Решение квадратных уравнений. Способы решения

Название	Решение квадратных уравнений. Способы решения
Дата	12.02.2016
Размер	49.92 Kb.
Тип	Решение

1. /урок квадратные уравнения.doc

Конспект урока в 9 классе. Алгебра. Наумова Н.И.
Тема: Решение квадратных уравнений. Способы решения.

Цель: 1.Актуализировать знания учащихся по изучаемой теме «Решение квадратных

уравнений».

2.Содействовать формированию познавательной деятельности учащихся в

обобщение способов решения квадратных уравнений.

3.Способствовать формированию умения выделить главное в изучаемой теме,

наиболее общее и существенное в способах решения квадратных уравнений.

4.Содействовать умению осуществлять самоконтроль и самокоррекцию.

Задачи урока: 1.Обобщить изученные способы решения квадратных уравнений.

2.Систематизировать знания учащихся в умении решать квадратные

уравнения разными способами.

3.Проверить полученные знания средствами информатизации и

осуществить самоконтроль.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний, умений, навыков средствами

информатизации.
Организационный момент:

Объявление темы и целей урока.
Презентация: «Решение квадратных уравнений. Способы решения».

Задачи урока:

Информация о квадратных уравнениях:

Квадратные уравнения – это основа, фундамент, на котором покоится величественное здание – алгебра. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений, с которыми вам предстоит познакомиться в старших классах.

На уроке мы с вами поговорим лишь о некоторых способах решения квадратных уравнений.

/Учащиеся называют способы, на экране выплывают соответственно изученные способы./
1. Решение квадратных уравнений по формуле.
2. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета.
3. Разложение на множители.
4. Выделение полного квадрата.
5. Графическое решение квадратных уравнений.

1) Решение квадратных уравнений по формулам:

Квадратное уравнение ах²+вх+с=0, а≠0, умножим обе части уравнения на 4а и имеем: 4а²х²+4авх+4ас=0

((2ах)²+2ах2в+в²)-в²+4ас=0

(2ах+в)²= в²-4ас

2ах+с=±√ в²-4ас

2ах=-в±√ в²-4ас

х= -в±√ в²-4ас

2а ; в²-4ас=D – дискриминант.

2) От знака дискриминанта D зависит количество корней.

D > 0, - 2 корня

D = 0, - 1 корень

D < 0, - корней нет.

3) А теперь проверим свои знания в решении уравнений.

Решим уравнения: Варианты ответов:

а) 4х²+7х+3=0, а) -¾; -1; б) 1; ¾; в) 4; 3

б) 4х²+20х+25=0, а) 0; 5; б) -2,5; в) корней нет

в) х²-6х-40=0 а) 8; 5; б) 5,6; в) -4; 10.

4) Проверь себя:

а) верно; б) подумай; в) торопишься;

а) подумай; б) верно; в) торопишься;

а) торопишься; б) подумай; в) верно.
5. 1) Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х²+рх+q=0, его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид х1х2=q,

х1+х2= -р.

2) По коэффициентам р и q можно определить знаки корней.

а) Если q > 0, то уравнение имеет 2 одинаковых по знаку корня и это зависит от коэффициента р.

Если р > 0, то оба корня отрицательны:

х²+8х+7=0, т.к. р=8, q=7, то х1= -7; х2= -1.

Если р< 0, то оба корня положительны:

х²-3х+2=0, т.к. р= -3, q=2, то х1=1, х2=2.

б) Если q < 0, то уравнение имеет два разных по знаку корня, причем больший по модулю корень имеет положительный знак, если р < 0, х²-8х-9=0, т.к. р= -8, q= -9, то х1=9, х2= -1, и отрицательный знак, если р > 0, х²+4х-5=0, т.к. р=4, q= -5, то х1= -5, х2=1.

3) Не решая уравнения, определить знаки его корней. /Устная работа/

1) х²-2х-15=0, 1) (+; -) (5; -3)

2) х²+2х-8=0, 2) (+; -) ( -4;2)

3) х²-12х+35=0, 3) (+;+) (5;7)

4) 3х²+14х+16=0, 4) ( -; -)

5) х²-5х+6=0, 5) (+;+) (2;3)

6) х²-2х+1=0, 6) (+;+) (1)
6. Следующий способ: Разложение квадратного уравнения на множители по формуле а(х-х1)(х-х2), где х1 и х2 - корни

а) х²+10х-24=0,

х²+12х-2х-24=х(х+12)-2(х+12)=(х-2)(х+12)=0 => х1=2, х2= -12
б)6х²+х2=0

6х²+х2=6х²+4х-3х-²2=(6х²-3х)+(4х-2)=3х(2х-1)+2(2х-1)=(2х-1)(3х+2)=0 =>х1=1/2; х2=-2/3.

7.Самостоятельная работа/выполнение в тетради с последующей взаимопроверкой/.

Разложить на множители.

4х²+7х-2=0 х²-4х+4=0

х²+2х-8=0 х²+4х+4=0

х²-3х=0 6х²-7х+2=0

х²-81=0 х²-3х+2=0.

8.Метод выделения полного квадрата.

Уравнение х²+6х-7=0 решим ,выделив полный квадрат.

х²+6х-7=х²+2х3+9-9-7=(х+3)-16=0

т.е. (х+3)=16 х+3=4 или х+3=-4

х1=1 х2=-7.

9.Графический способ решения квадратных уравнений.

1.Приведённое квадратное уравнение х²+рх+g=0

2.Перепишем его так: х²=-рх-g.

3.Построим графики зависимости у=х² и у=-рх-g.

4.График первой зависимости – парабола.

5.График второй зависимости – прямая.

6.Найдём точки пересечения параболы и прямой. Абсциссы точек пересечения

являются корнями квадратного уравнения.

Решим графически уравнение :4х²-12х-8=0.

Построим параболу у=х² и прямую у=3х+2.
10.Решим графически уравнение х²-2х-3=0

х²=2х+3 ,у=х²-парабола, у=2х+3- прямая.

Строим прямую по двум точкам: А(-1,5;0) и В(0;3).

Парабола и прямая пересекутся в 2 точках с абсциссами х1=-1 и х2=3.

/Графики представлены для рассмотрения./

11. Какова же связь квадратичной функции и квадратного уравнения?

Квадратичная функция.

Решая квадратное уравнение, мы находим нули функции ,т.е. квадратичную функцию

приравниваем 0 и решаем уравнение f(х)=0.

Действительно, корни этого уравнения являются нулями функции у=f(х).

12. Определить нули функции, если они есть: у=х²+4х-5.

У=0; х²+4х-5=0.

Строим график функции и определяем абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекут ось абсцисс, либо касается её, либо не имеет общих точек. При определении нулей функции в первую очередь определяем знак D и знак коэффициента а.

13.Тестовое задание:

Определись в своих знаниях и проверь свои умения.

Какой из приведённых на рисунке графиков квадратичной функции у=ах²+вх+с соответствует данному условию: 1)D >0, а > 0

D>0, а < 0
D <0, а > 0

4) D<0, а < 0

5)D=0, а > 0.

/Даны графики функций /

Верные варианты ответов: 1(1), 2(5), 3(6), 4(2), 5(4).

/Инструкция по самооценке: подсчитать верные ответы без ошибок-5,

с 1 ошибкой -4, и т. д./

14.Задание на дом: № 163, 187, 188.

15.Заключение:

Знание способов решения квадратных уравнений и умение работать с графиками поможет нам в дальнейшем при решении неравенств второй степени с одной переменной и решение систем квадратных уравнений.

Рефлексия: Чем мы занимались на уроке? Что нового узнали? Что вам понравилось?

Что полезное возьмёте себе на вооружение при дальнейшем изучении тем, связанных с функциями и уравнениями?

16.Итог урока.