Его же признают создателем первой музыкальной теории. Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого языка - однострунный). (Приложение 1). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около одного метра. Над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука. Вообще говоря, высота звука, издаваемого струной, определяется несколькими параметрами - длиной и толщиной струны, плотностью материала, из которого она изготовлена, натяжением и т.д. Когда свойства звука изучаются на монохорде, то толщина струны, ее натяжение и плотность материала остаются неизменными. Высота извлекаемого звука изменяется простым смещением подставки. Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущения, был ученик Аристотеля Аристоксен. То, что греки писали о музыке, не совсем соответствует характеру сегодняшнего искусствоведения. "Античное музыкознание в отличие от современного не ставило своей задачей анализ конкретных музыкальных сторон произведений. Оно видело свою задачу в изучении акустических сторон звучащей музыки... Характерной чертой античной науки о музыке было стремление к математическому описанию акустических особенностей музыкальной практики".1 Но если проанализировать историю музыки, можно сделать вывод о том, что музыка и математика то сближаются, то отдаляются друг от друга - периодически происходит смещение акцента на строгое, математическое начало в создании музыки, которое впоследствии сменяется отказом от него. Например, полифония, в особенности полифония строгого стиля эпохи Возрождения отличается математической выверенностью. Классическая музыка Моцарта, Гайдна также подчиняется строгим правилам, правда, уже не таким строгим, как в полифонии. А вот романтики стремятся к большей свободе в музыкальных средствах. А в музыке начала XX века происходит возврат к математическому композиторскому мышлению. Игорь Стравинский, хорошо знавший музыку мастеров эпохи Ренессанса, также находил много общего между математикой и музыкой. «Способ композиторского мышления – способ, которым я мыслю, - мне кажется, не очень отличается от математического». В серийной музыке представителей нововенской школы (Шёнберг, Веберн) отчётливо проявляется математическое начало. Современные композиторы С. Губайдуллина, Э. Денисов, К. Штокхаузен использовали при написании музыки такие математические закономерности, как ряд Эратосфена (простые числа, делящиеся на единицу и на самих себя), числа Фиббоначи (ряд чисел, каждое последующее является суммой двух предыдущих), арифметическую и геометрическую прогрессии. Сейчас вряд ли кто-нибудь решится сводить музыку к определенным числовым закономерностям. Тем не менее, математика и музыка связаны друг с другом замечательным и подчас совершенно удивительным образом. ГЛАВА 2 Связь между звуками и числами Музыку я разъял как труп, Проверив алгеброй гармонию… А.С.Пушкин От этих слов, вложенных А.С. Пушкиным в уста Сальери, веет мертвящей пропастью между музыкой и математикой. Разве не отражают эти пушкинские строки мнение большинства людей, что между математикой и музыкой нет, и не может быть ничего общего? С чего начинается знакомство с музыкой? Конечно, со звуков! Но чтобы их повторить, нам придётся окунуться в мир странных кружочков, палочек, крючочков и галочек, которые все вместе и будут составлять нотную грамоту. И тут начнутся чудеса математики! Оказывается, любую музыку можно записать с помощью семи нот, расставляя около них музыкальные знаки (аналогично в математике: десять цифр и знаки действия с ними). Ноты и паузы бывают целые, половинные, четвертные, восьмые, шестнадцатые и т.д., их связывает между собой математическая закономерность. (Приложение 2). Музыкальное произведение записывается при помощи нот не хаотично, а весь текст делится на такты, при этом все такты одного произведения имеют один размер, который и указывается в начале любого произведения. (Приложение 3). Например: ¾ будет означать, что в каждом такте должно быть ровно три четвертных ноты. При этом четвертные ноты могут разбиваться на восьмые, шестнадцатые или паузы того же размера. Расстояние между нотами (интервалы) также имеют свои названия и соответствуют определенному количеству тонов. (Приложение 4). Аккорды, которые сопровождают и украшают музыкальное произведение, высчитываются математическим путем и состоят из интервалов. (Приложение 4). Это относительно записи и чтения музыкальных произведений, но посмотрим на музыку с другой стороны. Всякий звук - это воспринимаемые человеческим ухом колебания среды, обычно воздуха. Источником колебаний могут быть голосовые связки певца, струна музыкального инструмента, плохо смазанная дверь и т.п. Одна из основных характеристик колебательного процесса - частота колебаний. Особенность музыкальных звуков в определенной частоте колебаний. Когда говорят о частоте колебаний, определяющей ту или иную ноту, обычно употребляют термин высота звука. Ощущение высоты - это психологическая форма восприятия частоты колебаний звучащего тела, и чем больше частота колебаний, тем выше кажется звук и наоборот. Человеческое ухо воспринимает звук, частота которого заключена приблизительно в интервале от 16 до 16000 Гц2. В музыке используется диапазон от 16 до примерно 5000 Гц. Если считать только звуки с целым значением частоты, то получится около 5 тысяч, а ведь есть еще звуки с частотой 100,5; 3333, 14159 и т.д. Между тем, концертный рояль - инструмент с огромным звуковым диапазоном - имеет всего 87 клавиш. (Приложение 5). Более того, через каждые двенадцать клавиш (семь белых и пять черных) повторяется их расположение и их названия. И очень высокие и очень низкие звуки носят одни и те же повторяющиеся имена: до, фа-диез, ля-бемоль и т.д. Постараемся понять, каким образом из всего многообразия звуков были отобраны именно те, к которым мы привыкли, и почему именно через каждые 12 клавиш повторяются названия нот. Для начала займемся измерениями. А где измерения, там вступает в свои права математика. Каждая нота имеет определенную частоту, и эту частоту можно вычислить с помощью формулы:  Гцгде n — это порядковый номер ступени (на клавиатуре номер клавиши слева), начиная с «ля» субконтроктавы, отсчитывается с нуля. Например, для нахождения частоты «ре» малой октавы n будет равно 29:  ГцТаким образом, для каждой ноты вычисляется его частота (Приложение 6). Раз уж звуки различаются по высоте, то естественно задать вопрос: "Насколько один звук выше другого?".
И на этот вопрос удалось ответить с помощью математических вычислений. Рассмотрим отношения нескольких пар звуков. На слух звук с частотой 97,999 Гц настолько же выше звука с частотой 65,406 Гц, насколько звук в 783,99 Гц выше звука в 523,25 Гц или звук в 196 Гц выше звука в 130,81 Гц. Во всех случаях мы имеем: отношение для каждой пары одно и то же и равно 3/2. Таким образом, отношение частот звука любой ноты к ноте до в любой октаве одинаковое. Расстояние между нотами, определяемое отношением их частот, называется интервалом. Некоторые, наиболее важные в музыке интервалы получили свои собственные имена. (Приложение 4). Так, отношение частот 3/2 определяет интервал квинты, а интервал октавы - образуют две ноты с отношением частот 2. Две одинаковые по высоте ноты относятся друг к другу с коэффициентом 1 и образуют интервал примы. Интервалы имеют направление и могут определять движение как вверх, так и вниз (сравнимо с координатной прямой в математике). Переход от ноты с частотой ω к ноте с частотой 2ω дает октаву вверх, к ноте с частотой 2ω/3 - квинту вниз. Чем же важен интервал октавы? Пусть наш исходный звук - нота до первой октавы. Возьмем от нее октаву вверх и октаву вниз. На слух эти три звука очень похожи, практически сливаются в одно целое. Поэтому обе получившиеся ноты также называются до, только расположены они в других октавах. Таким образом, частоты любых двух одноименных нот относятся друг к другу как некоторая степень числа 2. Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. В любой ноте основной звук сопровождается призвуками, называемыми обертонами (Obertone (нем.) - высокий звук). Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими. Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д'Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа. Такие выдающиеся имена не оставляют сомнений о важной роли математики в музыке, при этом не стоит забывать о важной особенности музыкально-математических исследований: результаты применения численных методов все время должны проверяться человеческим ухом. ГЛАВА 3 Золотое сечение в музыке Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень… Иоганн Кеплер Золотое сечение пронизывает всю историю искусства. Пирамида Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная "Джоконда" Леонардо да Винчи, картины Рафаэля – вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на золотом сечении. Напомним определение понятия золотого сечения. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. Или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a : b = b : c или с : b = b : а  Геометрическое изображение золотой пропорции. В 1925 году искусствовед Л.Л.Сабанеев проанализировал 1770 музыкальных произведений 42 авторов, при этом наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Это показывает, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Наибольшее количество произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%). Наиболее детально были изучены Сабанеевым все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. Если говорить о золотом сечении в музыке, то главное место занимают произведения И. С. Баха. Розенов Э. К.3 проанализировал различные произведения многих авторов, но самым красивым (с математической точки зрения), является анализ Хроматической фантазии и фуги И. С. Баха. Фантазия. Хроматическая фантазия написана в размере 4/4, имеет 79 тактов, т. е. 79• 4 = 316 четвертных долей. Итак, "целое" а=316. Фантазия состоит из двух ясно различимых по характеру частей, отделенных друг от друга паузой. Первая часть, прелюдия, заканчивается на 2-й четверти 49-го такта, на которой стоит знак ферматы (удлинение звука), и затем идет пауза. Таким образом, первая часть фактически заканчивается на 3-й четверти 49-го такта, т. е. на 195-й (48 • 4 + 3) четверти a1 = 195. На вторую часть приходится 121 четверть (a2 = a − a1 = 316 − 195 = 121). Вычисляя "теоретическую" длину первой части с помощью коэффициента золотого сечения, мы с поражающей точностью находим  Итак, Хроматическая фантазия разделена на первую и вторую части в золотой пропорции:  Но на этом чудеса гениального творения Баха только начинаются. Построив ряд золотого сечения при а=316, имеем   Рис.1 Фуга. Фуга (от лат. fuga - бег) является наиболее совершенной формой многоголосной музыки (полифонии). Фуга строится на многократных проведениях (повторениях) основной музыкальной темы в разных голосах. Проведения основной темы обычно перемежаются в фуге с промежуточными вставками, называемыми интермедиями. Таким образом, фуга, в отличие от фантазии, имеет четко определенный музыкальный закон построения. Поэтому точность "математического" построения фуги ре минор просто поражает! Фуга ре минор состоит из семи пар проведений и интермедий и двух самостоятельных проведений. Из семи пар "проведение-интермедия" пять пар строго подчиняются закону золотого сечения. 1.  ; 2.  ; 4.  5.  ; 6.  Те же две пары "проведение - интермедия", для которых закон золотого деления не выполнен, являются своеобразными центрами симметрии относительно обрамляющих их разделов фуги и с каждым из них находятся в золотой пропорции! Именно для того, чтобы выделить эти два центра симметрии, Бах специально допускает в их строении отклонения от золотого деления и делает эти две пары "проведение-интермедия" симметричными.
123 55 36 55 52 73 43 91 91 70 70 Рис. 2: Строение фуги ре минор И. С. Баха. П - проведение, И - интермедия. Здесь же указано число четвертей в каждом разделе фуги. При делении самого большого раздела (91 четверть) ошибки не превышают 1,25 четверти. Не следует, однако, забывать, что мы имеем дело с художественным произведением. Простой математический анализ, не выходящий за рамки арифметики, позволяет совершенно иными глазами взглянуть на музыкальное произведение и увидеть его скрытую внутреннюю красоту. ГЛАВА 4 Исследование музыкальных произведений Чтобы удостовериться в вышеперечисленных фактах, мной были проведены исследования музыкальных произведений, сыгранных за семь лет обучения в музыкальной школе. Проанализировав 18 произведений, я получил следующие результаты. 1. И. С. Бах.
Написана инвенция в размере 4/4, количество тактов равняется 27, следовательно, 27  4 = 108 долей, что мы и принимаем за целое а = 108. Инвенция состоит из двух частей: I-я часть является главной партией и делится на несколько смысловых подтем. II-я часть делится на: побочную партию, переход, неполную репризу. Таким образом, I-я часть равна а1 = 67 (17 4 – 1), а II-я часть соответственно а2 = 41 (10 4 + 1, т.к. мысль кончается на первой доле II-й части). Но такое разделение частей прослеживается по ведущему голосу, переходящему от правой руки в I-й части в левую руку во II-й части. Пользуясь коэффициентом золотого сечения, найдём теоретическую длину частей: а1 = а  = 108 0,618 = 66,7  67 - II-я частьа2 = а1 = 66,7 0,618 = 41,2 41 - I-я часть Последующее дробление частей проходит в соответствии с рядом золотого сечения: 108; 66,7; 41,2; 25,5; 15,7; 9,7; 6; 3,7. 108 (целое) 41,2 I-я часть 66,7 II-я часть главная партия побочная партия переход реприза 15,7 25,5 15,7 15,7 15,7 15,7 3,7 9,7 6 15,7 9,7 9,7 6 15,7 15,7 9,7 6 3,7 Рис. 3
2. К. Черни, редакция Г. Гермера. Этюд № 29 ре-мажор - строго симметрично разбит на две части, каждая из которых имеет золотое сечение (12 - 20 || 12 - 20). 3. Майкопар. Детский танец - по ладовому строю разбит на равные части, чередующиеся между собой: мажор - минор - мажор (34 - 34 - 33 + фермата). 4. Л. Шитте. Этюд. Соч. 68 ля-мажор: - две части строго разбиты по правилу золотого сечения и каждая из частей имеет симметрию (47-46||10-20|18-11). 5. И. Гайдн. Соната № 41 ля-мажор - первая часть разделена в пропорции золотого сечения с небольшой погрешностью, обе части имеют одинаково построенные окончания (74-22-28||108-22-28). 6. Ф. Лист. «Юношеский этюд» ре-минор. Произведение написано в размере 6/8, состоит из 77 тактов. Таким образом, получаем 77 · 2 = 462 восьмых долей, но последние такты содержат паузы. Поэтому принимаем «целое» за а = 462 - 6 = 456. Этюд разделен на две части. Первая часть делится в пропорции золотого сечения с небольшой погрешностью: 240; 144; 96. Причем каждый из отрезков состоит из двух равных фраз. Вторая часть: 216 делится на части в отношении 2:1 (144 : 72), а тема из 144 долей снова разбивается в отношении 2:1 (96 : 48). Схематически это выглядит так: 456 (целое) 240 1 часть 216 2 часть 144 96 144 72 72 72 48 48 96 48 72 Рис. 4 7. Э. Григ. «Весной». Произведение написано в размере 6/4, имеет 72 такта. Таким образом, получаем 72·6 = 432 четвертных долей. Принимаем «целое» за а = 432. Пьеса состоит из двух частей, строго разделенных по правилу золотого сечения (432 : 264 : 168). Первая часть делится репризой на два равных отрезка (132 : 132), причем кульминация, которая приходится на второй отрезок, разбивает его в золотой пропорции (132 : 84 : 48). Вторая часть, по построению под тем, построена математически идеальна, и раскладывается в ряд золотого сечения (168 : 104 : 64: 40 : 25).      432 (целое) 264 1 часть 168 2 часть 132 132 64 104 132 84 48 64 64 40 реприза кульминация 64 64 25 15 Рис. 5 Из "https://wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%28%D0%B2_%D0%BC%D1%83%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B5%29" ГЛАВА 5 Применение математики в музыке Естественно возникает вопрос: возможно ли использование методов и алгоритмов алгебры для написания музыки или это должно быть творческим озарением, ниспосланное небесами? Вера человека в неоспоримую правильность и красоту математических законов настолько велика, что находятся смельчаки, которые изначально в основу своей музыки закладывают правила золотого сечения. И у некоторых это получается. Таким примером может служить музыка Сергея Веретенникова «Возвращение домой». Данная музыка написана по принципу золотого сечения. По словам автора, «музыка золотого сечения - это особая музыка, в которой все музыкальные элементы находятся в золотых пропорциях. Это природная гармония. Поэтому эта музыка настраивает слушателя на гармонию с миром, как внешним, так и внутренним. Музыка, построенная по такому универсальному принципу, подарит Вам покой и умиротворение, баланс и равновесие всех энергий в Вашем теле, очистит Ваш разум от суеты и позволит соприкоснуться Вашему сознанию с Высшим Сознанием».4 Также современная научно-музыкальная мысль не отрицает ни технику серийности, ни саму музыку, созданную и создаваемую на ее основе. Конечно, вряд ли это облегчает задачу композитора. Да и музыкой ли будет эта череда звуков, если в ее основу будут заложены математические закономерности, различные измерения и вычисления. Однако факт остается фактом. Примером такой музыки может служить компьютерная программа Palette5. Вот основные принципы, заложенные в программу:
Таким образом, если у музыканта не получается сочинить своё гениальное произведение, можно воспользоваться законами математики и написать теоретически грамотное и приятное по слуховым ощущениям музыкальное произведение. Заключение Пройден трудный, но интересный путь. Изучение исторических фактов, знакомство с исследованиями лучших музыковедов, личные сопоставления, наблюдения и расчеты - всё это помогло выполнить поставленные задачи, достичь намеченной цели. Первоначальное предположение о том, что математика присутствует в музыке, переросло в уверенность, которая подтверждена математическими расчетами. Даже если на время предположить, что гениальные люди сочиняют музыку, не зная математики, то для записи им всё равно требуется нотная грамота, а она полностью математична! Приятно осознавать, что сделанная работа принесла удовлетворение и заставила по - другому взглянуть на такую науку, как музыка. Ведь, когда начиналась работа над проектом, невозможно было предположить, насколько сильно и глубоко музыка пропитана математикой. В связи с этим, больше всего удивляет факт, что многие музыканты-композиторы даже не подозревали о «математической красоте» своих произведений. Наиболее высокий процент совпадений отмечался у гениальных композиторов. То есть «интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса»6. Это подтверждает и «Фантазия - Экспромт» Шопена, которая была создана на одном дыхании, не подлежала никакой правке, а значит, и не были сознательно применены математические закономерности. А ведь «Фантазия» пронизана ими вплоть до мелких музыкальных образований. Радует и тот факт, что в наш век, век НТП и нанотехнологий, благодаря математическим законам, можно сочинять развлекательную музыку, приятную на слух. При желании это может сделать каждый человек. Список литературы 1. Мазель Л. Проблемы классической гармонии. Издательство "Музыка", 1972 г. , 611 с. www.twirpx.com/file/456538/ 2. Розенов Э. К. "Закон золотого сечения в поэзии и музыке". http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php 3. Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы.// Искусство. 1925. № 2 4. Веретенников Сергей «Возвращение домой» https://youryoga.org/music/om_shanti_music-1.htm 5. Жмудь Л.Я. «Пифагор и его школа» М.:Наука,1990 г. 6. Википедия. Нотные знаки. http:// www.ru.wikipedia.org/wiki; www.musiclabo.ru/content/notnaja-gramota Сохраненная копия 7. Программа для сочинения мелодий Musical Palette - Melody Composing Tool. https://www/palette-mct.com ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Пифагор Самосский (570—490 гг. до н.э.) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.  Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху (отцу Пифагора), что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой. Прибор, построенный Пифагором, для измерения высоты звука  ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Основные длительности нот и пауз   На рисунке ниже показано, сколько коротких длительностей вмещает в себя более длинная нота или пауза.  Знаки: точка, две точки и дуга, позволяют увеличить длительность (в зависимости от ноты длительность высчитывается математическим путем).    ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Размер музыкального произведения Размер указывают в начале любого произведения, длительность нот каждого такта строго соответствует этому размеру:   ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Строение интервалов
Строение аккордов
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Звуковой диапазон в музыке от 16 до 5000 Гц  Нахождение частоты звука с помощью клавиатуры пианино  С помощью данной схемы или клавиатуры пианино возможно нахождение частоты звука. Для этого можно пользоваться следующей формулой:  (Гц),где n — это порядковый номер ступени (на клавиатуре номер клавиши слева), начиная с «ля» субконтроктавы, отсчитывается с нуля. ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Таблица соответствия нот частотам
1 Жмудь Л.Я. «Пифагор и его школа» М.:Наука,1990 г. 2 частота измеряется в Герцах - числе полных колебаний в секунду. 3 Музыковед, пианист, композитор. Окончил в 1884 физико-математич. ф-т МГУ, в 1889—Моск. конс. по классу фортепиано Н. С. Зверева и В. И. Сафронова; 4 https://youryoga.org/music/om_shanti_music-1.htm 5 https://www/palette-mct.com/ 6 Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы.// Искусство. 1925. № 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
